Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Введение в квантовую механику. Учебное пособие
.pdf
2.4 Квантование энергии частицы в одномерной потенциальной яме 41
Рис. 2.2 – a — зависимости ψ(x)при различных значениях n, б — зависимости
квадрата модуля ψ
2
от x при тех же значениях n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Видны следующие закономерности:
1) Число полуволн де Бройля равно n.
2) Поведение частицы в яме зависит от n: например, при n = 1
частица наиболее вероятно будет находиться в середине
ямы, но уже при n = 2 частица будет либо в левой, либо
в правой половине ямы, а вероятность нахождения в середине ямы равна нулю.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
С увеличением энергии (т.е. с ростом квантового числа n) максимумы рас-
2
пределения
n картина распределения
ψ(x)
располагаются всё ближе друг к другу. При очень больших
ψ(x)
2
практически «сливается» и представляется рав-
номерным — частица начинает с ебя вести совсем «по-классически». При больших
квантовых числах выводы и результаты квантовой механики должны соответствовать классическим результатам.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Следует обратить внимание на то, что минимальное значение энергии частицы в яме не равно нулю. Квантовая частица не может
лежать на дне ямы!
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ведь у частицы в яме ограничена область возможных значений её координаты,
поэтому должен существовать разброс по импульсам, а значит, отлична от нуля
2
2
и энергия. При n = 1 E
min
= π
h
(2ml2)> 0.
Случай 2. Рассмотрим поведение частицы в потенциальной яме, в которой одна
из стенок имеет конечную высоту (рис. 2.3). Потенциальная энергия частицы в яме:
U(x)Ð→ ∞ при x ⩽ 0,
U(x)= 0 при 0 < x < l,
U(x)= U
при x ⩾ l.
0
42 Глава 2. Квантовая механика Шр¨eдингера
Рис. 2.3 – Потенциальная яма, одна из стенок которой имеет конечную высоту U
Полная энергия частицы E < 0, частица находится в яме (рис. 2.3). Как будет
вести себя «классическая частица», т. е. с точки зрения классической физики?
На участке 0–l она движется с постоянной кинетической энергией и, следовательно, с постоянной скоростью. При E < U0частица не может выйти из ямы,
потому что вне ямы потенциальная энергия больше полной и кинетическая энергия Eкдолжна бы иметь отрицательное значение, что невозможно. Подойдя к краю
ямы, частица отражается и летит обратно, там снова отражается и т. д. Таким образом, классическая частица не может быть вне ямы и с одинаковой вероятностью
может быть найдена в любом месте внутри ямы.
Поведение квантовой частицы иное. ψ-функция частицы должна быть непрерывной и гладкой. Поэтому ψ-функция не может «оборваться» у правой стенки
и должна продолжаться за ней. (Аналог: световая волна частично отражается, но
частично преломляется, т.е. уходит внутрь II области.) Появляется вероятность обнаружить частицу в области II, где U > E. У левой стенки ψ-функция должна быть
равна нулю, т. к. там U (x)Ð→ ∞ и частица туда попасть не может.
Рассмотрим точное решение задачи о движении частицы в одномерной потенциальной яме. Уравнение Шрёдингера в этом случае имеет вид:
d2ψ
dx
2m
+
2
2
h
E − U(x)
ψ = 0. (2.18)
0
Поскольку U (x)является ступенчатой функцией, то для решения область из-
менения x удобно разбить на два участка с постоянными значениями U (рис. 2.3)
и получить решения для каждого участка в отдельности, а потом «сшить» их так,
чтобы функция ψ(x)была непрерывной и гладкой в точке x = l.
В области x ⩽ 0 U (x)Ð→ ∞, следовательно ψ(x)= 0.
Снабдим решения на участке I индексом 1, а на участке II индексом 2.
Область I. При 0 < x < l потенциальная энергия U = 0 и уравнение Шрёдингера
имеет вид:
d2ψ
1
+ k2ψ1= 0, (2.19)
2
dx
где k
2
= 2mE
h2.
Решение уравнения (2.19) имеет вид:
ψ
(x)= A ⋅ sin kx. (2.20)
1
2.5 Туннельный эффект 43
Область II. При x > l потенциальная энергия U(x)= U
. Уравнение Шрёдингера
0
имеет вид:
d2ψ
dx
2m
2
+
2
(E − U0)ψ
2
h
= 0, (2.21)
2
где E < U0.
Решение уравнения (2.21):
ψ
(x)= B exp
2
Обозначим: k
2
= 2m(U0− E)
2m(U0− E)
h
h2. Тогда:
ψ
(x)= Be
2
x
+ C exp
kx
+ Ce
2m(U0− E)
−
−kx
. (2.22)
h
x
.
