Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Исследование системы автоматического управления электроприводом постоянного тока. Учебное пособие.pdf
=12;
h
уст
1.05⋅h
0.95⋅h
Таким образом, время переходного процесса равно t
=1.05⋅12=12.6;
уст
=0.95⋅12=11.4.
уст
=0.15 с.
р
2) перерегулирование определяется по рисунку 11.7 как превышение
максимального значения переходного процесса над установившимся
hh
σ
−
max
=
м
уст
h
уст
%100
=⋅
12
121.15
−
=⋅
.
%8.25%100
3) ошибка регулирования определяется по рисунку 11.9
h
ε
уст
м
ω
н
%100 =⋅=⋅=
25.3
%41.1%100
.
4.230
Полученные и заданные показатели качества приведены в таблице 11.1.
Таблица 11.1
Показатели качества Заданные Полученные
tр, с 0.2 0.15
σ
ε
, %
м
, %
м
18 25.8
0.1 1.41
Как видно, нескорректированная система электропривода не соответст-
вует требованиям по перерегулированию и ошибке.
11.7 Требуемый коэффициент усиления регулятора
Точность электропривода зависит от коэффициента усиления регулято-
ра. Чем он больше, тем меньше ошибка регулирования. По заданию скорость
вращения двигателя в статическом режиме при изменении момента от 0 до M
должна измениться не более, чем на
61
н
⋅
=Δ
ω
ε
(
=
ω
100
Из формулы (11.11)
⋅
м
=Δ
W
K
рег
ω
=
зам
p
2
()
ω
Δ
0
=
RMК
⋅⋅
KКК
дсп
Округляем требуемый коэффициент усиления регулятора до ближайше-
го большего целого. Принимаем
яцнд
M
нм
=
4.2301.0
=
– 1
23.0
с
.
(11.13)
100
2
)
⋅
RК
Δ
ω
яцд
KККK
дспрег
⋅⋅
RMК
яцнд
559.02.4154.0
⋅⋅
23.0
=⋅
н
1
+
2
()
=+
KККK
дспрег
2
1
−
=
⋅⋅
;
⇒⋅
M
н
;1
⇒
1
−
=
.1.26
(11.14)
54.00435.046
K .
рег
27
11.8 Устойчивость системы
Определим устойчивость системы электропривода по критерию Найкви-
ста с коэффициентом усиления регулятора, равным 1. По критерию устойчиво-
сти Михайлова определим устойчивость системы с коэффициентом усиления
регулятора, рассчитанным в п. 11.7.
Подставляя численные значения в формулы (11.9) − (11.11) получаем
1
(p) – разомкнутая передаточная функция с K
(W
р
рег
=1)
11.29
)(
=
pW
р
1
)(
=
pW
p
−−
08.1
−−
2436
2436
;
10359.0101.81032.2
+⋅+⋅⋅+⋅⋅
ppp
;
10359.0101.81032.2
+⋅+⋅⋅+⋅⋅
ppp
(11.15)
(11.16)
з
зам
)(
=
pW
68.670
;
−−
2436
ppp
11.300359.0101.81032.2
+⋅+⋅⋅+⋅⋅
(11.17)
62
−
м
(
)
()(
)
−
зам
25
163.0)(
=
pW
−−
2436
10248.0101.7
+⋅+⋅⋅
pp
+⋅+⋅⋅+⋅⋅
ppp
11.300359.0101.81032.2
.
(11.18)
11.8.1 Определение устойчивости по критерию Найквиста
Замкнутая система будет устойчивая, если амлитудно–фазочастотная
характеристика (АФЧХ) разомкнутой системы не будет охватывать точку с ко-
ординатами (– 1, j0).
