Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Введение в квантовую механику. Учебное пособие
.pdf
Глава 3
АТОМ ВОДОРОДА В КВАНТОВОЙ
МЕХАНИКЕ
3.1 Энергия и координата электрона в атоме
Изучение курса атомной физики обычно начинается с изложения теории Н. Бора, теории, базирующейся на комбинации классических и квантовых законов и не
учитывающей волновых свойств микрочастиц. Теория Бора справедлива только
для атома водорода и водородоподобных атомов, т. е. атомов, имеющих в оболочке
около ядра только один электрон. Здесь мы рассмотрим атом водорода с позиции
квантовой теории — теории, многократно проверенной экспериментально и способной рассчитывать параметры многоэлектронных атомов.
Решая задачу об электроне в бесконечно глубокой потенциальной яме, мы доказали, что энергия и положение частицы в яме квантуются, т. е. могут принимать
лишь дискретные значения. Решая уравнение Шрёдингера для условий атома (для
реальных условий), можно получить выражения для энергии, координаты, момента
импульса и других динамических переменных без привлечения каких-либо постулатов.
Рассмотрим движение электрона в кулоновском поле ядра. Потенциальная
энергия электрона U = −ze
в декартовых координатах:
2
(4πε0r), тогда стационарное уравнение Шрёдингера
∆2ψ +
т. е. мы воздействовали на ψ-функцию оператором полной энергии. Несмотря на
кажущуюся простоту, уравнение (3.1) в таком виде не решается. Учитывая сферическую симметрию кулоновского поля, перейдем к сферической системе координат
(r, θ, 3):
2m
h
2
E +
2
ze
ψ = 0, (3.1)
4πε0r
62 Глава 3. Атом водорода в квантовой механике
1
∂
∂ψ
∂r
r
2
+
∂r
⋅
2
r
r2sin θ
2m
+
h
2
1
E +
∂
⋅
∂θ
ze
4πε0⋅ r
sin θ ⋅
2
ψ = 0.
∂ψ
∂θ
+
1
r2sin2θ
⋅
∂2ψ
∂3
+
2
(3.2)
Уравнение (3.2) имеет решение при всех значениях E > 0, что соответствует
свободному электрону. При E < 0 получим:
4
En= −
mz2e
32π2ε
, где n = 1, 2, 3, . . . (3.3)
2
2
h2n
0
Результат такой же, как в теории Бора, но здесь результат получен без привле-
чения дополнительных постулатов.
Видим, что энергия электрона квантуется, если электрон находится внутри атома. При E > 0 энергия может принимать любые значения: электрон не принадлежит
атому, он свободен. Итак, для водорода и водородоподобных атомов, как и в теории
Бора:
2
En= −13,6
z
n
2
(эВ).
Рис. 3.1 – Квантование энергии электрона в атоме
Электрон в атоме тоже в «яме», но стенки ямы не вертикальны и не бесконечно
высокие (рис. 3.1).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Чем больше n, тем сильнее уровни сгущаются и при n Ð→ ∞
En= 0 — электрон становится свободным. Состояние E1— основ-
ное, стационарное состояние электрона; все остальные состояния
в атоме водорода являются возбуждёнными: E2— первое возбуждённое состояние, E3— второе возбуждённое состояние и т. д.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1 Энергия и координата электрона в атоме 63
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Поскольку энергия E — главная характеристика частицы (электрона), то и n называют главным квантовым числом (в теории
Бора n — номер орбиты).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Рассмотрим распределение электронной плотности (плотность вероятности нахождения электрона) при n = 1, т. е. в стационарном состоянии. Общее решение
сложно, нужно применять рекуррентную формулу. При некоторых упрощениях
получим ψ
(r)= A ⋅ e
1
−k1r
, где k1= −z ⋅ me
роятность того, что электрон находится в объеме dV , dP =ψ
2
(4πε
2
h
), A — некоторая константа. Ве-
0
2
(r)
dV. В качестве
1
объёма следует взять сферический слой толщиной dr на расстоянии r от ядра.