Из требования конечности ψ-функции следует, что B = 0, поскольку экспонен-
та с положительным показателем соответствует непрерывному росту вероятности
обнаружения частицы в области II c увеличением глубины проникновения x, что
неприемлемо. Итак,
ψ
(x)= Ce
2
−kx
(2.23)
— спадающая экспонента. Это означает, что частица может заходить в область, где
E < U0.
Таким образом, если одна из стенок ямы имеет конечную высоту, уравне-
ние (2.18) имеет решение:
0, если x ⩽ 0,
ψ(x)=
A sin kx, если 0 < x < l,
−kx
Ce
, если x ⩾ l.
Требование непрерывности и гладкости в точке x = l означает, что:
ψ
(l)= ψ2(l), ψ
1
′
(l)= ψ
1
′
2
(l).
Так же как в случае 1, спектр собственных значений энергии E оказывается дис-
кретным. Собственным значениям энергии Enсоответствуют некоторые состояния
частицы, при этом каждое состояние характеризуется ψ-функцией. Зависимости
2
ψ(x)иψ(x)
В области 0 < x < l зависимости ψ(x)иψ(x)
для одного из состояний показаны на рис. 2.4.
2
носят волновой характер. При x ⩾
⩾ l имеем экспоненциальное убывание этих зависимостей. Частица может оказаться
в области II, где её полная энергия E < U0.
2.5 Туннельный эффект
Квантовая механика позволила предсказать так называемый «туннельный эф-
фект» — прохождение электронов сквозь узкий потенциальный барьер, «высота»
которого U больше энергии электрона E. Физика туннельного эффекта объясняется
соотношением неопределённостей.
44 Глава 2. Квантовая механика Шр¨eдингера
2
Рис. 2.4 – Зависимости ψ(x)иψ(x)
для одного из состояний частицы
в потенциальной яме
Рис. 2.5 – а — прямоугольный потенциальный барьер, б — волновая функция
частицы ψ(x)
«Классическая частица», т. е. с точки зрения классической физики, не может
выйти из ямы, потому что вне ямы потенциальная энергия больше полной энергии.
2.5 Туннельный эффект 45
Подойдя к краю ямы, частица отражается и летит обратно, там снова отражается
и т. д. «Классическая частица» не может быть вне такой ямы и с равной вероятностью может быть найдена в любом месте внутри ямы.
Поведение квантовой частицы иное. В квантовой механике равенство E = Eк+U
нельзя понимать как численное равенство. Кинетическая энергия Eкзависит от
импульса, потенциальная U — от координат, и, в соответствии с соотношением
неопределённостей, они не могут одновременно иметь точные значения. В квантовой механике справедливо равенство:
E= Eк+ U, (2.24)
где скобки означают среднее значение соответствующей величины. Равенст-
во (2.24) допускает, что в некоторых точках пространства в какие-то моменты
времени полная энергия может оказаться меньше U .
Если потенциальный барьер (область II) будет конечной ширины (рис. 2.5), то
частица может оказаться за барьером.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Прохождение частиц сквозь потенциальный барьер называется
туннельным эффектом.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Соотношение неопределённостей позволяет понять причину проникновения
частиц за барьер. Если под ∆t в соотношении (1.7) понимать время взаимодействия
частицы с барьером, то чем меньше ширина барьера d, тем меньше ∆t, тем больше
неопределённость энергии ∆E. И как только ∆E станет больше U − E, частица
сможет преодолеть барьер.
Рис. 2.6 – Потенциальный барьер произвольной формы
Вероятность нахождения частицы пропорциональна ψ
ент прозрачности (проницаемости) барьера:
D = ψ
2
= D
exp(−2kd)= D
0
0
exp
−2d
2m
(U0− E)
2
h
2
. Поэтому коэффици-
,
46 Глава 2. Квантовая механика Шр¨eдингера
D = D
exp −
0
2d
2m(U0− E). (2.25)
h
Для барьера произвольной формы (рис. 2.6):
x
2
2
−
h
x
1
2m
U(x)− E
dx
, (2.26)
D = D0exp
где D0— постоянный коэффициент, близкий к единице.
Туннельный эффект иллюст рирует могущество квантовой теории: он был пред-
сказан на основе, казало сь бы, формальных положений, стандартных условий, которым должна удовлетворять ψ-функция.
