Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Исследование функций вещественного переменного дистанционные динамические расчетные проекты. Учебное пособие
.pdf
71
качестве минимального номера числовой последовательности
F
n
ε
выбирается
F
AN
F
nn =
ε
в силу неравенства
()(
)
F
BN
F
AN
nfnf >≥
ε
.
2.7. Если
1nn
F
AN
F
BN
≠−
, то осуществляется переход к
следующей итерации.
Стоит отметить, что при достаточно большом значении
начального индекса «K» соответствующие отрезки, полученные
методами золотой пропорции и Фибоначчи, будут иметь
незначительные отличия, что влечет за собой приблизительно
равную эффективность обоих методов.
Метод половинного деления (дихотомии)
Суть половинного деления или дихотомии состоит в
следующем: если разделить отрезок C на отрезки A и B таким
образом, что это будет отражать дихотомию, то C, деленное на A,
будет равно C, деленному на B, то есть A равно B: 2
BСA
C
== , или
BA=
.
Таким образом, при наличии исходного отрезка
[
]
0B0A
n,n
полученный в результате «N»-го деления отрезок
[
]
0B0A
n,n связан с
исходным соотношением
N
0A0B
ANBN
2
nn
nn
−
=− .
В рассматриваемом дистанционном динамическом расчетном
проекте метод половинного деления (дихотомии) имеет
следующую реализацию:
1. Итерация с индексом «0»:
1.1. На искомом отрезке
[
]
0B0A
n,n при соблюдении условий
0B0A
nn
<
и
()(
)
0B0A
nfnf
>
≥
ε
(по умолчанию значения
0A
n и 0Bn
72
являются целыми числами) выбирается номер числовой
последовательности
D
0C
n
исходя из неравенств
0B
D
0C0A
nnn <<
и
(
)
(
)
(
)
0B
D
0C0A
nfnfnf >>
, в соответствии с принципами дихотомии,
согласно следующим соотношениям:
2
nn
n
2
nn
nn
0A0B
0B
0A0B
0A
D
0C
−−=−
+= .
1.2. При наличии положительной дробной части значение
D
0C
n округляется до ближайшего большего целого числа.
1.3. Если достигнута истинность выражения 1nn
0A0B
=
−
, то
итерации прекращаются, количество шагов итераций 0s
D
=
ε
и в
качестве минимального номера числовой последовательности
D
n
ε
выбирается
0A
D
nn =
ε
в силу неравенства
()(
)
0B0A
nfnf
>
≥
ε
.
1.4. Если 1nn
0A0B
≠
−
, то осуществляется переход к
следующей итерации.
2. Итерация с индексом «N»
(
)
1N
≥
:
2.1. Если
( )
(
)
ε
<
−D1NC
nf
, то
( )
D
1NA
D
AN
nn−=
,
( )
D
1NC
D
BN
nn−=
,
( ) ( )
( ) ( )
2
nn
nnnn
D
1NA
D
1NB
D
1NA
D
1NC
D
AN
D
BN
−−
−−
−
=−=−
, и получаем отрезок
[
]
( ) ( )
[
]
D
1NCD1NA
D
BN
D
AN
n,nn,n
−−
=
.
2.2. Если
( )
(
)
ε
≥
−D1NC
nf
, то
( )
D
1NC
D
AN
nn−=
,
( )
D
1NB
D
BN
nn−=
,
( ) ( )
( ) ( )
2
nn
nnnn
D
1NA
D
1NB
D
1NC
D
1NB
D
AN
D
BN
−−
−−
−
=−=−
и получаем отрезок
[
]
( ) ( )
[
]
D
1NB
D
1NC
D
BN
D
AN
n,nn,n
−−
=
.
73
2.3. На отрезке
[
]
D
BN
D
AN
n,n при соблюдении условий
D
BN
D
AN
nn < и
()(
)
D
BN
D
AN
nfnf >≥
ε
выбирается номер числовой последовательности
D
CN
n исходя из неравенств
D
BN
D
CN
D
AN
nnn << и
()()(
)
D
BN
D
CN
D
AN
nfnfnf >> ,
в соответствии с принципами дихотомии, согласно следующим
соотношениям:
2
nn
n
2
nn
nn
D
AN
D
BN
D
BN
D
AN
D
BN
D
AN
D
CN
−
−=
−
+= .
2.4. При наличии положительной дробной части значение
D
CN
n округляется до ближайшего большего целого числа.