Поэтому:
2
dP = 4πr2drψ
1
(r)
.
Рис. 3.2 – Плотность распределения вероятностей нахождения электрона в атоме
водорода (основное состояние)
Плотность вероятности ρrнахождения электрона на расстоянии r от ядра ρr=
= dPdr, следовательно:
ρr= 4πr
1
(r)
2
, ρr∼ r
2
ψ
2
ψ
1
(r)
2
.
Результат расчета графически представлен на рис. 3.2. Максимальному значению плотности вероятности ρrпри z = 1 соответствует значение r1= 53 пм = 0,53˚A.
Это совпадает с расчетами Бора. Но принципиальным отличием является то, что
электрон может находиться как ближе к ядру, так и дальше от него, чем на расстоянии r1. У Бора r1— точное и единственное значение. Здесь же r1— наиболее вероятное расстояние от ядра, но допускается возможность быть ближе или дальше.
Область допустимых значений координат — электронное облако с максимальной
плотностью на расстоянии r1.
64 Глава 3. Атом водорода в квантовой механике
3.2 Классические представления об орбитальных
магнитном и механическом моментах электрона
Вращающийся по круговой орбите электрон, как и любая частица, имеющая
массу, обладает механическим моментом импульсаL (рис. 3.3):
L = mv ⋅ r, (3.4)
где v — скорость электрона, r — радиус орбиты. Электрон — заряженная частица,
поэтому движение его по орбите — это круговой ток. Контур с током обладает магнитным моментомµ. Так как заряд электрона отрицательный, тоL иµ направлены
в противоположные стороны (рис. 3.3). Магнитный момент кругового тока:
µ = I ⋅ S = I ⋅ πr2.
Рис. 3.3 – Электрон, вращающийся вокруг ядра по круговой орбите
Если частота вращения электрона ν, то I = e ⋅ ν, где e — заряд электрона. Частота
ν = v(2πr), тогда:
µ = eν ⋅ πr2=
Гиромагнитное отношение (для орбитальных моментов):
ge=
Учитывая направление векторовL иµ, можно записать:
µ = −g
e
ev
⋅ πr2=
2πr
µ
L
L илиµ = −
=
2 ⋅ mv ⋅ r
evr
=
ev ⋅ r
. (3.5)
2
e
. (3.6)
2m
e
L. (3.7)
2m
3.3 Момент импульса электрона в атоме 65
3.3 Момент импульса электрона в атоме
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Механический момент импульса (или просто — момент импульсаL) является одной из важнейших характеристик движения.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Единственный электрон атома водорода и водородоподобных атомов движется
в кулоновском центрально-симметричном поле ядра. В сложных атомах электрическое поле не является строго центральным, но сохраняется сферическая симметрия,
и можно в первом приближении считать поле центральным.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Выводы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Таким образом, закон сохранения момента импульса играет в микромире не
меньшую роль, чем в макромире, т. е. в классической физике.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Проекция момента импульса
Найдем собственные (возможные) значения, которые может принимать Lz—
проекция момента импульса на произвольную ось Z. Надо решить уравнениеˆLzΨ =
= LzΨ.
В центрально-симметричном поле можно воспользоваться сферическими координатами и для них:
ˆ
Lz= −ih
∂
Ô⇒ −ih
∂3
Решением этого уравнения является функция:
1
√
Ψ =
2π
√
где коэффициент 1
2π введен для нормировки Ψ-функции:
∂Ψ
= LzΨ.
∂3
L
z
i
3
h
⋅ e
, (3.8)
2π
Ψ∗Ψ d3 = 1.
