Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Введение в квантовую механику. Учебное пособие
.pdf
3.11 Тонкая структура уровней водородоподобных атомов 81
Рис. 3.7 – Схема энергетических уровней атома водорода и возможные переходы
электрона в атоме
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Орбитальное движение электрона создает орбитальный магнитный моментµl, т. е. магнитное полеBl. Спиновый магнитный момент, конечно же, взаимодействует с этим магнитным полем.
Такое взаимодействие называется спин-орбитальным.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
И в зависимости от ориентации спина это взаимодействие по-разному изменяет
энергию электрона. Еслиµl⇈µS— будет отталкивание (рис. 3.8), энергия увеличивается; е слиµl↑↓µS— притяжение, энергия уменьшается. Вместо одного основного
уровня мы имеем два уровня.
Расщепление уровней с данным n из-за спин-орбитального взаимодействия
называется тонкой структурой. Тонкой называют потому, что расщепление мало по
сравнению с «расстоянием» между значениями энергии Enс разными n (рис. 3.9).
На рис. 3.9, a изображена схема расщепления уровня с n = 2. Принято состояние
электрона обозначать так: nlj.
У многоэлектронных атомов может быть по несколько линий тонкой структуры — мультиплеты. Число линий определяется числом возможных значений j и правилом отбора (например, у элемента Mn — 6 линий, у Fe — 9 линий).
Почему у Na (11 электронов) только две линии (дублет, рис. 3.9, б)? У Na слои
с n = 1 и n = 2 полностью заполнены: Σµ = 0. В слое n = 3 находится только один
электрон: он может находиться либо в s-, либо p-состоянии.
82 Глава 3. Атом водорода в квантовой механике
Рис. 3.8 – Направления орбитальногоµlи спиновогоµSмагнитных моментов для
электрона, вращающегося вокруг ядра
Рис. 3.9 – Тонкая структура спектральных линий: а — схема расщепления уровня
с n = 2; б — схема расщепления уровней натрия с n = 3
3.12 Постоянная тонкой структуры
Обусловленное спин-орбитальным взаимодействием расщепление энергетических уровней является релятивистским эффектом, поскольку сам спин — релятивистский параметр. Из решения релятивистского уравнения Дирака получается
следующее выражение для интервала между энергетическими уровнями тонкой
структуры:
∆E =
где Ei— энергия ионизации, для атома водорода, Ei= 13,6 эВ; α — постоянная
тонкой структуры.
В системе СИ: α = e
2
(4πε
⋅
h ⋅ c)≅ 7,3 ⋅ 10−3≅ 1137.
0
Значение ∆E, вычисленное по формуле (3.40), примерно в 105раз меньше, чем
∆E между основными уровнями, определяемыми значением n.
Постоянная тонкой структуры принадлежит к числу фундаментальных констант природы. Её смысл становится очевидным при переходе к естественной
системе единиц, применяемой в квантовой электродинамике: единица массы равна
массе электрона me, единица длины равна oc— комптоновской длине электрона:
oc= λ
(2π)=h(me⋅ c); единица энергии равна энергии покоя электрона m
c
2
α
Ei, (3.40)
16
e
⋅ c2;
3.13 Эффект Зеемана 83
уже знакомые нам:h — естественная единица измерения механического момента импульса; µБ— естественная единица измерения магнитного момента импульса
и т. д.
Найдем энергию взаимодействия двух электронов, находящихся на расстоянии oc:
2
1
4πε
h(m
e
, r = oc;
r
0
2
c
)
e
=
1
4πε
0
2
e
h ⋅ c
= α.
(Разделив E(m
E =
1
e2⋅ me⋅ c
E =
4πε
0
2
c
), мы выразили E в «штуках» естественной единицы энергии,
e
т. е. в виде безразмерной величины α).
Итак, постоянная тонкой структуры характеризует энергию взаимодействия
двух электронов. Иначе можно сказать, что α определяет, как сильно электрон связан с электромагнитным полем. Поскольку в выражение для α масса электрона не
входит, то α является const связи с электромагнитным полем любой элементарной
частицы, имеющей заряд e.