2.5. Если достигнута истинность выражения 1nn
D
AN
D
BN
=− , то
итерации прекращаются, количество шагов итераций Ns
D
=
ε
и в
качестве минимального номера числовой последовательности
D
n
ε
выбирается
D
AN
D
nn =
ε
в силу неравенства
()(
)
D
BN
D
AN
nfnf >≥
ε
.
2.6. Если 1nn
D
AN
D
BN
≠− , то осуществляется переход к
следующей итерации.
2.1.2. Описание демо-версии расчетного проекта
Описание демо-версии дистанционного динамического
расчетного проекта «Определение значений минимальных номеров
приближения к пределу числовых последовательностей» приведем
на примере реализации дистанционной системой динамических
расчетных проектов расчетов значений промежуточных и итоговых
результатов вычислений при нахождении минимальных номеров
ε
n
для заданной числовой последовательности
74
5n4n7
4n4n5
bnbnb
anana
x
2
2
0
122
01
2
2
n
−+−
−−−
=
++
++
=
и параметров поиска
05,0
=
ε
,
6n
0A
=
, 5000n
0B
=
и 16K
F
=
в сопровождении соответствующих
скриншотов программы для ЭВМ.
По автоматически сгенерированным дистанционной системой
динамических расчетных проектов значениям исходных данных
осуществляется вывод в виде автоматически создаваемой
статической Интернет-страницы полученных значений исходных
данных (рис. 34), а также информации о рассчитанных значениях
промежуточных и итоговых результатов вычислений по методам
золотой пропорции (рис. 35), Фибоначчи (рис. 36) и половинного
деления (дихотомии) (рис. 37).
Для каждого из численных методов в качестве
промежуточных результатов вычислений выступают значения
необходимых параметров на шагах с индексами «0», «1», «N-1» и
«N», где «N» – общее количество шагов для метода. Значения
параметров для численных методов на шаге с индексом «N-2»
вычисляется в автоматическом режиме и представлены для
возможности реализации расчетов на последующих шагах, то есть
значения данных расчетных параметров являются значениями
исходных данных для шагов с индексами «N-1» и «N».
75
Рис. 34. Формирование значений исходных данных
Шаг с индексом «0»
Шаг с индексом «1»
Рис. 35. Расчет значений промежуточных и итоговых результатов
по методу золотой пропорции (шаги с индексами «0» и «1»)
76
Шаг с индексом «N-2» («7»)
Шаг с индексом «N-1» («8»)
Шаг с индексом «N» («9»)
Значения итоговых результатов
Рис. 35. Расчет значений промежуточных и итоговых результатов
по методу золотой пропорции (шаги с индексами «N-2», «N-1»,
«N», значения итоговых результатов)
77
Значения исходных данных
Шаг с индексом «0»
Шаг с индексом «1»
Шаг с индексом «N-2»
Рис. 36. Расчет значений промежуточных и итоговых результатов
по методу Фибоначчи (значения исходных данных,
шаги с индексами «0», «1» и «N-2»)
78
Шаг с индексом «N-1» («8»)
Шаг с индексом «N» («9»)
Значения итоговых результатов
Рис. 36. Расчет значений промежуточных и итоговых результатов
по методу Фибоначчи (шаги с индексами «N-1», «N», значения
итоговых результатов)
79
Шаг с индексом «0»
Шаг с индексом «1»
Шаг с индексом «N-2» («10»)
Шаг с индексом «N-1» («11»)
Рис. 37. Расчет значений промежуточных и итоговых результатов
по методу половинного деления (дихотомии)
(шаги с индексами «0», «1», «N-2» и «N-1»)
80
Шаг с индексом «N» («12»)
Значения итоговых результатов
Рис. 37. Расчет значений промежуточных и итоговых результатов
по методу половинного деления (дихотомии) (шаг с индексом «N»,
значения итоговых результатов)
2.2. ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ
УРАВНЕНИЙ
Наименование дистанционного динамического расчетного
проекта: приближенные решения алгебраических уравнений.
Раздел высшей математики: дифференциальное исчисление.
Цель реализации дистанционного динамического
расчетного проекта: осуществить расчет значений
промежуточных и итоговых результатов вычислений необходимых
расчетных параметров при реализации приближенных решений
алгебраических уравнений вида
0dcxbxax23=++
+
с
использованием метода половинного деления (дихотомии),
комбинированного метода хорд и касательных (Ньютона), метода
золотой пропорции в зависимости от заданных значений исходных
данных.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]