0
Функция (3.8) будет однозначной в том случае, если при изменении 3 на 2π
она возвращается к своему прежнему значению, т. е. если L
⋅ 2π
h = m ⋅ 2π, откуда:
z
Lz= mh, где m = 0, ±1, ±2, . . . (3.9)
Н. Бор чисто интуитивно пришел к этому значению, а здесь этот вывод получается автоматически из решения уравнения.
66 Глава 3. Атом водорода в квантовой механике
Итак, проекция момента импульса на любую ось квантуется; она равна целому
числу постоянных Планка (h — естественная единица измерения момента импульса).
Исследуем физический смысл полученного результата. На первый взгляд может показаться, что квантование Lzесть следствие того, чтоL может иметь лишь
определенные углы с осью Z. (Именно эта трактовка породила термин «пространственное квантование».) Но ось Z может быть направлена как угодно! Поэтому эта
точка зрения не имеет смысла. Понимать надо иначе. Формула (3.9) показывает,
что при измерении проекции Lzмы в результате опыта обязательно получим число,
кратноеh. Однако значение Lzдо опыта не обязательно равно целому кратномуh.
До и после опыта Ψ-функции не обязательно должны совпадать.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
А отсюда следует, чтоL может быть направлен произвольным
образом и имеют смысл только модуль вектораL и одна из его
проекций Lz, которая и измеряется.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Чтобы лучше уяснить смысл этого утверждения, рассмотрим простой оптический опыт. Пропустим луч света через поляризатор (кристалл, обладающий двойным лучепреломлением, например призму Николя). Выходящий из призмы свет
разделяется на два луча: обыкновенный и необыкновенный, поляризованные во
взаимно перпендикулярных плоскостях. Сумма интенсивности обоих лучей равна
интенсивности падающего света, т. е. число фотонов до призмы и после одинаково. Значит ли это, что все фотоны до призмы имели взаимно перпендикулярную
поляризацию? Нет, конечно; они были поляризованы произвольно. Что означает
результат опыта, состоящий в том, что после прохождения через поляризатор свет
разделяется на два луча, плоскополяризованных во взаимно перпендикулярных
направлениях?
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Первый и самый важный вывод заключается в том, что любое по-
ляризационное состояние фотона может быть представлено как
суперпозиция двух (и только двух!) независимых состояний (если
бы со стояний было больше, то после прохождения через призму
число вышедших из нее плоско-поляризованных лучей тоже было
бы больше).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Пример
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Эти два независимых состояния могут быть выбраны по-разному. Чтобы убедиться в этом, достаточно повернуть призму Николя на некоторый угол вокруг
оси, совпадающей с направлением луча: плоскости поляризации лучей повернут-
3.3 Момент импульса электрона в атоме 67
ся на тот же угол. Возьмем любое направление в плоскости, перпендикулярной
лучу, и как бы ни было выбрано это направление, фотон будет поляризован либо
по этому направлению, либо перпендикулярно к нему. Или, что то же самое: проекция вектора поляризации фотона (вектораE) на любое перпендикулярное лучу
направление всегда либо равна нулю (вектор поляризации перпендикулярен этому
направлению), либо единице (вектор поляризации совпадает с этим направлением).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Но проявляется это только в результате опыта с поляризатором.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Модуль момента импульса
Прямой подход к решению этой задачи требует решения уравнения:
ˆ
L2Ψ = L2Ψ.
ОператорˆL2имеет громоздкий вид (см. (2.34) и (2.35)), и решение требует
знания специфических функций (полиномов Лежандра). Попробуем найти решение
с другой стороны.
2
2
В классической механике L2= L
2
2
ствуетˆL2=ˆL
+ˆL
x
2
+ˆL
и средние значения: L2= L
y
z
x
+ L
2
+ L
, в квантовой механике это соответ-
y
z
2
+ L
x
2
+ L
y
2
.
z
В сферически симметричном поле ни одна из осей ничем не выделяется, поэтому:
L
2
x
= L
2
= L
y
2
.
z
Следовательно,
L2= 3L
2
. (3.10)
z
Симметричное решение является суперпозицией решений со всеми возможными проекциями Lz. Более того, все проекции равновероятны и поэтому пред-
ставлены с одинаковым статистическим весом. Тогда L
возможных значений Lz= 0, ±h, ±2h, ±3h, . . . ± m
екции момента L
по модулю не может превышать L. Обозначим m
z
max
2
равно среднему из всех
z
h. Максимальное значение про-
= l; l — целое
max
положительное число.
