Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Введение в квантовую механику. Учебное пособие
.pdf
Министерство образования и науки Российской Федерации
ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)
А. Л. Магазинников, В. А. Мухачёв
ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ
МЕХАНИКУ
Учебное пособие
Томск
«Эль Контент»
2012
УДК 530.145.6(075.8)
ББК 22.314я73
М123
Рецензенты:
Войцеховская О. К., проф. кафедры квантовой электроники и фотоники Томского
государственного университета;
Шандаров С. М., проф. кафедры электронных приборов ТУСУРа.
Магазинников А. Л.
М123 Введение в квантовую механику : учебное пособие / А. Л. Магазинни-
ков, В. А. Мухачёв. — Томск : Эль Контент, 2012. — 112 с.
ISBN 978-5-4332-0046-3
Учебное пособие посвящено основным законам квантовой механики.
Приведены многочисленные примеры, разъясняющие подходы к их решению. Последняя глава содержит варианты контрольной работы по квантовой механике.
Для студентов и преподавателей высших технических учебных заведений.
УДК 530.145.6(075.8)
ББК 22.314я73
ISBN 978-5-4332-0046-3 © Магазинников А. Л.,
© Мухачёв В. А., 2012
© Оформление.
ООО «Эль Контент», 2012
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение 5
1 Истоки квантовой механики 7
1.1 Волновая природа света . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Квантовая природа света . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Волновая природа материи. Корпускулярно-волновой дуализм . . . . 11
1.4 Квантовая теория атома . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5 Волна де Бройля волна вероятности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6 Основные положения матричной механики Гейзенберга . . . . . . . . 15
1.7 Соотношения неопределённостей Гейзенберга . . . . . . . . . . . . . . 17
1.8 Энергия основного состояния атома водорода . . . . . . . . . . . . . . 20
1.9 Примеры решения задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.10 Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2 Квантовая механика Шр¨eдингера 34
2.1 Уравнение Шрёдингера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2 Физический смысл Ψ-функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3 Движение свободной частицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.4 Квантование энергии частицы в одномерной потенциальной яме . . 38
2.5 Туннельный эффект . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.6 Холодная эмиссия электронов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.7 Квантовый гармонический осциллятор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.8 Операторы — аппарат квантовой механики . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.9 Средние значения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.10 Примеры решения задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.11 Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3 Атом водорода в квантовой механике 61
3.1 Энергия и координата электрона в атоме . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.2 Классические представления об орбитальных магнитном
и механическом моментах электрона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.3 Момент импульса электрона в атоме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.3.1 Проекция момента импульса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.3.2 Модуль момента импульса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.4 Магнитный момент электрона в атоме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.5 Спин электрона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.6 Принцип тождественности одинаковых частиц. Принцип запрета
(Паули) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4 Оглавление
3.7 Распределение электронов по энергетическим уровням атома . . . . . 73
3.7.1 Периодическая система элементов Менделеева . . . . . . . . . 74
3.8 Полные механический и магнитный моменты электрона . . . . . . . . 75
3.9 Механический и магнитный моменты атомов . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.10 Спектр атома водорода. Правило отбора при внутриатомных переходах 79
3.11 Тонкая структура уровней водородоподобных атомов . . . . . . . . . . 80
3.12 Постоянная тонкой структуры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.13 Эффект Зеемана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.13.1 Нормальный эффект Зеемана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.13.2 Аномальный эффект Зеемана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.14 Примеры решения задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.15 Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4 Контрольная работа 93
Заключение 100
Литература 102
Ответы к задачам для самостоятельного решения 104
Приложение А 105
Глоссарий 108
Предметный указатель 110
ВВЕДЕНИЕ
Квантовая механика — один из интереснейших, но и трудных разделов физики.
Необычность законов квантовой механики, противоречащих часто так называемому «здравому смыслу», насыщенность и сложность математики делают этот раздел
физики трудным для усвоения, особенно для студентов тех специальностей, где
квантовая механика не является профилирующим предметом.
Задача настоящего методического пособия — показать историю возникновения
квантовой механики и дать понятие об основных идеях и законах квантовой механики без излишнего увлечения математическим аппаратом.
