Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Исследование функций вещественного переменного дистанционные динамические расчетные проекты. Учебное пособие
.pdf
91
Рис. 38. Формирование значений исходных данных
Шаг с индексом «0»
Шаг с индексом «1»
Рис. 39. Расчет значений промежуточных и итоговых результатов
по методу половинного деления (шаги с индексами «0» и «1»)
92
Шаг с индексом «N-1» («6»)
Шаг с индексом «N» («7»)
Значения итоговых результатов
Рис. 39. Расчет значений промежуточных и итоговых результатов
по методу золотой пропорции (шаги с индексами «N-1» и «N»,
значения итоговых результатов)
93
Значения исходных данных
Шаг с индексом «0»
Шаг с индексом «1»
Рис. 40. Расчет значений промежуточных и итоговых результатов
по комбинированному методу хорд и касательных (Ньютона)
(значения исходных данных, шаги индексами «0» и «1»)
94
Шаг с индексом «N-1» («3»)
Шаг с индексом «N» («4»)
Значения итоговых результатов
Рис. 40. Расчет значений промежуточных и итоговых результатов
по комбинированному методу хорд и касательных (Ньютона)
(значения исходных данных, шаги индексами «0» и «1»)
95
Шаг с индексом «0»
Шаг с индексом «1»
Рис. 41. Расчет значений промежуточных и итоговых результатов
по методу золотой пропорции (шаги индексами «0» и «1»)
96
Шаг с индексом «N-1»
Шаг с индексом «N»
Значения итоговых результатов
Рис. 41. Расчет значений промежуточных и итоговых результатов
по методу золотой пропорции (шаги индексами «N-1» и «N»,
значения итоговых результатов)
97
2.3. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ ЗНАЧЕНИЙ
ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Наименование дистанционного динамического расчетного
проекта: приближенные вычисления значений определенных
интегралов.
Раздел высшей математики: интегральное исчисление.
Цель реализации дистанционного динамического
расчетного проекта: осуществить расчет значений
промежуточных и итоговых результатов вычислений необходимых
расчетных параметров при нахождении приближенных значений
определенных интегралов для функции вида
( )
0
1
01
bxb
axa
xf
+
+
=
по
формулам средних прямоугольников, прямоугольных трапеций,
параболических трапеций (Симпсона) в зависимости от заданных
значений исходных данных.
2.3.1. Теоретический аспект
При вычислениях значений определенных интегралов нередко
встречаются следующие проблемы:
1. Невозможность или сложность выражения первообразной
функции через элементарные функции.
2. Аналитическое задание подинтегральной функции в виде
таблицы значений функции в зависимости от аргумента.
3. Графическое задание подинтегральной функции с
использованием соответствующего графика значений функции в
зависимости от аргумента.
98
В подобных ситуациях для вычисления приближенных
значений определенных интегралов используются численные
методы.
Согласно методу механических квадратур, подинтегральную
функцию
(
)
xfy
=
можно заменить интерполяционным
многочленом степени «S» в силу приближенных вычислений
значений функции
(
)
xfy
=
:
(
)
01
2
2
1S
1S
S
SS
axaxa...xaxaxP +++++=
−
−
,
причем
(
)
iiS
yxP
=
, где
N
,...,1,0i
=
.
Геометрическая интерпретация метода заключается в том, что
график исходной функции
(
)
xfy
=
заменяется «параболой степени
«S»», то есть
()(
)
01
2
2
1S
1S
S
SS
axaxa...xaxaxPxfy +++++===
−
−
,
проходящей через «
1S+
» точек графика данной функции.
В данной лабораторной работе интерполяционный многочлен
степени «S» представляется в следующем виде:
()()()(
)
( ) ( )
.xx...xxa
...xxxxaxxaaxP
1n0S
102010S
−
−⋅⋅−⋅+
++−⋅−⋅+−⋅+=
Приближенное значение определенного интеграла от
подинтегральной функции
(
)
xfy
=
на заданном отрезке
[
]
0B0A
x,x
равно значению определенного интеграла от интерполяционного
многочлена на заданном отрезке
[
]
0B0A
x,x
, при этом осуществляется
деление данного отрезка на определенное количество равных
меньших отрезков, или шагов, в зависимости от заданного значения
количества шагов
α
s
или величины шага
α
h
, осуществляется расчет
приближенного значения определенного интеграла на каждом из
99
полученных отрезков с последующим нахождением
приближенного значения определенного интеграла на заданном
отрезке
[
]
0B0A
x,x как суммы найденных приближенных значений
определенных интегралов на каждом из равных меньших отрезков.
Таким образом, рассматриваемые в рамках данного
дистанционного динамического расчетного проекта численные
методы используются для приближенных вычислений
определенных интегралов от подинтегральных функций
)x(
f
на
отрезке
[
]
0B0A
x,x в зависимости от заданного значения количества
шагов
α
s или величины шага αh .
Рассмотрим логические основы реализации расчетов по
формулам средних прямоугольников, прямоугольных трапеций,
параболических трапеций (Симпсона) (замена подинтегральной
функции интерполяционными многочленами нулевой, первой и
второй степеней соответственно) для вычислений приближенных
значений определенных интегралов в зависимости от различных
значений
0A
x , 0Bx , αs или αh , используемых в качестве логических
составляющих дистанционного динамического расчетного проекта
«Приближенные вычисления значений определенных интегралов».
Формула средних прямоугольников
1. Замена подинтегральной функции интерполяционным
многочленом нулевой степени на отрезке
]hx,x[]x,x[
0010
α
+
=
.
Имеем одно заданное значение подинтегральной функции
(
)
2121
xfy
=
при
21
xx
=
.
Тогда
(
)
(
)
0210
axfxP
=
=
и
()(
)
(
)
210
xfxPxfy
=≈=
.
100
В данном случае график подинтегральной функции
(
)
xfy
=
на отрезке ]hx,x[]x,x[
0010
α
+
=
заменяется горизонтальной
прямой, проходящей через точку с координатами
( )( )
++=
2
h
xf,
2
h
xxf,x
002121
αα
.
2. Вычисление приближенного значения определенного
интеграла на отрезке
]hx,x[]x,x[
0010
α
+
=
.
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
.xfh
2
h
x
2
h
xxf
dxxfdxxPdxxfdxxf
21212121
2
h
x
2
h
x
21
2
h
x
2
h
x
0
2
h
x
2
h
x
x
x
21
21
21
21
21
21
1
0
⋅=
+−+⋅=
==≈=
∫∫∫∫
+
−
+
−
+
−
α
αα
α
α
α
α
α
α
Таким образом, приближенное значение определенного
интеграла на отрезке
]hx,x[]x,x[
0010
α
+
=
равно площади
прямоугольника со значениями стороны
(
)
21
xf
и высоты
α
h
.
3. Вычисление приближенного значения определенного
интеграла по формуле средних прямоугольников на отрезке
]b,a[
00
.
( )
( )
.xfhdxxf
21
x
x
1
0
⋅≈
∫
α
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( )
.xfxfh
xfhxfhdxxfdxxfdxxf
2321
2321
x
x
x
x
x
x
2
1
1
0
2
0
+⋅=
=⋅+⋅≈+=
∫∫∫
α
αα
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]