Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Исследование функций вещественного переменного дистанционные динамические расчетные проекты. Учебное пособие
.pdf
101
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
.xfxfxfh
xfhxfhxfh
dxxfdxxfdxxfdxxf
252321
252321
x
x
x
x
x
x
x
x
3
2
2
1
1
0
3
0
++⋅=
=⋅+⋅+⋅≈
≈++=
∫∫∫∫
α
ααα
…………………………………………………………………
( ) ( )
( )
( )( )
.xfhdxxfdxxf
N
1J
21J2
N
1J
x
x
x
x
J
1J
N
0
∑∑
∫∫
=
−
=
⋅≈
=
−
α
Тогда приближенное значение определенного интеграла на
отрезке ]x,x[
0B0A
определяется согласно следующему
соотношению:
( ) ( ) ( )
( )
( )( )
.xfhdxxfdxxfdxxf
S
1J
21J2
S
1J
x
x
x
x
x
x
J
1J
S
0
0B
0A
∑∑
∫∫∫
=
−
=
⋅≈
==
−
α
В рассматриваемом дистанционном динамическом расчетном
проекте использование формулы средних прямоугольников имеет
следующую реализацию (итерация с индексом «N»
(
)
1N
≥
):
1. На отрезке
[
]
0B0A
x,x при соблюдении условия
0B0A
xx
<
,
исходя из вводимого или рассчитанного значения величины шага
MR
h
α
(при вводимом значении количества шагов
MR
s
α
по формуле
MR
0A0B
MR
s
xx
h
α
α
−
=
) выбирается абсцисса точки подинтегральной
функции с координатами
()(
)
MR
N
MR
N
xf,x
, то есть
MR
N
x
, согласно
следующему соотношению:
MRMR
1N
MR
N
hxx
α
+=
−
.
2. Осуществляется вычисление площади элементарного
прямоугольника
MR
N
q
, значение высоты которого
102
MR
0
MR
1
MR
1N
MR
N
MR
xxxxh −=−=
−
α
, согласно следующему соотношению:
( )
(
)
MR
21N2
MRMR
N
xfhq
−
⋅=
α
.
3. Осуществляется вычисление приближенного значения
определенного интеграла на отрезке
[
]
MR
N0A
x,x
согласно
следующему соотношению:
( )
MR
N
MR
1N
MR
N
qII +=
−
αα
.
4. Если достигнута истинность выражения
0B
MR
N
xx ≥
, то
итерации прекращаются, количество шагов итераций
NsMR=
α
,
тогда приближенное значение определенного интеграла
MR
N
MR
IIαα=
.
5. Если
0B
MR
N
xx <
, то осуществляется переход к следующей
итерации.
Формула прямоугольных трапеций
1. Замена подинтегральной функции интерполяционным
многочленом первой степени на отрезке ]hx,x[]x,x[
0010
α
+
=
.
Имеем два заданных значения подинтегральной функции:
(
)
00
xfy
=
при
0
xx
=
и
(
)
α
hxfy
01
+
=
при
α
hxxx
01
+==
.
Тогда
( ) ( ) ( ) ( )
()(
)
α
α
h
xfxf
ahaxfxxaaxfxP
01
110011011
−
=⇒⋅+=−⋅+==
и
( ) ( ) ( )
()(
)
( )
0
01
01
xx
h
xfxf
xfxPxfy −⋅
−
+=≈=
α
.
В данном случае график подинтегральной функции
(
)
xfy
=
на отрезке
]hx,x[]x,x[
0010
α
+
=
заменяется наклонной прямой,
проходящей через точки
()(
)
2121
xf,x
и
()()()(
)
αα
hxf,hxxf,x
0011
++=
.
103
2. Вычисление приближенного значения определенного
интеграла на отрезке ]hx,x[]x,x[
0010
α
+
=
.
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
.dxxx
h
xfxf
xf
dxxPdxxfdxxf
hx
x
0
01
0
hx
x
1
hx
x
x
x
0
0
0
0
0
0
1
0
∫
∫∫∫
+
++
−⋅
−
+=
=≈=
α
αα
α
Выполним замену переменной:
α
h
xx
t
0
−
= ,
α
htxx
0
⋅+=
, dthdx
α
=
.
