Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Исследование функций вещественного переменного дистанционные динамические расчетные проекты. Учебное пособие
.pdf
61
промежуточных и итоговых результатов вычислений необходимых
расчетных параметров при нахождении значений минимальных
номеров приближения к пределу числовых последовательностей
вида
01
2
2
01
2
2
n
bnbnb
anana
x
++
++
= (для
0
>
ε
, 0a
2
≠
, 0b
2
≠
,
ε
<−
2
2
n
b
a
x ) с
использованием методов золотой пропорции, Фибоначчи,
половинного деления (дихотомии) в зависимости от заданных
значений исходных данных.
2.1.1. Теоретический аспект
Число A называется пределом числовой последовательности
{
}
n
x , если для любого
0
>
ε
существует натуральное число
ε
n ,
такое, что для любого
ε
nn
>
верно неравенство:
ε
<
−
Ax
n
.
Рассмотрим числовые последовательности вида:
01
2
2
01
2
2
n
bnbnb
anana
x
++
++
= ,
где
0
a , 1a , 2a , 0b , 1b , 2b – целые числа, причем 0a
2
≠
и 0b
2
≠
.
Пределом числовых последовательностей является
отношение:
2
2
n
n
b
a
xlimA ==
∞→
.
Необходимо реализовать расчет значений минимальных
номеров
ε
n числовых последовательностей
{
}
n
x по заданным
0
>
ε
,
таких, что для всех членов числовых последовательностей со
значениями номеров
ε
nn
>
выполняется неравенство
ε
<
−
Ax
n
в
соответствии с различными условиями варьирования значений
62
исходных данных, при этом для удобства реализации вычислений и
отображений результатов введем функцию
(
)
Axnfy
n
−==
.
Рассмотрим логические основы реализации методов золотой
пропорции, Фибоначчи и половинного деления (дихотомии),
необходимых для выполнения приближенных вычислений
значений минимальных номеров
ε
n для числовых
последовательностей вида
01
2
2
01
2
2
n
bnbnb
anana
x
++
++
=
(при
0
>
ε
,
0a
2
≠
,
0b
2
≠
,
ε
<−
2
2
n
b
a
x
или
( )
ε
<−==
2
2
n
b
a
xnfy
) в зависимости от
различных значений ε,
0A
n
и
0B
n
, используемых в качестве
логических составляющих дистанционного динамического
расчетного проекта «Определение значений минимальных номеров
приближения к пределу числовых последовательностей».
Метод золотой пропорции
Суть золотой пропорции, изображенной на рис. 33, состоит в
следующем: если разделить отрезок С на отрезки А и В таким
образом, что это будет отражать золотую пропорцию, то А,
деленное на В, будет равно С, деленному на А.
Символьная запись:
618033989,1
251BAA
C
≈
+
===
ϕ
.
63
Рис. 33. Золотая пропорция
Действительно, пусть X
BAA
C
== .
Так как
CBA=+
, то есть
ACABA
A
=+ , то получим квадратное
уравнение:
01XXX
X
1
1
2
=−−⇒=+ .
Положительный действительный корень квадратного
уравнения:
618033989,1
2
51
X ≈
+
==
ϕ
.
По аналогии с пропорцией назовем число ϕ золотым.
Отметим некоторые алгебраические свойства золотого числа:
1. Золотое число, возведенное в степень с натуральным
показателем, равно сумме двух золотых чисел, возведенных в
степени с последовательно предшествующими искомому
показателями:
2N1NN −−
+=
ϕϕϕ
.
Действительно, так как
012=−−
ϕϕ
, то
12+=
ϕϕ
, то есть
2N2N22N −−−
+⋅=⋅
ϕϕϕϕϕ
, откуда
2N1NN −−
+=
ϕϕϕ
.
Поскольку
2N1NN −−
+=
ϕϕϕ
, то
1N2NN ++
−=
ϕϕϕ
, откуда можно
получить следующие соотношения:
64
11−=
ϕ
ϕ
и
ϕ
ϕϕ
−=−= 2
1
1
1
2
,
321
22
1
111
223
−=−=−=−=
ϕ
ϕϕϕϕϕ
.
2. Если каждый член геометрической прогрессии
N
X
(
)
0q,0X
1
≠
≠
равен сумме двух предыдущих, то ее знаменатель q
равен золотому числу, то есть ϕ:
N1N2N
XXX
+
=
++
⇒
2
N1N2N
XXX
ϕϕ
⋅=⋅=
++
.