3.13 Эффект Зеемана
3.13.1 Нормальный эффект Зеемана
Квантовая механика позволила объяснить примерно 30 лет остававшийся непо-
нятным эффект Зеемана.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Эффектом Зеемана (Питер Зееман, 1865–1940 гг.) называется расщепление энергетических уровней и, следовательно, спектральных линий на несколько компонентов в магнитном поле.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Это расщепление было обнаружено голландским физиком П. Зееманом в 1896 г.
Расщепление невелико: при B ≅ 1 Тл оно составляет несколько десятых долей
ангстрема (∆λ ∼ 10
Расщепление объясняется тем, что атом, обладающий магнитным моментом,
связанным с орбитальным движением электронов, приобретает в магнитном поле
дополнительную энергию:
где µlB— проекция магнитного момента на направление внешнего магнитного поля
B. Поскольку m = 0, ±1, ±2, . . ., ±l, то ясно, что энергетический уровень расщепляется на 2l + 1 компонентов (рис. 3.10).
Все это соответствует нормальному (или простому) эффекту Зеемана. Объяснение его было сделано Г. Лоренцем задолго до введения квантовых чисел l и m.
Рассуждения просты: раз в атоме есть электроны, они как-то движут ся и, следовательно, обладают магнитным моментом, который взаимодействует с внешним
магнитным полем. Квантовые числа l и m дали четкие и понятные количественные
соотношения.
−11
м).
∆E = −µlBB,
84 Глава 3. Атом водорода в квантовой механике
Рис. 3.10 – Расщепление энергетических уровней в магнитном поле (нормальный
эффект Зеемана)
3.13.2 Аномальный эффект Зеемана
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
При использовании более чувствительной аппаратуры уже в относительно слабых магнитных полях было обнаружено большее
число линий, чем это следовало из простого эффекта Зеемана.
Такая структура линий была названа тонкой структурой, а сам
эффект — аномальным эффектом Зеемана.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Он не был объяснен до тех пор, пока в науку не было введено понятие спи-
на. Как было отмечено в разделе 3.11, тонкая структура есть следствие спин-
орбитального взаимодействия. Спин-орбитальное взаимодействие существует всегда, т. е. и в отсутствие внешнего магнитного поля; магнитное поле нужно для
выявления этого взаимодействия. Обычно природу аномального эффекта Зеемана иллюстрируют на примере тонкой структуры знаменитого дублета натрия. На
рис. 3.11 показана тонкая ст руктура дублета натрия при B = 0 и при включении
магнитного поля.
Число состояний тонкой структуры определяется числом возможных значений
m
: при l = 0 (s-состояние) J = 12; при l = 1 (p-состояние) J = 32 и 12. При
J
включении магнитного поля каждое из этих состояний расщепляется на такое число
новых состояний, сколько возможно значений mJ: m
Поэтому со стояние 3p
и 3s
— только на два состояния — в соответствии с числом возможных проекций.
12
расщепляется на четыре состояния, а состояния 3p
32
= ±J , ±(J − 1), ±(J − 2), . . ..
J
12
Число спектральных линий тонкой структуры определяется правилом отбора: ∆J =
= 0, ±1. Поэтому линия 5096˚A расщепляется на четыре линии, а линия 5090˚A —
на шесть — по числу возможных переходов.
3.14 Примеры решения задач 85
Рис. 3.11 – Расщепление энергетических уровней натрия в магнитном поле
(аномальный эффект Зеемана)
3.14 Примеры решения задач
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Пример 3.1
Пси-функция основного состояния водородного атома имеет вид ψ = Ae
где r0— радиус первой боровской орбиты. Найти:
а) значение константы A;
б) плотность вероятности ρrнахождения электрона на расстоянии r от ядра;
в) наиболее вероятное расстояние r
электрона от ядра;
вep
г) среднее расстояние rэлектрона от ядра;
д) среднее значение потенциальной энергии электрона U;
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−rr
0
,
е) вероятность Pηтого, что электрон находится на расстоянии от ядра, превы-
шающем ηr0(η — некоторое число).