Выпишем полный набор возможных значений Lzи m:
Lz= l
h, (l − 1)h, . . .(−l)
h;
m = l, (l − 1), . . ., 1, 0, −1, . . . − l.
Чаще записывают так:
m = 0, ±1, ±2, . . ., ±l. (3.11)
Мы видим, что при всяком данном l проекция момента Lzможет принимать
2l + 1 различных значений: одно нулевое, l положительных и l отрицательных.
L
2
равно поэтому:
z
2
l
2
z
=
+ (l − 1)2+ ⋯ + (−l)
2
h
2l + 1
2
12+ 22+ ⋯ + l
2
= 2h
2
.
2l + 1
Среднее значение L
68 Глава 3. Атом водорода в квантовой механике
Известно, что числовой ряд:
12+ 22+ 3
2
+ ⋯ + (l − 1)
2
+ l2=
l(l + 1)(2l + 1)
,
6
поэтому L
2
z
Подставив полученное значение L
= 2
2
h
⋅ l(l + 1)(2l + 1)6 ⋅ (2l + 1)
2
z
2
=h
⋅ l(l + 1)3.
в (3.10), получим L
2
2
=h
⋅ l(l + 1), откуда:
L =h
l(l + 1), (3.12)
где l = 0, 1, 2, 3, . . ., n − 1. Формула (3.12) определяет закон квантования модуля
механического момента импульса.
Сравнение формул (3.11) и (3.12) показывает, что L
нии l > 0, т. к. L
2
=h2l2, а L2=h
z max
2
⋅ l(l + 1). Этот результат, непонятный в рамках
2
> L2при любом значе-
z max
классической физики, легко объясняется в квантовой механике. Исследование показывает, что проекции момента на две различные оси, например Lxи Ly, не могут
быть одновременно известны; для них существует соотношение неопределенности для координаты и импульса. Зафиксировав состояние с определенным Lz, мы
вносим неопределенность в Lxи L
. Средние значения L
y
мазанных» состояниях, конечно, отличны от нуля: L
L2=
2
L
x
+ L
2
+ L
y
2
2
> L
z
.
z
2
и L
x
2
> 0, L
x
2
в таких «раз-
y
2
> 0. Поэтому
y
В отличие от двух проекцийL, L2и одна из его проекций Lzмогут быть
определены одновременно. Более того, в квантовой механике доказывается, что
задание Lzи L2полностью определяет вращательное состояние частицы.
3.4 Магнитный момент электрона в атоме
Оказывается, операторы магнитного и механического моментов отличаются
только постоянным множителем ge, их свойства совершенно аналогичны. Механический и магнитный моменты квантуются по одинаковым правилам. Так же,
проекции магнитного момента на любые два различных направления не могут
одновременно иметь определенные значения. В стационарном состоянии определенные значения могут иметь квадрат (модуль) магнитного момента и одна из его
проекций.
Переходя к квантовой механике, как всегда, следует числовые равенства классической физики заменить операторными равенствами:
e
ˆ
µ = −
ˆ
L илиˆµz= −
2m
e
где me— масса электрона.
Можно строго решать эти равенства (достаточно сложное занятие), но мы воспользуемся приведенными выше утверждениями. Так как Lz= mh, то:
2
µz=
⋅h ⋅ m, (3.14)
2m
e
e
ˆ
Lz, (3.13)
2m
e
где m = 0, ±1, ±2, . . ., ±l (см. (3.11)).