Поскольку
2
N1N2N
qXqXX
⋅=⋅=
++
, то
1qq
2
+=
, откуда
2
51q±
=
. Так как
0
q
>
, то
ϕ
=
+
=
2
51
q
.
В рассматриваемом дистанционном динамическом расчетном
проекте метод золотой пропорции имеет следующую реализацию:
1. Итерация с индексом «0»:
1.1. На искомом отрезке
[
]
0B0A
n,n
при соблюдении условий
0B0A
nn
<
и
()(
)
0B0A
nfnf
>
≥
ε
(по умолчанию значения
0A
n
и
0B
n
являются целыми числами) выбираются номера числовой
последовательности
GP
0C
n
и
GP
0D
n
исходя из неравенств
0B
GP
0D
GP
0C0A
nnnn <<<
и
(
)
()(
)
(
)
0B
GP
0D
GP
0C0A
nfnfnfnf >>>
, в
соответствии с принципами золотой пропорции, согласно
следующим соотношениям:
ϕϕ
0A0B
0B
2
0A0B
0A
GP
0C
nn
n
nn
nn
−−=−
+=
,
2
0A0B
0B
0A0B
0A
GP
0D
nn
n
nn
nn
ϕϕ
−−=−
+=
.
65
1.2. При наличии положительных дробных частей значения
номеров числовой последовательности
GP
0C
n
и
GP
0D
n
округляются до
ближайших больших целых чисел.
1.3. Если достигнута истинность выражения 1nn
0A0B
=
−
, то
итерации прекращаются, количество шагов итераций 0s
GP
=
ε
и в
качестве минимального номера числовой последовательности
GP
n
ε
выбирается
0A
GP
nn
=
ε
в силу неравенства
()(
)
0B0A
nfnf
>
≥
ε
.
1.4. Если 1nn
0A0B
≠
−
, то осуществляется переход к
следующей итерации.
2. Итерация с индексом «N»
(
)
1N
≥
:
2.1. Если
( )
(
)
ε
<
−GP1NC
nf
, то
( )
GP
1NA
GP
AN
nn−=
,
( )
GP
1NC
GP
BN
nn−=
,
( ) ( )
( ) ( )
2
GP
1NA
GP
1NB
GP
1NA
GP
1NC
GP
AN
GP
BN
nn
nnnn
ϕ
−−
−−
−
=−=−
, и получаем отрезок
[
]
( ) ( )
[
]
GP
1NCGP1NA
GP
BN
GP
AN
n,nn,n
−−
=
.
2.2. Если
( )
(
)
ε
≥
−GP1NC
nf
и
( )
(
)
ε
<
−GP1ND
nf
, то
( )
GP
1NC
GP
AN
nn−=
,
( )
GP
1ND
GP
BN
nn−=
,
( ) ( )
( ) ( )
3
GP
1NA
GP
1NB
GP
1NC
GP
1ND
GP
AN
GP
BN
nn
nnnn
ϕ
−−
−−
−
=−=−
, и получаем
отрезок
[
]
( ) ( )
[
]
GP
1NDGP1NC
GP
BN
GP
AN
n,nn,n
−−
=
.
2.3. Если
( )
(
)
ε
≥
−GP1ND
nf
, то
( )
GP
1ND
GP
AN
nn−=
,
( )
GP
1NB
GP
BN
nn−=
,
( ) ( )
( ) ( )
2
GP
1NA
GP
1NB
GP
1ND
GP
1NB
GP
AN
GP
BN
nn
nnnn
ϕ
−−
−−
−
=−=−
и получаем отрезок
[
]
( ) ( )
[
]
GP
1NBGP1ND
GP
BN
GP
AN
n,nn,n
−−
=
.
66
2.4. На отрезке
[
]
GP
BN
GP
AN
n,n
при соблюдении условий
GP
BN
GP
AN
nn <
и
()(
)
GP
BN
GP
AN
nfnf >≥
ε
выбираются номера числовой
последовательности
GP
CN
n
и
GP
DN
n
исходя из неравенств
GP
BN
GP
DN
GP
CN
GP
AN
nnnn <<<
и
()()()(
)
GP
BN
GP
DN
GP
CN
GP
AN
nfnfnfnf >>>
, в
соответствии с принципами золотой пропорции, согласно
следующим соотношениям:
ϕϕ
GP
AN
GP
BN
GP
BN
2
GP
AN
GP
BN
GP
AN
GP
CN
nn
n
nn
nn
−
−=
−
+=
,
2
GP
AN
GP
BN
GP
BN
GP
AN
GP
BN
GP
AN
GP
DN
nn
n
nn
nn
ϕϕ
−
−=
−
+=
.