Решение:
а) Константу A найдём из условия нормировки вероятностей:
∞
2
ψ
−∞
dV = 1. (3.41)
86 Глава 3. Атом водорода в квантовой механике
В качестве объёма dV следует взять сферический слой толщиной dr на рассто-
янии r от ядра. Тогда dV = 4πr2dr и условие (3.41) запишется в виде:
+∞
2
⋅ ψ
2
dr = 1,
4πr
0
4π ⋅ A2⋅
+∞
0
r2⋅ e
−2r
r
0
dr = 1. (3.42)
Известно, что интеграл:
2
r
2r
r2⋅ eardr = e
ar
−
a
2
+
2
a
+ const
3
a
(см. приложение A).
В нашем случае r изменяется от 0 до +∞, значение a = −2r
+∞
0
r2⋅ e
−2r
r
0
dr =
3
r
0
.
4
, поэтому:
0
Равенство (3.42) запишется в виде:
3
r
4π ⋅ A2⋅
0
= 1.
4
Таким образом:
A =
πr
.
3
0
1
б) Плотность вероятности ρrнахождения электрона на расстоянии r от ядра:
dP
ρr=
. (3.43)
dr
Вероятность обнаружить электрон в слое толщиной dr на расстоянии r от ядра:
2
dP = 4πr
⋅ ψ
2
dr.
Тогда с учётом (3.43) искомая плотность вероятности:
2
2
⋅ ψ
,
−2r
r
0
⋅ e
.
соответствует максимуму функции ρr.
−2r
2
r
− r2⋅
0
e
r
,
0
в) Наиболее вероятное расстояние r
Находим производную ρ
′
и приравниваем к нулю:
r
′
ρ
=
r
r
ρr= 4πr
ρr=
4
2r ⋅ e
3
0
4r
r
−2r
r
3
0
вep
0
2
3.14 Примеры решения задач 87
r
вep
1 −
r
вep
r
0
= r0.
= 0,
г) Среднее расстояние rэлектрона от ядра находится по известной формуле:
+∞
r=
0
r ⋅ ψ
2
⋅ dV,
где dV — объём шарового слоя толщиной dr: dV = 4πr2dr. Следовательно,
r=
+∞
4
⋅
3
r
0
0
r3⋅ e
−2r
r
0
dr. (3.44)
Известно, что интеграл:
3
2
3r
6r
−
+
2
a
6
−
3
a
4
a
r3⋅ eardr = e
r
ar
a
(см. приложение A).
В нашем случае r изменяется от 0 до +∞, значение a = −2r
+∞
0
r3⋅ e
−2r
r
0
dr =
3
4
r
.
0
8
По формуле (3.44) находим среднее расстояние r:
4
3
3
r=
r
r=
4
⋅
r
=
r0,
0
3
8
0
2
3
r0.
2
д) Потенциальная энергия электрона:
+ const
, поэтому:
0
2
1
U = −
4πε
e
.
r
0
Среднее значение потенциальной энергии электрона:
2
e
U= −
4πε
1
. (3.45)
r
0
Среднее значение 1rнаходится по известной формуле:
+∞
1
=
r
1
2
⋅ ψ
r
0
⋅ dV. (3.46)
Подставив сюда выражения для ψ и dV, получим:
1
=
r
+∞
4
⋅
3
r
0
0
r ⋅ e
−2r
r
0
dr.
88 Глава 3. Атом водорода в квантовой механике
Воспользовавшись приложением, находим значение интеграла:
+∞
0
r ⋅ e
−2r
r
0
dr =
2
r
0
.
4
Следовательно,
2
1
=
r
r
4
⋅
3
r
0
1
0
=
4
. (3.47)
r
0
Подставив выражение (3.47) в выражение (3.45), получим искомое выражение
для средней потенциальной энергии:
2
1
U= −
4πε
e
.
r
0
0
е) Определим вероятность Pηтого, что электрон находится на расстоянии от
ядра, превышающем η ⋅ r0:
Pη=
+∞
2
ψ
ηr
4
=
r
dV =
0
−2η
⋅ e
3
0
+∞
ηr
0
⋅ (ηr0)
4πr2⋅
r
2
⋅
2
πr
0
+ 2ηr0⋅
−2r
1
r
0
⋅ e
3
0
dr =
3
2
r
r
0
0
+
4
4
4
3
r
0
= e
⋅
ηr
−2η
+∞
0
−2r
r
r2⋅ e
⋅ (2η2+ 2η + 1).