0txx
0
=⇒=
, 1thxxx
01
=⇒+==
α
.
Тогда
( )
()(
)
( )
( ) ( ) ( )( )( )
=⋅−+=
=
−⋅
−
+
∫
∫
+
1
0
010
hx
x
0
01
0
dttxfxfxfh
dxxx
h
xfxf
xf
0
0
α
α
α
( )
()()()(
)
.
2
xfxf
h
2
xfxf
xfh
1001
0
+
⋅=
−
+⋅=
αα
В итоге имеем:
( )
()(
)
.
2
xfxf
hdxxf
10
x
x
1
0
+
⋅≈
∫
α
Таким образом, приближенное значение определенного
интеграла на отрезке ]hx,x[]x,x[
0010
α
+
=
равно площади
прямоугольной трапеции со значениями оснований
(
)
0
xf ,
(
)
1
xf и
высотой
α
h .
104
3. Вычисление приближенного значения определенного
интеграла по формуле прямоугольных трапеций на отрезке
]x,x[
0B0A
.
( )
()(
)
.
2
xfxf
hdxxf
10
x
x
1
0
+
⋅≈
∫
α
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
.xf
2
xfxf
h
2
xfxf
h
2
xfxf
h
dxxfdxxfdxxf
1
20
2110
x
x
x
x
x
x
2
1
1
0
2
0
+
+
⋅=
=
+
⋅+
+
⋅=
≈+=
∫∫∫
α
αα
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
.xfxf
2
xfxf
h
2
xfxf
h
2
xfxf
h
2
xfxf
h
dxxfdxxfdxxfdxxf
21
30
322110
x
x
x
x
x
x
x
x
3
2
2
1
1
0
3
0
++
+
⋅=
=
+
⋅+
+
⋅+
+
⋅≈
≈++=
∫∫∫∫
α
ααα
….………………………………………………………………
( ) ( )
()(
)
( )
.xf
2
xfxf
hdxxfdxxf
1N
1J
J
N0
N
1J
x
x
x
x
J
1J
N
0
+
+
⋅≈
=
∑∑
∫∫
−
==
−
α
Тогда приближенное значение определенного интеграла на
отрезке
]x,x[
0B0A
определяется согласно следующему
соотношению:
105
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
+
+
⋅=
=
+
+
⋅≈
≈
==
∑
∑
∑
∫∫∫
−
=
−
=
=
−
1S
1J
J
0B0A
1S
1J
J
S0
S
1J
x
x
x
x
x
x
xf
2
xfxf
h
xf
2
xfxf
h
dxxfdxxfdxxf
J
1J
S
0
0B
0A
α
α
В рассматриваемом дистанционном динамическом расчетном
проекте использование формулы прямоугольных трапеций имеет
следующую реализацию (итерация с индексом «N»
(
)
1N
≥
):
1. На искомом отрезке
[
]
0B0A
x,x при соблюдении условия
0B0A
xx
<
, исходя из вводимого или рассчитанного значения
величины шага
TR
h
α
(при вводимом значении количества шагов
TR
s
α
по формуле
T
0A0B
TR
s
xx
h
α
α
−
=
), выбирается абсцисса точки
подинтегральной функции с координатами
()(
)
TR
N
TR
N
xf,x
, то есть
TR
N
x
,
согласно следующему соотношению:
TRTR
1N
TR
N
hxx
α
+=
−
.
2. Осуществляется расчет площади элементарной
прямоугольной трапеции
TR
N
q
, значение высоты которой
TR
0
TR
1
TR
1N
TR
N
TR
xxxxh −=−=
−
α
, согласно следующему соотношению:
()(
)
2
xfxf
hq
TR
N
TR
1N
TRTR
N
+
⋅=
−
α
.
3. Осуществляется расчет приближенного значения
определенного интеграла на отрезке
[
]
TR
N0A
x,x
согласно следующему
соотношению:
( )
TR
N
TR
1N
TR
N
qII +=
−
αα
.