Соглашения, принятые в книге
Для улучшения восприятия материала в данной книге используются пиктограммы и специальное выделение важной информации.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Эта пиктограмма означает определение или новое понятие.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Эта пиктограмма означает внимание. Здесь выделена важная информация, требующая акцента на ней. Автор здесь может поделиться с читателем опытом, чтобы помочь избежать некоторых
ошибок.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Эта пиктограмма означает цитату.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
В блоке «На заметку» автор может указать дополнительные сведения или другой взгляд на изучаемый предмет, чтобы помочь
читателю лучше понять основные идеи.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6 Введение
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Эта пиктограмма означает пример. В данном блоке автор может привести практический пример для пояснения и разбора основных моментов, отраженных в теоретическом материале.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Эта пиктограмма означает выводы. Здесь автор подводит итоги, обобщает изложенный материал или проводит анализ.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Пример
Выводы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Глава 1
ИСТОКИ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
1.1 Волновая природа света
В XVIII столетии физики почти единодушно придерживались ньютоновской
корпускулярной теории, согласно которой свет состоит из комбинаций очень маленьких частиц, вылетающих из источника света. Волновая теория Гюйгенса
(1690 г.) имела лишь нескольких сторонников. Однако положение в корне изменилось к началу XIX века, когда благодаря открытию Юнга выяснилось, что при
определённых условиях два световых луча могут взаимно ослаблять друг друга — явление совершенно необъяснимое с точки зрения корпускулярной теории.
Дальнейшие исследования Юнга и Френеля неопровержимо подтвердили волновую концепцию Гюйгенса, поскольку явление интерференции нельзя объяснить
иначе как с помощью волновой теории.
В интерференционном опыте Юнга пучок света освещает две очень узкие параллельные щели в непрозрачной д иафрагме. Из этих двух щелей диафрагмы на
экран падают две сферические когерентные волны. Эти волны накладываются одна
на другую и усиливают друг друга в случае, е сли их гребни совпадают. Если же
гребни одной волны попадают на впадины другой, то волны гасят друг друга. На
экране возникает эквидистантная система светлых и тёмных полос.
Аналогичная дифракционная картина получается и при прохождении света через одну щель. Это происходит вследствие взаимной интерференции между элементарными волнами Гюйгенса, исходящими из различных точек щели.
Тот факт, что вид дифракционной картины существенно зависит от длины
волны света, позволяет использовать интерференционные явления для нужд спектрального анализа (например, дифракционные решётки). Чтобы дифракционная
картина стала доступной наблюдению, необходимо, чтобы ширина щели (или щелей) была соизмерима с длиной волны света. Поэтому, если мы хотим наблюдать
интерференцию в рентгеновских лучах, нужно взять дифракционные решётки с постоянной порядка единиц ангстрем. В кристаллах межатомные расстояния как раз
8 Глава 1. Истоки квантовой механики
имеют нужный порядок величины. И действительно, прохождение пучка рентгеновских лучей сквозь кристалл сопровождается интерференцией. Это явление,
следуя Вульфу-Брэггу (1913 г.), можно истолковать как интерференцию между
отдельными лучами, отразившимися от различных плоскостей кристаллической
решетки.
Интерференция рентгеновских лучей является мощным орудием исследования
структуры кристаллов (Лауэ, 1912 г.). Можно использовать и кристаллические порошки (Дебай-Шерер, 1915 г.). В этом случае интерференционные картины будут
иметь вид колец, расположенных вокруг первоначального направления пучка.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Таким образом, волновая природа света прекрасно объясняла известные явления и прекрасно зарекомендовала себя в науке и технике.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Выводы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Квантовая природа света
Несмотря на огромный успех классических представлений в объяснении явлений интерференции, эти представления оказались бессильными при попытках
объяснить процессы поглощения и излучения света.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Вспомним, например, экспериментальный факт, что излучение водородного
атома имеет вид последовательности резко выраженных спектральных линий.
В атоме водорода имеется лишь один вращающийся вокруг ядра электрон. По законам электродинамики, такой электрон будет непрерывно излучать, и стало быть,
терять энергию. Поэтому в процессе движения он должен приближаться к ядру
и, в конце концов, упасть на него. При этом частота его вращения вокруг ядра
должна плавно изменяться из-за энергетических потерь. Но спектр водорода продолжает состоять из дискретных линий. Понять этот факт с классических позиций
совершенно невозможно.
Пример
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Не понятна с классической точки зрения и стабильность атомов. Следует учесть
ещё, что каждый атом газа согласно кинетической теории испытывает порядка
1010соударений в секунду. Неизбежным следствием любого соударения между
двумя атомами было бы полное изменение основных частот электронов. Однако
атомы тем не менее излучают те же спектральные линии и до и после соударения.
Классическая механика и классическая статистика неспособны объяснить законы теплового излучения. Как «акт отчаяния» для объяснения законов излучения
1.2 Квантовая природа света 9
М. Планк (1900 г.) выдвинул гипотезу: «излучение и поглощение энергии материей
происходит не непрерывно, а отдельными порциями — квантами энергии hν (здесь
h — постоянная Планка, ν — частота излучения).