3.5 Спин электрона 69
Величина e
h(2me)= µ
— является естественной единицей измерения магнит-
Б
ного момента и называется магнетоном Бора:
µБ=
eh
2m
e
= 9,27 ⋅ 10
−24
Дж
. (3.15)
Тл
Модуль орбитального магнитного момента найдем так же:
µ = ge⋅ L =
или
µ = µ
e
⋅h
2m
l(l + 1),
e
l(l + 1). (3.16)
Б
Следует отметить, что в эксперименте определяется только проекция магнитно-
го момента электрона на какую-либо ось, задаваемую внешним магнитным полем.
3.5 Спин электрона
В 1921 г. учёные О. Штерн и В. Герлах провели серию экспериментов по измерению магнитных моментов атомов. Идея опыта заключалась в измерении силы,
действующей на атом в неоднородном магнитном поле:
a
∂B
∂z
,
F = µ
где µa— магнитный момент атома.
Источник атомов — серебряный шарик K(рис. 3.4, a), атомы серебра летели со
скоростью v = 100 м/с (тепловая скорость). A — фотопластинка (экран), B1и B2—
диафрагмы (щели), размеры которых: у B1S1= 3 ⋅ 10−3мм2; у B2S2= 0,8 ⋅ 0,03 мм2.
Неоднородность магнитного поля достигалась с помощью специальной формы
электромагнитов (рис. 3.4, б). Степень неоднородности магнитного поля должна
быть достаточно большой, такой, чтобы ощущалась на расстоянии, равном размеру
атома.
Чего следовало ожидать? С классической точки зрения, т. к. магнитные моменты атома ориентированы хаотично, равновероятно по всем направлениям, включение магнитного поля должно было приводить к расширению пятна на фотопластинке. С квантовых позиций — магнитный момент имеет 2l + 1 проекций, поэтому
на экране должно быть нечётное число полос.
В эксперименте с атомами серебра были обнаружены две резкие полосы, находящиеся на равном расстоянии от центра (рис. 3.4, в). Это говорит о том, что атомы
серебра имеют лишь две проекции магнитного момента. По величине отклонения
была вычислена величина проекции магнитного момента, она оказалась равной
магнетону Бора (см. (3.15)).
Опыты Штерна и Герлаха подтвердили факт квантования магнитного и, следовательно, механического моментов и что естественной единицей измерения магнитного момента является магнетон Бора.
Но оставались еще два вопроса: почему четное число полос? Магнитный момент чего измерялся? Дело в том, что уже тогда было известно, что магнитный
70 Глава 3. Атом водорода в квантовой механике
Рис. 3.4 – Схема опыта Штерна и Герлаха:
а — схематическое изображение вакуумной камеры;
б — конструкция полюсов электромагнита;
в — фотография осадков атомов серебра на фотопластинке (экране) A
момент элементов, образующих первую группу таблицы Менделеева, т. е. имеющих один валентный электрон, равен магнитному моменту этого электрона. И этот
электрон имеет орбитальное квантовое число l = 0. Но тогда: L =h
l(l + 1)= 0,
µ = geL = 0 (!). Что же измерялось?
В 1925 г. студенты Лейденского университета Д. Уленбек и С. Гаудсмит предположили существование у электронов собственных механического и магнитного
моментов, обусловленных вращением электрона вокруг «собственной оси».
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Собственный механический момент назвали спином.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Идея о вращении электрона оказалась ошибочной, чтобы собственный магнитный момент электрона был равен µБ, линейная скорость «поверхности» электрона
должна быть равна ≈ 300c, где c — скорость света в вакууме, что в принципе невозможно. Как показал впоследствии П. Дирак, существование спина и собственного магнитного момента вытекает из решения релятивистского уравнения Дирака.
Спин является квантово-релятивистским эффектом, не имеющим классического
истолкования. Расчеты Дирака совпали с экспериментом с точностью 0,1%.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]