106
4. Если достигнута истинность выражения
0B
TR
N
xx ≥
, то
итерации прекращаются, количество шагов итераций
NsTR=
α
, тогда
приближенное значение определенного интеграла
TR
N
TR
IIαα=
.
5. Если
0B
TR
N
xx <
, то осуществляется переход к следующей
итерации.
Формула параболических трапеций (Симпсона)
1. Замена подинтегральной функции интерполяционным
многочленом второй степени на отрезке ]hx,x[]x,x[
0010
α
+
=
.
Имеем три заданных значения подинтегральной функции:
(
)
00
xfy
=
при
0
xx
=
,
(
)
2hxfy
021
α
+
=
при 2hxxx
021
α
+==
и
(
)
α
hxfy
01
+
=
при
α
hxxx
01
+==
.
Тогда
()()(
)
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
.xf
2
h
hah
2h
xfxf
xf
xxxxaxxaaxP
12
021
0
21101201102
=+⋅
−
+=
=−⋅−⋅+−⋅+
=
α
αα
α
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
.
h
xfxf2xf2
a
xf
2
h
axfxf2xf
2
0211
2
1
2
20210
α
α
+−
=⇒
⇒=+−+
Получим, что
( ) ( ) ( )
(
)
(
)
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
.
2
h
xxxx
h
xfxf2xf2
xx
h
xfxf2
xfxPxfy
00
2
0211
0
021
02
+−⋅−
+−
+
+−⋅
−
+=≈=
α
α
α
107
В данном случае график подинтегральной функции
(
)
xfy
=
на отрезке ]hx,x[]x,x[
0010
α
+
=
заменяется дугой параболы с
вертикальной осью, проходящей через точки
()(
)
00
xf,x ,
()(
)
()(
)
2hxf,2hxxf,x
002121
αα
++=
и
()(
)
=
1
1
xf,x
()(
)
αα
hxf,hx
00
++=
.
2. Вычисление приближенного значения определенного
интеграла на отрезке ]hx,x[]x,x[
0010
α
+
=
.
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
.dx
2
h
xxxx
h
xfxf2xf2
xx
h
xfxf2
xf
dxxPdxxfdxxf
hx
x
00
2
0211
0
021
0
hx
x
2
hx
x
x
x
0
0
0
0
0
0
1
0
∫
∫∫∫
+
++
+−⋅−
+−
+
+−⋅
−
+
=
=≈=
α
αα
α
α
α
Выполним замену переменной:
α
h
xx
t
0
−
=
,
α
htxx
0
⋅+=
,
dthdx
α
=
.
0txx
0
=⇒=
,
1thxxx
01
=⇒+==
α
.
Тогда
( )
(
)
(
)
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
=
−+−+
+⋅−+
⋅=
=
+−⋅−
+−
+
+−⋅
−
+
∫
∫
+
1
0
0211
0210
hx
x
00
2
0211
0
021
0
dt
2
1
ttxfxf2xf2
txfxf2xf
h
dx
2
h
xxxx
h
xfxf2xf
xx
h
xfxf2
xf
0
0
α
α
α
α
α
108
( )
( )
( )
( )
(
)
(
)
(
)
( )
( )
( )
( )
.xfxf4xf
6
h
6
xfxf2xf
xfxfxfh
1210
1210
0210
++⋅=
=
+
−
+−+⋅=
α
α
В итоге имеем:
( ) ( )
( )
( )
( )
.xfxf4xf
6
h
dxxf
1210
x
x
1
0
++⋅≈
∫
α
Таким образом, приближенное значение определенного
интеграла на отрезке
]hx,x[]x,x[
PT
0010
α
+=
равно площади
параболической трапеции, ограниченной осью абсцисс, линиями,
параллельными осям ординат, и дугой параболы с вертикальной
осью, проходящей через точки
()(
)
2121
xf,x
,
()(
)
()(
)
2hxf,2hxxf,x
002121
αα
++=
и
()()()(
)
αα
hxf,hxxf,x
0011
++=
.
