Исследование свойств биохимического реактора как объекта управления

1

Решетняк Е.П., Луценко О.В., Харина И.В.

ИССЛЕДОВАНИЕ СВОЙСТВ БИОХИМИЧЕСКОГО РЕАКТОРА КАК ОБЪЕКТА УПРАВЛЕНИЯ

Саратов 2007

2

УДК 62 ББК 36

Решетняк Е.П., Луценко О.В., Харина И.В.

Исследование свойств биохимического реактора как объекта управления / Решетняк Е.П., Луценко О.В., Харина И.В. – Саратов: Саратовский государственный аграрный университет имени Н.И. Вавилова, 2007. – 15 с. — опубл. 15.06.2012. — Электрон. версия печ. публ. — Доступ с сайта ЭБС IPRbooks.

В работе на основе нелинейных уравнений биохимического реактора (БХР) получены линейные уравнения движения. Показано, что свойства БХР как объекта управления существенно зависят от условий его работы. Результаты работы доказывают, что оптимальная система автоматического управления БХР должна быть адаптивной.

3

ИС С Л Е Д О В А Н И Е С В О Й С Т В Б И О Х И М И Ч Е С К О Г О

РЕ А К Т О Р А К А К О Б Ъ Е К Т А У П Р А В Л Е Н И Я

При решении задач анализа и синтеза систем автоматического управления процесс ферментации рассматривается как динамическая система, представленная математической моделью в виде дифференциальных уравнений с известными входными и выходными переменными. В данной работе на примере известной математической модели биохимического реактора - ферментера (ММФ) непре-

рывного действия дается ответ на вопрос, как изменяются свойства этой системы при изменении условий функционирования.

На рис.1 представлена схема проточного емкостного ферментера с мешалкой,

в котором проводят процесс культивирования (выращивания биомассы) анаэроб-

ных микроорганизмов [1]. Субстрат поступает в аппарат с потоком питательной среды, культуральная жидкость с находящимися в ней микроорганизмами непре-

рывно отводится из ферментера. Расход жидкой фазы через реактор F,м3/с, объём рабочего пространства – V, м3. Отношение F / V, 1/с, называют в биотехнологии скоростью разбавления и обозначают D, ее величина обратно пропорциональна времени пребывания культуральной жидкости в ферментере. Протекание процес-

са культивирования определяется текущими значениями концентрации биомассы

Х, кг/м3, и субстрата S, кг/м3, в рабочем объёме культиватора и в выходном пото-

ке. S0, кг/м3 - концентрация субстрата во входном потоке, концентрация био-

массы во входном потоке равна нулю.

При выводе рассматриваемой ММФ принимаются следующие допущения:

процесс может быть описан моделью идеального перемешивания, в ферментере выращиваются микроорганизмы одной популяции, процесс протекает в изотер-

мических условиях, кинетика процесса протекает в соответствии с зависимостью Моно.

4

Питательная среда

1 2

3

Культуральная

жидкость

Рис.1. Схема ферментера непрерывного действия: 1– корпус реактора; 2– крышка; 3– мешалка.

Математическая модель динамического режима ферментера в этом случае

имеет вид [1]:

где Y – экономический коэффициент, показывающий, сколько биомассы обра-

зуется из одного кг субстрата [безразмерный]; m – максимальная скорость об-

разования биомассы ,1/с; ks– константа Моно (концентрация субстрата, при которой = m/2) , кг/м3.

Для упрощения ММФ и уменьшения числа параметров часто вводят без-

размерные переменные:

Система уравнений (1) в этом случае принимает вид:

5

Величины x, y представляют собой выходные переменные ферментера, а ве-

личины , y0 – переменные управления. Как видно, система уравнений (2)

нелинейная. Численные значения типового во входном потоке представлены в табл.1.

Таблица 1. Численные значения параметров ММФ

6

Ан а л и з у р а в н е н и й с т а т и к и

Всоответствии с системой (2) уравнения статики принимают вид:

Для решения системы алгебраических уравнений (3) используем компью-

терную систему Maple-6. Соответствующая программа имеет вид:

Ввод уравнений статики:

> r1:=-delta*x+y/(1+y)*x=0;

y x

r1 := x 1y 0

> r2:=delta*y0-delta*y-y/(1+y)*x=0;

y x

r2 := y0 y 1y 0

Решение уравнений статики:

> solve({r1,r2},{x,y});

Как видно, математическая модель стационарных состояний имеет два реше-

Эти два решения пересекаются при критическом значении скорости разбавле-

ния B , при котором y y0 . Критическое значение скорости разбавления назы-

вают скоростью «вымывания» и определяют из первого равенства (5):

7

При B в ферментере реализуется режим «вымывания» (4), при котором образование биомассы не наблюдается, а при B - реализуется режим образо-

вания биомассы, определяемый в количественном отношении решением (5). За-

метим, что отсюда вытекает условие 1.

8

Л и н е а р и з а ц и я у р а в н е н и й д в и ж е н и я ф е р м е н т е р а

ММФ представляет собой систему нелинейных дифференциальных уравне-

ний. Её исследование сопряжено с большими трудностями, поэтому для изучения поведения объекта управления при небольших отклонениях его состояния от опорного, как правило, желаемого, стационарного, ММ линеаризуют.

Линеаризация ММ объекта управления представляет собой замену системы нелинейных дифференциальных уравнений нормальной системой линейных (точ-

нее линеаризованных) дифференциальных уравнений, записанных в абсолютных отклонениях переменных или в вариациях около стационарного движения. Гео-

метрически линеаризация может быть представлена как замена поверхности со-

стояний объекта управления плоскостью, касательной к поверхности состояний в точке стационарного режима.

При линеаризации нелинейные слагаемые в дифференциальных уравнениях разлагают в ряд Тейлора и члены с малостями второго и более высокого порядков отбрасывают [2]. В результате таких операций нелинейная функция двух пере-

менных

Таким образом, для линеаризации нелинейных ММ необходимо найти коор-

динаты опорного движения, определить первые производные нелинейных урав-

9

нений и записать линеаризованные уравнения. После линеаризации система диф-

ференциальных уравнений (2) принимает вид:

Процесс расчета коэффициентов линеаризованных уравнений (10) и характе-

ристических чисел ферментера представлены в приведенной ниже Maple-

программе. Для расчета опорного движения в соответствии с рекомендациями ра-

боты [1] примем y00 10, 0 0.1 0.9.

10

M a p l e - п р о г р а м м а р а с ч е т а

к о э ф ф и ц и е н т о в л и н е а р и з о в а н н ы х у р а в н е н и й и х а р а к т е р и с т и ч е с к и х ч и с е л ф е р м е н т е р а

>with(LinearAlgebra):

>with(plots):

>AL:=Matrix([[%?,%?],[%?,%?]]):BL:=Matrix([[%?,%?], [%?,%?]]): B:=Matrix([[%?,%?],[%?,%?]]):A:=Matrix([[%?, %?],[%?, %?]]): XR:=Vector(1..20,0.):YR:=Vector(1..20):

VR1:=array(1..20): VR2:=array(1..20):

Запишем правые части дифференциальных уравнений ферментера (2):

> s1:=-delta*x+y*x/(1+y);

s1 := x y x 1y

> s2:=delta*y0-delta*y-y/(1+y)*x;

Но в соответствии с первой из формул (5) y + δ / (δ – 1) = 0. Решим это уравнение относительно δ:

> s11:=y+delta/(delta-1.)=0;

> sols:=solve({s11},{delta});