Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Исследование функций вещественного переменного дистанционные динамические расчетные проекты. Учебное пособие
.pdf
111
определенных интегралов» приведем на примере реализации
дистанционной системой динамических расчетных проектов
расчетов значений промежуточных и итоговых результатов
вычислений при нахождении приближенных значений
определенного интеграла для заданной функции
( )
6x2
9x9
bxb
axa
xf
0
1
01
+
+
=
+
+
= , критериальными значениями интервала
интегрирования 5x
0A
=
и 11x
0B
=
, а также заданными значениями
количества шагов для формул средних прямоугольников 15s
MR
=
α
,
прямоугольных трапеций
20sTR=
α
и параболических трапеций
(Симпсона) 10s
PT
=
α
в сопровождении соответствующих
скриншотов программы для ЭВМ.
По автоматически сгенерированным дистанционной системой
динамических расчетных проектов значениям исходных данных
осуществляется вывод в виде автоматически создаваемой
статической Интернет-страницы полученных значений исходных
данных (рис. 42) и расчетных значениях итоговых результатов без
применения численных методов вычислений (рис. 43), а также
информации о рассчитанных значениях промежуточных и
итоговых результатов вычислений по формулам средних
прямугольников (рис. 44), прямоугольных трапеций (рис. 45) и
параболических трапеций (Симпсона) (рис. 46).
Для каждого из численных методов в качестве
промежуточных результатов вычислений выступают значения
необходимых параметров на шагах с индексами «0», «1» и «N», где
112
«N» – общее количество шагов для метода. Значения параметров
для численных методов на шаге с индексом «N-1» вычисляется в
автоматическом режиме и представлены для возможности
реализации расчетов на последнем шаге, то есть значения данных
расчетных параметров являются значениями исходных данных для
шага с индексом «N».
Рис. 42. Формирование значений исходных данных
Рис. 43. Расчет значений итоговых результатов без применения
численных методов расчетов
113
Шаг с индексом «0»
Шаг с индексом «1»
Шаг с индексом «N-1» («13»)
Рис. 44. Расчет значений промежуточных и итоговых результатов
по формуле средних прямоугольников
(шаги с индексами «0», «1» и «N-1»)
114
Шаг с индексом «N» («14»)
Итоговые результаты расчетов
Рис. 44. Расчет значений промежуточных и итоговых результатов
по формуле средних прямоугольников
(шаг с индексом «N», итоговые результаты расчетов)
115
Шаг с индексом «0»
Шаг с индексом «1»
Шаг с индексом «N-1» («18»)
Рис. 45. Расчет значений промежуточных и итоговых результатов
по формуле прямоугольных трапеций
(шаги с индексами «0», «1» и «N-1»)
116
Шаг с индексом «N» («19»)
Итоговые результаты расчетов
Рис. 45. Расчет значений промежуточных и итоговых результатов
по формуле прямоугольных трапеций
(шаг с индексом «N», итоговые результаты расчетов)
117
Шаг с индексом «0»
Шаг с индексом «1»
Шаг с индексом «N-1» («8»)
Рис. 46. Расчет значений промежуточных и итоговых результатов
по формуле параболических трапеций (Симпсона)
(шаги с индексами «0», «1» и «N-1»)
118
Шаг с индексом «N» («9»)
Итоговые результаты расчетов
Рис. 46. Расчет значений промежуточных и итоговых результатов
по формуле параболических трапеций (Симпсона)
(шаг с индексом «N», итоговые результаты расчетов)
2.4. ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Наименование дистанционного динамического расчетного
проекта: приближенные решения обыкновенных
дифференциальных уравнений первого порядка.
Раздел высшей математики: дифференциальные уравнения.
Цель реализации дистанционного динамического
расчетного проекта: осуществить расчет значений
промежуточных и итоговых результатов вычислений необходимых
расчетных параметров при реализации приближенных решений
дифференциальных уравнений первого порядка вида
()(
)
xy,xfy
=
′
с использованием методов Эйлера, Рунге-Кутта второго, четвертого
119
порядков точности в зависимости от заданных значений исходных
данных.
2.4.1. Теоретический аспект
При решении обыкновенных дифференциальных уравнений
первого порядка, часто встречающихся при построении
математических моделей различных явлений и процессов, нередка
проблема невозможности или сложности решения данных
уравнений.
В подобных ситуациях для решения обыкновенных
дифференциальных уравнений первого порядка используют
рассматриваемые в рамках данной лабораторной работы численные
методы. Суть применяемых численных методов заключается в том,
что для заданного обыкновенного дифференциального уравнения
вида
()(
)
xy,xfy
=
′
или
( )( )
xy,xf
dx
dy
= с начальными условиями,
характеризующими координаты точки
()(
)
0A0A
xy,x на некотором
отрезке ]x,x[
0B0A
, необходимо рассчитать приближенное значение
функции
(
)
0B
xy в точке с координатами
()(
)
0B0B
xy,x .
Осуществляется деление данного отрезка на определенное
количество равных меньших отрезков, или шагов, в зависимости от
заданного значения количества шагов
α
s или величины шага αh ,
расчет приближенного значения функции со значением абсциссы
конечной точки на каждом из полученных отрезков, при этом
приближенное значение функции
(
)
0B
xy в точке с координатами
()(
)
0B0B
xy,x определяется как значение функции со значением
абсциссы конечной точки последнего из полученных отрезков.
120
Рассмотрим логические основы реализации методов Эйлера,
Рунге-Кутта второго и четвертого порядков точности для
выполнения приближенных решений обыкновенных
дифференциальных уравнений первого рода в зависимости от
различных значений
0A
x ,
(
)
0A
xy , 0Bx , αs или αh , используемых в
качестве логических составляющих дистанционного динамического
расчетного проекта «Приближенные решения обыкновенных
дифференциальных уравнений первого порядка».
Метод Эйлера
Исходя из уравнения касательной, проходящей из точки с
координатами
()(
)
1N1N
xy,x
−−
к графику исходной функции
(
)
xy
, то
есть
(
)
)xx()x(y)x(yxy
1NN1N1NN1 −−−
−
⋅′+
=
, учитывая, что
()(
)
NNN
xf,xf)x(y
=
′
или
()(
)
1N1N1N
xf,xf)x(y
−−−
=
′
и
α
hxx
1NN
=
−
−
,
получим соотношение:
()(
)
=−=
−
)x(yxyxy
1NN1N
∆
()(
)
α
hxy,xf)xx()x(y
1N1N1NN1N
⋅=−⋅′
=
−−−−
.
Таким образом, в методе Эйлера вычисление приближенного
значения координат точки исходной функции с координатами
()(
)
NN
xy,x
, исходя из приближенных значений координат точки
()(
)
1N1N
xy,x
−−
исходной функции, осуществляется согласно
следующим соотношениям:
()()()()()(
)
α
∆
hxy,xfxyxyxyxy
1N1N1NN1NN
⋅+=+=
−−−−
,
α
hxx
1NN
+
=
−
.
Полученные соотношения можно получить и другими
способами.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]