0
dr =
Таким образом:
−2η
Pη= e
⋅ (2η2+ 2η + 1).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Пример 3.2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Определить модуль максимальной проекции орбитального магнитного момента
электрона в атоме водорода, находящегося в p-состоянии.
Решение:
В соответствии с формулой (3.14) проекция орбитального магнитного момента
вычисляется по формуле µz= µБ⋅ m. p-состояние соответствует значению l = 1
(рис. 3.7). При l = 1 магнитное квантовое число может принимать значения m =
= 0, ±1. Поскольку требуется определить модуль максимальной проекции, берем
m = 1.
Тогда µz= µБ⋅ 1 = µБ= 9,27 ⋅ 10
−24
ДжТл.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Пример 3.3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Вычислить максимальный механический момент атома водорода в состоянии
с главным квантовым числом n = 4.
3.14 Примеры решения задач 89
Решение:
Если речь идет об атоме, то имеется в виду полный механический (или магнитный) момент электрона. В атоме водорода (или водородоподобном) момент атома
определяется полным моментом одного электрона. Полный механический момент
электрона вычисляется по формуле (3.24):
Lj=h
j(j + 1).
Максимальное значение при n = 4 l = 3, поэтому:
1
7
=
.
2
2
63 ≅ 4h ≅ 4,2 ⋅ 10
−34
Дж ⋅ с.
Lj=h
j
= l + S = 3 +
max
7
7
+ 1=
2
2
7
h
⋅
2
√
9
h
=
2
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Пример 3.4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Вычислить максимальный магнитный момент атома водорода, находящегося
в 3p-состоянии.
Решение:
Как и в предыдущей задаче, речь идет о полном магнитном моменте электрона,
вычисляемого по формуле (3.29):
µj= g ⋅ µ
Б
j(j + 1).
Состояние 3p расшифровывается так: n = 3 l = 1. Максимальное значение j при
этом условии j = l + S = 1 + 12 = 32. По формуле (3.28) вычислим фактор Ланде:
3
g = 1 +
Итак: µj= 1,33 ⋅ µ
3
+ 1+
2
2
32(32 + 1)= 2,58 ⋅ µ
Б
2 ⋅
1
1
+ 1− 1(1 + 1)
2
2
3
3
+ 1
2
2
Б
= 23,9 ⋅ 10
= 1,33.
−24
ДжТл.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Пример 3.5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Заполненный электронный слой характеризуется главным квантовым числом
n = 4. Указать возможное число электронов в этом слое, которые могут иметь
одинаковое спиновое m
= −12 и магнитное m = 1 квантовые числа.
s
90 Глава 3. Атом водорода в квантовой механике
Решение:
Выпишем возможные значения квантовых чисел в слое с n = 4: l = 0, 1, 2, 3;
m = 0, ±1, ±2, ±3; m
возможные отличия только у l: 1, 2, 3. Таким образом, ответ — три электрона:
1) 4, 1, 1, -1/2;
2) 4, 2, 1, -1/2;
3) 4, 3, 1, -1/2.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
= ±12. При фиксированных значениях m = +1, ms= −12
s
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Атом водорода поглотил фотон и перешел в 7-е возбужденное состояние. Во
сколько раз уменьшится полный максимальный момент импульса атома, когда он
вернется в основное состояние?
Решение:
В основном состоянии n = 1 l = 0, т. е. орбитальный момент импульса равен
нулю. Остается только спиновый момент: j = S = 12. Тогда:
L1=h
Седьмое возбужденное состояние — это состояние с n = 8. Максимальное значение «полного» квантового числа:
Тогда: L8=h
Итак: L
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8L1
7,5(7,5 + 1)= 7,98
= 7,98
h ⋅ 2(
j(j + 1)=
j = l + S = 7 +
√
3
h)= 9,22.
Пример 3.6
1
2
1
2
1
+ 1=
2
= 7,5.
h.
h
√
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
h.
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Определить кратность вырождения уровня (число состояний с одинаковой
энергией) для водородоподобного иона в состоянии с главным квантовым числом
n = 7.
Решение:
Кратность вырождения — то же самое, что максимальное число электронов
в слое с заданным n: кратность вырождения равна 2n2= 2 ⋅ 72= 98.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Пример 3.7
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]