В 1905 г. Эйнштейн пошёл дальше Планка. В соответствии с гипотезой све-
товых квантов (фотонов), выдвинутой Эйнштейном, свет состоит из квантов (корпускул), несущих энергию hν и летящих в пространстве, подобно дробинкам, со
скоростью света. На первый взгляд эта гипотеза может показаться слишком смелой,
однако существует целый ряд экспериментов, которые нельзя объяснить с волновой точки зрения, но которые сразу же становятся понятными с позиций гипотезы
световых квантов. Кратко вспомним эти эксперименты.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Самый прямой путь превращения световой энергии в механическую реализуется в фотоэлектрическом эффекте (Г.Герц, 1887 г.).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Если коротковолновый (ультрафиолетовый) свет падает в условиях вакуума
на поверхность металла, тотчас же обнаруживается, что металл заряжается положительно. Это означает, что поверхность отдаёт отрицательный электрический
заряд, т. е. испускает электроны. Используя тормозящее электрическое поле, можно определить скорость электронов. Тщательные измерения показали, что скорость
испускаемых электронов не зависит от интенсивности падающего света; с увеличением интенсивности возрастает лишь число вылетающих электронов, причём
возрастает пропорционально интенсивности (закон Столетова).
Что касается скорости фотоэлектронов, то она зависит только от частоты света
ν; кинетическая энергия электронов Eкопределяется соотношением
Eк= hν − A, (1.1)
где A — работа выхода электрона, константа, характеризующая металл.
С точки зрения гипотезы световых квантов оба эти обстоятельства понятны.
Каждый световой квант, попадая в металл и взаимодействуя с одним из электронов,
передаёт ему всю свою энергию и выбивает его из металла. Однако прежде чем
вырваться из металла, электрон теряет часть энергии, равную работе выхода (A).
Число выбитых электронов пропорционально числу падающих световых квантов,
т. е. интенсивности света.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Наиболее впечатляющим фактом в пользу корпускулярной природы света является эффект Комптона.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Исследуя рассеяние рентгеновских лучей на парафине, Комптон обнаружил
(1922 г.), что лучи, рассеянные на разные углы, обладают большей длиной волны,
чем исходное излучение. С позиций волновой теории это явление необъяснимо.
Обрабатывая результаты измерений, Комптон получил эмпирическую формулу:
λ′− λ = 2,4 ⋅ 10
−12
(1 − cos θ)(м), (1.2)
10 Глава 1. Истоки квантовой механики
где λ — исходная длина волны, λ′— длина волны рассеянного света, θ — угол рассеяния.
Однако с корпускулярной точки зрения этот результат вполне понятен (Комптон, Дебай, 1923 г.). Они рассмотрели упругое столкновение двух частиц — светового кванта (фотона) и электрона — как упругое столкновение двух бильярдных шаров
разных масс. Как известно из классической механики, при упругом столкновении
выполняются законы сохранения энергии и импульса (закон сохранения импульса
иллюстрирует рис. 1.1). Поскольку фотон летит со скоростью света, необходимо
записывать эти законы в релятивистской форме:
hc
+ mc2=
λ
где hcλ — энергия фотона до столкновения; hcλ
hc
λ
′
+ E,
h
k =hk′+pe, (1.3)
′
— энергия этого же фотона по-
сле столкновения; mc2— энергия покоя электрона; E — полная энергия электрона,
E = cp
2
+ m2c2;hk — импульс фотона до столкновения;hk′— импульс фотона по-
e
сле столкновения;pe— импульс электрона (такой электрон называют электроном
отдачи);
k — волновой вектор, модуль которого равен 2πλ.
Рис. 1.1 – Схема, поясняющая закон сохранения импульса в эффекте Комптона
(3 — угол рассеяния электрона отдачи)
Решив систему уравнений (1.3), Комптон получил:
λ′− λ =
2πh
(1 − cos θ), (1.4)
mc
где 2π
h(mc)= 2 ⋅ 3,14 ⋅ 1,05 ⋅ 10
−34
(9,1 ⋅ 10
−31
⋅ 3 ⋅ 10
8
)= 2,4 ⋅ 10
−12
(м), что полностью
совпало с экспериментом (формула (1.2)). Дальнейшие исследования с применением камеры Вильсона подтвердили справедливость формулы (1.4).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Выводы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Таким образом, комптоновское рассеяние представляет собой пример процесса, в котором свет ведёт себя как частица с вполне определённой энергией и импульсом. С другой стороны, явление интерференции совершенно несовместимо
с корпускулярными представлениями о свете. Казалось, что устранение этого противоречия лежит за пределами человеческих возможностей.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]