2.5. При наличии положительных дробных частей значения
номеров числовой последовательности
GP
CN
n
и
GP
DN
n
округляются до
ближайших больших целых чисел.
2.6. Если достигнута истинность выражения
1nn
GP
AN
GP
BN
=−
, то
итерации прекращаются, количество шагов итераций
NsGP=
ε
и в
качестве минимального номера числовой последовательности
GP
n
ε
выбирается
GP
AN
GP
nn =
ε
в силу неравенства
()(
)
GP
BN
GP
AN
nfnf >≥
ε
.
2.7. Если
1nn
GP
AN
GP
BN
≠−
, то осуществляется переход к
следующей итерации.
Метод Фибоначчи
Последовательность чисел Фибоначчи (открыта Леонардо
Фибоначчи) отличается от других последовательностей чисел тем,
что каждый ее член, начиная со второго по индексу, равен сумме
двух предыдущих (с добавлением нулевого члена
67
последовательности): 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 и
так далее.
Действительно:
110=+
,
211=+
,
312=+, 523=+
, то есть
2K1KK
FFF
−−
+
=
, где
K
F ,
1
K
F
−
и
2
K
F
−
− члены последовательности
Фибоначчи с индексами «K», «K−1» и «K−2» соответственно.
Интересно отметить, что отношение значений соседних
членов данной последовательности, начиная с больших номеров
(при
∞→K
), приближается к золотому числу, то есть ϕ:
618033989,1
2
51
F
F
1K
K
≈
+
=≈
−
ϕ
,
где
K
F и
1
K
F
−
− члены последовательности Фибоначчи с
индексами «K», «K−1» соответственно.
Для золотых чисел, возведенных в определенные степени
(геометрическая прогрессия со значениями начального члена и
знаменателя, равными ϕ), как и для последовательности чисел
Фибоначчи, справедливо общее правило о том, что значение
каждого члена любой из этих последовательностей равно сумме
значений двух предыдущих членов:
1. Формула для геометрической прогрессии золотых чисел:
2K1KK −−
+=
ϕϕϕ
, где «K», «K–1»и «K–2» – показатели степеней для
золотого числа ϕ.
2. Формула для последовательности чисел Фибоначчи:
2K1KK
FFF
−−
+
=
, где
K
F ,
1
K
F
−
и
2
K
F
−
− члены последовательности
Фибоначчи с индексами «K», «K–1»и «K–2» соответственно.
68
Поскольку
2K1KK
FFF
−−
+
=
, то
1KK2K
FFF
−−
−
=
, откуда можно
получить следующие соотношения:
2KKK1K2K1K3K
F2FFF2FFF
−−−−−
−=−=−
=
,
K
2K
K
1K
K
2K
K
1K
K
3K
F
F
211
F
F
2
F
F
F
F
F
F
−−−−−
−=−=−=
.
Взаимосвязь между золотым числом и числами Фибоначчи
выражается следующим соотношением:
ϕϕ
⋅+=
−
K1K
K
FF
.
Докажем утверждение методом последовательного перебора:
ϕϕϕϕϕ
⋅+=⋅+=+=
−10101
FF10
,
ϕϕϕϕϕϕ
⋅+=⋅+=+=+=
2
1
012
FF111
,
(
)
( ) ( )
,FFFFFF
FF)FF(
322110
1021
123
ϕϕ
ϕϕϕϕϕ
⋅+=⋅+++=
=⋅++⋅+=+=
………………………………………………………..
(
)
( ) ( )
.FFFFFF
FF)FF(
K1K1K2K3K2K
2K3K1K2K
2K1KK
ϕϕ
ϕϕϕϕϕ
⋅+=⋅+++=
=⋅++⋅+=+=
−−−−−
−−−−
−−
В рассматриваемом дистанционном динамическом расчетном
проекте метод Фибоначчи имеет следующую реализацию:
1. Итерация с индексом «0»:
1.1. Осуществляется ввод значения индекса последнего члена
ряда Фибоначчи для его построения, то есть «K».
1.2. Осуществляется построение заданного ряда Фибоначчи,
начиная с нулевого индекса и заканчивая индексом «K».