АФЧХ разомкнутой системы получается при подстановке p=j
нение (11.16)
1
р
=
ω
в урав-
08.1
jW
ω
=
)(
−−
2436
jj
ωωω
=
+⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅−
10359.0101.81032.2
08.1
=
()( )
j
−−
1032.20359.0101.81
=
3624
ωωω
⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅−
08.1
=
()( )
()( )
j
j
×
()( )
()( )
()( )
j
j
2
24
−−
1032.20359.0101.81
−−
1032.20359.0101.81
⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−
−−
1032.20359.0101.81
⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−
−−
1032.20359.0101.81
ωωω
⋅⋅−⋅+⋅⋅−
×
3624
ωωω
⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅−
3624
ωωω
=
3624
ωωω
−−
1032.20359.008.1101.8108.1
ωωω
⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅−⋅
2
36
3624
=
=
()( )
()
+
2
24
2
24
−
1032.20359.008.1
101.8108.1
24
ω
⋅⋅−⋅
−−
1032.20359.0101.81
36
ωω
⋅⋅−⋅⋅−
−−
1032.20359.0101.81
36
ωωω
⋅⋅−⋅+⋅⋅−
ωωω
⋅⋅−⋅+⋅⋅−
2
+
2
36
Для оценки поведения АФЧХ на комплексной плоскости определим точ-
ки ее пересечения с осями. При пересечении вещественной оси
Q
р
1
−
1
;0
==
ωω
2
0359.0
6
−
1032.2
⋅
−
=
=⋅⋅−⋅⇒=
ωωω
1
−
.4.124
cc
361
63
11
ωω
jQPj +=
рр
).()(
(11.19)
;01032.20359.0;0)(
Отрицательный корень
зического смысла.
Значения ВЧХ при
ω
1
и
ω
ω
4
2
= −124.4 c
равны
– 1
игнорируем, как не имеющий фи-
При пересечении мнимой оси
Отрицательный корень
зического смысла.
Значение МЧХ при
Вещественную ось АФЧХ пересекает в точке с координатами (– 0.094;
P
1
1
р
=
ω
3
⋅
ω
= −35.14 c
5
ω
равно
3
1
ω
Q
р
1
ωω
PP
рр
−==
2
−
1
=
4
−
101.8
– 1
игнорируем, как не имеющий фи-
−=
3
.93.0)(
.094.0)(;09.1)(
241
;0101.81;0)(
=⋅⋅−⇒=
ωω
1
−
.14.35
c
j0) при частоте
АФЧХ ее
чива
.
не охватывает, и по критерию Найквиста замкнутая система устой-
ω
, которая находится правее точки (– 1; j0). Соответственно
2
В таблице 11.2 приведен расчет АФЧХ при других частотах. На рисунке
11.10 показана АФЧХ разомкнутой системы.
Таблица 11.2
– 1
ω
ω
, с
1
=0
Pр(ω) Qр(ω)
1.080 0.000
5 1.067 – 0.195
15 0.929 – 0.603
25 0.541 – 0.944
ω
=35.14
3
0.000 – 0.930
45 – 0.290 – 0.637
65 – 0.299 – 0.210
ω
=125.1
2
– 0.094 0.000
300 – 0.010 0.007
400 – 0.004 0.004
64
Под запасом устойчивости Δh по амплитуде понимают во сколько раз
P
(ω) Q
(ω)
ω
ω1ω
ϕ
1
можно увеличить коэффициент усиления разомкнутой системы, не вводя до-
полнительного фазового сдвига в систему, чтобы система пришла на границу
ω
устойчивости. Следовательно, для того, чтобы точка АФЧХ при частоте
име-
2
ла координаты (– 1; j0), коэффициент усиления разомкнутой системы необхо-
димо увеличить в Δh =
−
094.0
−
6.10
=
раз.
1
(-1; j0)
hΔ
Δ
=103
-0.4
-0.2
65
2
-0.2
0.60.40.2
0.8 1.0
1
0
45
-0.4
-0.6
-0.8
3
-1.0
-1.2
-1.4
25
Рисунок 11.10 – АФЧХ разомкнутой системы
1.2
5
15
Коэффициент усиления регулятора K
=27 больше запаса устойчивости.
рег
Поэтому введение регулятора в нескорректированную систему приводит к ее
неустойчивости.