3. Вычисление приближенного значения определенного
интеграла по формуле параболических трапеций (Симпсона) на
отрезке ]x,x[
0B0A
.
( ) ( )
( )
( )
( )
.xfxf4xf
6
h
dxxf
1210
x
x
1
0
++⋅≈
∫
α
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )( )
( )
.xfxfxf2
2
xfxf
3
h
xf2xfxf4xfxf
6
h
xfxf4xf
6
h
xfxf4xf
6
h
dxxfdxxfdxxf
12321
20
1232120
22311210
x
x
x
x
x
x
2
1
1
0
2
0
+++
+
⋅=
=++++⋅=
=++⋅+++⋅≈
≈+=
∫∫∫
α
α
αα
109
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
.xfxfxfxfxf2
2
xfxf
3
h
xfxf2xfxfxf4xfxf
6
h
xfxf4xf
6
h
xfxf4xf
6
h
xfxf4xf
6
h
dxxfdxxfdxxfdxxf
21252321
30
2125232130
3252
22311210
x
x
x
x
x
x
x
x
3
2
2
1
1
0
3
0
+++++
+
⋅=
=++++++⋅=
=++⋅+
+++⋅+++⋅≈
≈++=
∫∫∫∫
α
α
α
αα
……………………………………………………………………
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
.xfxf2
2
xfxf
3
h
dxxfdxxf
1N
1J
J
N
1J
21J2
N0
N
1J
x
x
x
x
J
1J
N
0
++
+
⋅≈
≈
=
∑∑
∑
∫∫
−
==
−
=
−
α
Тогда приближенное значение определенного интеграла на
отрезке ]x,x[
0B0A
определяется согласно следующему
соотношению:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
.xfxf2
2
xfxf
3
h
xfxf2
2
xfxf
3
h
dxxfdxxfdxxf
1S
1J
J
S
1J
21J2
0B0A
1S
1J
J
S
1J
21J2
S0
S
1J
x
x
x
x
x
x
J
1J
S
0
0B
0A
++
+
⋅=
=
++
+
⋅≈
≈
==
∑∑
∑∑
∑
∫∫∫
−
==
−
−
==
−
=
−
α
α
В рассматриваемом дистанционном динамическом расчетном
проекте использование формулы параболических трапеций
(Симпсона) имеет следующую реализацию (итерация с индексом
«N»
(
)
1N
≥
):
110
1. На отрезке
[
]
0B0A
x,x при соблюдении условия
0B0A
xx
<
,
исходя из вводимого или рассчитанного значения величины шага
PT
h
α
(при вводимом значении количества шагов
PT
s
α
по формуле
PT
0A0B
PT
s
xx
h
α
α
−
=
), выбирается абсцисса точки подинтегральной
функции с координатами
()(
)
PT
N
PT
N
xf,x
, то есть
PT
N
x
, согласно
следующему соотношению:
PTPT
1N
PT
N
hxx
α
+=
−
.
2. Осуществляется расчет площади элементарной
параболической трапеции
PT
N
q
, значение высоты которой
PT
0
PT
1
PT
1N
PT
N
PT
xxxxh −=−=
−
α
, согласно следующей формуле:
( )
( )
( ) ( )( )
PT
N
PT
21N2
PT
1N
PT
PT
N
xfxf4xf
6
h
q ++⋅=
−−
α
.
3. Осуществляется расчет приближенного значения
определенного интеграла на отрезке
[
]
PT
N0A
x,x
согласно
следующему соотношению:
( )
PT
N
PT
1N
PT
N
qII +=
−
αα
.
4. Если достигнута истинность выражения
0B
PT
N
xx ≥
, то
итерации прекращаются, количество шагов итераций
NsPT=
α
, и
приближенное значение определенного интеграла
PT
N
PT
IIαα=
.
5. Если
0B
PT
N
xx <
, то осуществляется переход к следующей
итерации.
2.3.2. Описание демо-версии расчетного проекта
Описание демо-версии дистанционного динамического
расчетного проекта «Приближенные вычисления значений
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]