Туннельный эффект был впервые использован в 1928 г. для объяснения α-
распада ядер атомов (Г. Гамов) и для объяснения холодной эмиссии электронов
из металла (Р. Фаулер, Л. Нордгейм). В полупроводниковой электронике широко
используются туннельные диоды, в основе работы которых лежит туннельный
эффект.
2.6 Холодная эмиссия электронов
Рассмотрим более подробно явление туннельной эмиссии электронов из ме-
талла.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Выход электронов из металла, вызванный действием сил электрического поля на свободные электроны в металле, называют
холодной (или автоэлектронной) эмиссией.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
В отсутствие внешнего электрического поля потенциальная энергия электрона
представлена на рис. 2.7 ступенчатой линией AOBC. Начало координат O помещено
на стенке металла. Внутри металла потенциальная энергия принята равной нулю,
вне металла она постоянна и равна U0.
Рис. 2.7 – Распределение потенциальной энергии электрона вблизи поверхности
металла в отсутствие (AOBC) и наличии (AOBM) внешнего электрического поля
напряжённостью E
∗
2.6 Холодная эмиссия электронов 47
Если наложить внешнее электрическое поле E∗, направленное к металлу (т. е.
«минус» на металле), то в металл оно не проникнет, и потенциальная энергия
электрона в металле будет по-прежнему равна нулю. Вне металла к потенциальной
энергии U0добавится энергия электрона во внешнем электрическом поле, равная
−e ⋅ E∗⋅ x («минус», так как заряд электрона отрицателен). В этом случае изменение
потенциальной энергии изображено прямой BM. В результате полная потенциальная энергия электрона во внешнем поле представляется так:
0, если x < 0,
U(x)=
U0− e ⋅ E∗⋅ x, если x > 0.
Между металлом и вакуумом возникает потенциальный барьер OBM. Выделим
в металле группу с энергией, близкой к E. Проницаемость барьера для электронов
с такой энергией найдём по формуле (2.26), в которой следует положить x1= 0, а x
найти из равенства U0− e ⋅ E∗⋅ x2= E: x
= (U0− E)(e ⋅ E∗). Тогда:
2
2
x
2
2
h
x
2m ⋅
U(x)− E
dx =
x
2
2
√
h
2m ⋅ (U
(U0− E)
2m
0
4
=
3h
e ⋅ E
0
∗
− e ⋅ E
3
2
.
∗
⋅ x − E)dx =
Таким образом, коэффициент прозрачности барьера для электронов с энергией
E выражает ся формулой:
3
2
. (2.27)
∗
D(E)= D
0
exp
√
4
−
3h
2m
U0− E
e ⋅ E
Этот коэффициент имеет разные значения для различных E. Есть два подхода
к решению этой проблемы.
1) Можно ввести средний или эффективный коэффициент прозрачности барьера путём соответствующего усреднения по E:
∗
E
0
−
∗
D= D0e
E
, (2.28)
где D0и E
∗
— постоянные, зависящие от рода металла. Значение D0ча-
0
сто принимается равным единице. Постоянное значение напряжённости
электрического поля E
∗
находится из эксперимента с соответствующим
0
металлом. Ток холодной эмиссии выражается формулой:
∗
E
0
−
∗
I(E∗)= I0⋅ D= I0⋅ D0e
E
. (2.29)
Именно такая зависимость тока холодной эмиссии от напряжённости внешнего электрического поля E∗была получена и экспериментально подтверждена П. И. Лукирским.
48 Глава 2. Квантовая механика Шр¨eдингера
2) Более строгое решение было предложено Р. Фаулером и Л. Нордгеймом
(1928 г.) Вероятность преодоления барьера у них такая же и определяется по формуле (2.28). Обще число электронов, эмиттируемых вследствие
туннельного эффекта, получим, определив, сколько электронов движется
к поверхности металла с энергией, приходящейся на диапазон между E
и E + dE. Если умножить это число на вероятность проникновения электронов через потенциальный барьер и затем суммировать по всем возможным значениям E, то получим плотность тока автоэлектронной эмиссии.
В окончательном виде формула Фаулера—Нордгейма для плотности тока
автоэлектронной эмиссии:
jE=
6,2 ⋅ 10
U
0
−6
U0− E
1
E
2
F
F
⋅ (E∗)
2
⋅ exp
−
6,8 ⋅ 10
9
⋅ (U
∗
E
0
− E
3
2
)
F
,
где напряжённость поля E∗измеряется в B/м, высота барьера U0и энергия
Ферми EF— в эВ, плотность тока jE— в А/м2.