1.3. На искомом отрезке
[
]
0B0A
n,n
при соблюдении условий
0B0A
nn
<
и
()(
)
0B0A
nfnf
>
≥
ε
(по умолчанию значения
0A
n
и
0B
n
являются целыми числами) выбираются номера числовой
69
последовательности
F
0C
n
и
F
0D
n
исходя из неравенств
0B
F
0D
F
0C0A
nnnn <<<
и
(
)
()(
)
(
)
0B
F
0D
F
0C0A
nfnfnfnf >>>
, в
соответствии с принципами последовательности Фибоначчи,
согласно следующим соотношениям:
( ) ( )
0A0B
K
1K
0B0A0B
K
2K
0A
F
0C
nn
F
F
nnn
F
F
nn −−=−+=
−−
,
( ) ( )
0A0B
K
2K
0B0A0B
K
1K
0A
F
0D
nn
F
F
nnn
F
F
nn −−=−+=
−−
.
1.4. При наличии положительных дробных частей значения
F
0C
n
и
F
0D
n
округляются до ближайших больших целых чисел.
1.5. Если достигнута истинность выражения 1nn
0A0B
=
−
, то
итерации прекращаются, количество шагов итераций 0s
F
=
ε
и в
качестве минимального номера числовой последовательности
F
n
ε
выбирается
0A
F
nn =
ε
в силу неравенства
()(
)
0B0A
nfnf
>
≥
ε
.
1.6. Если 1nn
0A0B
≠
−
, то осуществляется переход к
следующей итерации.
2. Итерация с индексом «N»
(
)
1N
≥
:
2.1. Если
( )
(
)
ε
<
−F1NC
nf
, то
( )
F
1NA
F
AN
nn−=
,
( )
F
1NC
F
BN
nn−=
,
( ) ( ) ( ) ( )
(
)
1NA1NB
NK
N2K
1NA1NCANBN
nn
F
F
nnnn
−−
−
−−
−−
−=−=−
, и получаем
отрезок
[
]
( ) ( )
[
]
F
1NC
F
1NA
F
BN
F
AN
n,nn,n
−−
=
.
70
2.2. Если
( )
(
)
ε
≥
−F1NC
nf
и
( )
(
)
ε
<
−F1ND
nf
, то
( )
F
1NC
F
AN
nn−=
,
( )
F
1ND
F
BN
nn−=
,
( ) ( ) ( ) ( )
( )
F
1NA
F
1NB
NK
N3K
F
1NC
F
1ND
F
AN
F
BN
nn
F
F
nnnn
−−
−
−−
−−
−=−=−
, и
получаем отрезок
[
]
( ) ( )
[
]
F
1ND
F
1NC
F
BN
F
AN
n,nn,n
−−
=
.
2.3. Если
( )
(
)
ε
≥
−F1ND
nf
, то
( )
F
1ND
F
AN
nn−=
,
( )
F
1NB
F
BN
nn−=
,
( ) ( ) ( ) ( )
( )
F
1NA
F
1NB
NK
N2K
F
1ND
F
1NB
F
AN
F
BN
nn
F
F
nnnn
−−
−
−−
−−
−=−=−
, и получаем
отрезок
[
]
( ) ( )
[
]
F
1NBF1ND
F
BN
F
AN
n,nn,n
−−
=
.
2.4. На отрезке
[
]
F
BN
F
AN
n,n
при соблюдении условий
F
BN
F
AN
nn <
и
()(
)
F
BN
F
AN
nfnf >≥
ε
выбираются номера числовой
последовательности
F
CN
n
и
F
DN
n
, исходя из неравенств
F
BN
F
DN
F
CN
F
AN
nnnn <<<
и
()()()(
)
F
BN
F
DN
F
CN
F
AN
nfnfnfnf >>>
, в
соответствии с принципами последовательности Фибоначчи,
согласно следующим соотношениям:
( ) ( )
,nn
F
F
nnn
F
F
nn
F
AN
F
BN
NK
N1K
F
BN
F
AN
F
BN
NK
N2K
F
AN
F
CN
−−=−+=
−
−−
−
−−
( ) ( )
.nn
F
F
nnn
F
F
nn
F
AN
F
BN
NK
N2K
F
BN
F
AN
F
BN
NK
N1K
F
AN
F
DN
−−=−+=
−
−−
−
−−
2.5. При наличии положительных дробных частей значения
номеров числовой последовательности
F
CN
n
и
F
DN
n
округляются до
ближайших больших целых чисел.
2.6. Если достигнута истинность выражения
1nn
F
AN
F
BN
=−
, то
итерации прекращаются, количество шагов итераций
NsF=
ε
и в
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]