ϕ
Под запасом устойчивости по фазе Δ
понимают, какой дополнитель-
ный фазовый сдвиг можно ввести в разомкнутую систему, не изменяя коэффи-
циент усиления системы, чтобы система пришла на границу устойчивости. Для
определения этого запаса необходимо начертить в координатах АФЧХ разомк-
нутой системы круг единичного радиуса с центром в начале координат (рису-
65
нок 11.10). Запас устойчивости по фазе определяется как угол между отрица-
−
=
ω
=
ω
ω
тельной частью вещественной оси и лучом, проведенным через начало коорди-
ϕ
нат и точку пересечения АФЧХ и круга с единичным радиусом (Δ
=1030).
11.8.2 Определение устойчивости по критерию Михайлова
По критерию устойчивости Михайлова определим устойчивость систе-
мы с коэффициентом усиления регулятора, рассчитанным в п. 11.7.
Замкнутая система будет устойчива, если годограф Михайлова (знаме-
натель замкнутой передаточной функции) последовательно обойдет n квадран-
тов комплексной плоскости в положительном направлении, где n – количество
корней характеристического уравнения.
Знаменатель передаточной функции замкнутой системы по заданию
з
зам
имеет вид (11.17)
)( pW
З
−
2436
+⋅+⋅⋅+⋅⋅=
ppppN
.
11.300359.0101.81032.2)(
Годограф Михайлова получается при подстановке в (11.18) p=j
З
()( )
j
−−
jQP
+=
2436
jjjN
1032.20359.0101.811.30
).()(
ωω
зз
ωωωω
−−
ωωω
11.300359.0101.81032.2)(
3624
=⋅⋅−⋅+⋅⋅−=
(11.20)
⋅ω
=+⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅−=
(11.21)
Для оценки поведения годографа Михайлова на комплексной плоскости
определим точки его пересечения с осями. При пересечении вещественной оси
Q
з
;0)(
−
36
;01032.20359.0
=⋅⋅−⋅
ωω
Отрицательный корень
ческого смысла.
Значения ВЧХ при
1
−
ω
1
;0
и
1
==
ωω
2
ω
= −124.4 игнорируем как не имеющего физи-
4
ω
равны
2
=
0359.0
=
6
−
1032.2
⋅
PP
21
зз
1
−
.4.124
cc
.57.17)(;11.30)(
66
При пересечении мнимой оси
=
ω
−
=
ω
;0)(
−
4
−
24
=⋅⋅−
ω
=
;0101.811.30
1
−
.8.192
c
ω
3
Отрицательный корень
P
з
11.30
=
101.8
⋅
ω
= −192.8 игнорируем как не имеющего физи-
5
ческого смысла.
ω
Значение МЧХ при
равно
3
Q
3
з
.71.9)(
Для устойчивой системы годограф должен начаться на положительной
части вещественной (горизонтальной) оси и последовательно пересекать снача-
ла мнимую, а затем вещественную ось. Судя по рассчитанным частотам поря-
док прохождения квадрантов нарушается, следовательно,
система неустойчи-
. Значения вещественной и мнимой частей годографа Михайлова в промежу-
ва
точных точках приведены в таблице 11.2. Годограф Михайлова представлен на
рисунке 11.11. Как видно предположение о неустойчивости верно.
Таблица 11.2
– 1
ω
ω
, с
1
=0
Pз(ω) Qз(ω)
30.11 0
5 30.09 0.18
20 29.79 0.7
80 24.93 1.68
ω
=124.4
2
ω
=192.8
3
300
400
17.57 0
0
− 9.71
− 42.79 − 51.87
− 99.49 − 134.12
Как видно из п. 11.8.1 и 11.8.2 увеличение коэффициента усиления ра-
зомкнутой системы для обеспечения заданной точности делает эту систему не-
устойчивой. Работоспособность САУ можно достичь или усложнением переда-
точной функции регулятора (последовательная коррекция), или применением
внутренних гибких обратных связей (параллельная коррекция).
67
11.9 Построение ЛАФЧХ разомкнутой нескорректированной сис-
P
(ω)
Q
(ω)
ω
ω2 ω
темы
ЛАФЧХ разомкнутой системы строится как сумма ЛАФЧХ отдельных
звеньев: тиристорного преобразователя, двигателя и обратной связи по скоро-
сти.