2.7 Квантовый гармонический осциллятор
А. Эйнштейн (1908 г.) высказал гипотезу о корпускулярных свойствах электромагнитных волн и применил её для объяснения теплоёмкости твёрдых тел. Он
предположил, что атомы в твёрдых телах обмениваются энергией в виде квантов,
энергия которых ε =hω. Квантовая механика (созданная примерно через 20 лет)
позволила строго теоретически обосновать эту гипотезу и значительно расширить
область применения гипотезы для объяснения многих других свойств твёрдых тел
(теплопроводности, диффузии, динамики кристаллической решётки).
Атом в твёрдом теле колеблется около положения равновесия. Такие колебания
совершаются подобно колебаниям гармониче ского осциллятора.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Гармоническим осциллятором в классической физике называют
частицу массой m, которая движется под действием квазиупругой силы F, пропорциональной отклонению частицы от положения равновесия.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Осциллятор называют одномерным, если частица может двигаться только вдоль одной прямой (например, вдоль оси X ):
F = −kx,
где k — коэффициент квазиупругой силы.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Квантовый гармонический осциллятор 49
Потенциальная энергия атома U (x)= kx22. Коэффициент квазиупругой силы
связан с массой m частицы и собственной циклической частотой ω0её колебаний
формулой k = mω
2
. Следовательно, U(x)= mω
0
2
2
x
2.
0
Стационарное уравнение Шрёдингера в одномерном случае будет:
d2ψ
dx
2m
+
2
E −
2
h
mω2x
2
2
ψ = 0, (2.30)
где E — полная энергия осциллятора.
Нахождение решения этого уравнения, т. е. ψ-функции, является сложной мате-
матической задачей, а потому не приводится. Оказывается, уравнение (2.30) имеет
конечные, однозначные, непрерывные и гладкие решения (собственные функции)
при собственных значениях полной энергии E:
1
E
n
= n +
hω, (2.31)
2
где n = 0, 1, 2, 3, . . .
Рис. 2.8 – Энергетическая диаграмма гармонического осциллятора
Уровни энергии осциллятора являются эквидистантными, т. е. равноотстоящи-
ми друг от друга (рис. 2.8).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Наименьшее значение энергии E0=
hω2 называется нулевой энергией.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Существование нулевой энергии вытекает из принципа неопределённости.
Классическое выражение для полной энергии осциллятора:
E = Eк+ En=
p
2m
2
+
mω2x
2
2
.
Так как p и x не могут одновременно обращаться в нуль, энергия осциллятора
не может быть равна нулю.
50 Глава 2. Квантовая механика Шр¨eдингера
Существование нулевой энергии подтверждается экспериментально по рассеянию света кристаллами при низких температурах. Оказывается интенсивность
рассеянного света по мере снижения температуры стремится не к нулю, а к некоторому конечному значению. Это указывает на то, что и вблизи температуры T = 0 К
колебания атомов не прекращаются.
Квантовая механика позволяет вычислить вероятности различных переходов.
Возможны лишь переходы между соседними уровнями, т. е. существует правило
отбора для гармонического осциллятора: ∆n = ±1. Энергия может изменяться лишь
порциямиhω.
Квантовая механика как теория, описывающая поведение микрочастиц, основана на том, что любой вид взаимодействия описывается как обмен частицами
(или квазичастицами): электромагнитное взаимодействие — обмен фотонами, сильное взаимодействие — обмен пионами (или глюонами в кварковой модели) и т. д.
Обмен энергией между атомами в кристаллической решётке квантовая механика
описывает как обмен квазичастицами — фононами.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Минимальная порция энергии нормальных колебаний, которой могут обмениваться осцилляторы (атомы), называется фононами.
Фононы — квазичастицы, их нельзя изъять из кристалла. Но как
и настоящие частицы, фононы обладают энергией ε =hω, импульсомp =hk.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Система звуковых волн, проходящих через кристалл, при квантовом подходе
эквивалентна фононному газу, заполняющему кристалл.
2.8 Операторы — аппарат квантовой механики
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Оператором называется математический символ действия, в результате воздействия которого на некоторую функцию образуется новая функция от тех же аргументов.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
С некоторыми операторами мы уже знакомы: ddt — оператор скорости,
2
2
d
dt
— оператор ускорения.
В квантовой механике используются только линейные операторы.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Оператор называется линейным, если удовлетворяет условию:
ˆ
L(ψ
1
+ ψ
ˆ
)=
Lψ1+ˆLψ2;
2
ˆ
L(a ⋅ ψ)= aˆL(ψ),
где ˆ— знак оператора, называется «шляпка».
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]