80
20
1
-60 -70
300
-10-20-30-40 -50
3
Рисунок 11.11 – Годограф Михайлова
10 20
-10
-20
-30
-40
-50
-60
-70
11.9.1 ЛАФЧХ двигателя L
д
ЛАЧХ двигателя, который представляет собой колебательное звено,
строится аппроксимированным способом, так как
жения
Слева от частоты сопряжения ЛАЧХ L
уровне 20⋅lg(K
11
ω
.
дs
T
д
)=20⋅lg(0.54)= −5.4 дБ. Справа с наклоном минус 40 дБ/дек.
д
0265.0
===
– 1
74.37
с
; lg(
проводится горизонтально на
д
68
ξ
=0.6>0.35 . Частота сопря-
ω
)=1.58.
s.д
Декадой называется единичный отрезок на оси lg(
ω
), когда частота ω
изменяется в 10 раз. Таким образом, L
справа от частоты сопряжения про-
д
водится через точки (1.58; – 5.4 дБ) и (2.58; – 45.4 дБ).
ЛФЧХ колебательного звена рассчитывается по формуле
⎛
2
−=
ωϕ
д
arctan)(
⎜
⎜
⎝
T
1
T
д
⎞
⋅⋅⋅
ωξ
д
⎟
.
22
⎟
⋅−
ω
⎠
Рассчитанные значения ЛФЧХ двигателя приведены в таблице 11.4.
ЛАФЧХ двигателя приведены на рисунке 11.12.
ϕ
В столбце
сумма значений по формуле (11.21) и (
(ω) значения ЛФЧХ после lg(ω)>1.58 определяются как
д
−
180).
Таблица 11.4 – ЛФЧХ двигателя
lg(
ω
)
ω
=10
lg(ω)
ϕ
(ω), град
д
0 1.0 – 1.9
0.5 3.2 – 5.9
1 10.0 – 19.3
1.25 17.8 – 36.8
1.5 31.6 – 73.9
1.58 37.74 – 90
1.75 56.2 – 123.6
2 100.0 – 151.5
2.5 316.2 – 171.5
3 1000.0 – 177.3
3.5 3162.3 – 179.2
4 10000.0 – 179.7
(11.22)
11.9.2 ЛАФЧХ тиристорного преобразователя L
п
ЛАЧХ преобразователя, который представляет собой апериодическое
звено, строится аппроксимированным способом. Частота сопряжения
ω
11
.
пs
τ
0033.0
===
303
с
– 1
; lg(
ω
s.п
)=2.48.
69
Слева от частоты сопряжения ЛАЧХ L
(
ωτω
ϕ
⋅−=
проводится горизонтально на
п
уровне 20⋅lg(К
)=20⋅lg(46)= 33.3 дБ. Справа – с наклоном минус 20 дБ/дек (про-
п
водится через точки (2.48; 33.3 дБ) и (3.48; 13.3 дБ).
ЛФЧХ апериодического звена рассчитывается по формуле
п
arctan)(
)
.
Рассчитанные значения ЛФЧХ преобразователя приведены в таблице
11.5.
ЛАФЧХ тиристорного преобразователя представлены на рисунке 11.12.
Таблица 11.5 – ЛФЧХ преобразователя
lg(
ω
)
ω
=10
lg(ω)
ϕ
п
0 1.0 – 0.2
0.5 3.2 – 0.6
1 10.0 – 1.9
1.5 31.6 – 6.0
2 100.0 – 18.3
2.5 316.2 – 46.2
3 1000.0 – 73.1
3.5 3162.3 – 84.5
4 10000.0 – 88.3
(11.23)
(ω), град
11.9.3 ЛАФЧХ обратной связи
ЛАЧХ цепи обратной связи по скорости, которая представляет собой
усилительное звено, проводится в виде горизонтальной прямой линии на уров-
не
=20⋅lg(Kс)= 20⋅lg(0.0434)= −27.3 дБ.
L
с
ЛФЧХ данного звена равна нулю. ЛАФЧХ цепи обратной связи по ско-
рости приведены на рисунке 11.12.
70