Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Введение в квантовую механику. Учебное пособие
.pdf
3.14 Примеры решения задач 91
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Пример 3.8
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
В опыте Штерна и Герлаха узкий пучок атомов серебра (в основном состоянии)
проходит через поперечное резко неоднородное магнитное поле и попадает на
экран Э (рис. 3.12). При каком значении неоднородности ∂B∂z магнитного поля
расщепление пучка на экране b= 2,0 мм, если l1= 10 см, l2= 20 см и скорость атомов
v= 300 м/с.
Рис. 3.12
Решение:
На атомы серебра действует магнитная сила Fz, прямо пропорциональная сте-
пени неоднородности магнитного поля:
Fz= µz⋅
∂B
. (3.48)
∂z
В результате атомы получают ускорение az. Смещение пучка на экране опре-
деляется формулой:
2
azt
δb =
1
+ vzt2, (3.49)
2
где t1– время движения атома в магнитном поле, t2– время движения атома между
магнитом и экраном.
Проекция скорости vz= azt1, поэтому выражение (3.49) можно переписать в виде:
2
azt
δb =
1
+ azt1⋅ t2.
2
Времена движения атомов t1= l
δb = a
⋅
z
l
2v
v, t
= l
1
2
l1⋅ l
1
+
2
v
v, следовательно:
2
2
a
2
2
=
2v
z
l
1(l1
2
+ 2l
). (3.50)
2
Учтём, что:
F
µ
z
az=
m
=
z
, µz= µБ. (3.51)
m∂B∂z
(Для атомов серебра, находящихся в основном состоянии, проекция магнитного
момента на ось Z равна одному магнетону Бора: µz= µБ.)
92 Глава 3. Атом водорода в квантовой механике
Подставим выражения (3.51) в выражение (3.50). Получаем:
µ
∂B
2mv
Б
l
+ 2l
1(l1
2
∂z
). (3.52)
2
δb =
Из формулы (3.52) выразим ∂B∂z и учтём, что δb = b2:
∂B
=
∂z
µБl
Подсчитаем массу атома серебра: m = 108 ⋅ 10
bmv
1(l1
2
. (3.53)
+ 2l
)
2
−3
(6,0 ⋅ 1023)= 1,8 ⋅ 10
−25
кг.
Подставим числовые значения в формулу (3.53):
∂B
∂z
2,0 ⋅ 10−3⋅ 1,8 ⋅ 10
=
9,27 ⋅ 10
−25
−24
⋅ 0,10 ⋅ (0,10 + 2 ⋅ 0,20)
⋅ 300
2
= 70
Тл
.
м
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.15 Задачи для самостоятельного решения
3.1 Пси-функция некоторой частицы имеет вид: ψ = A ⋅ exp(−ra)r , где r —
расстояние частицы от силового центра, a — константа. Найти:
а) значение константы A;
б) среднее расстояние rчастицы от центра.
3.2
а) Какой наименьший момент импульса L
встречается в природе?
min
б) Перечислить «объекты», обладающие таким моментом.
в) Вычислить момент импульса L Земли, обусловленный её вращением вокруг
своей оси. Выразить этот момент в единицахh.
3.3 Электрон в атоме водорода находится в f -состоянии. Найти:
а) орбитальный и максимальный полный механический моменты импульса
электрона;
б) орбитальный и максимальный полный магнитный моменты электрона.
3.4 Заполненный электронный слой характеризуется квантовым числом n = 3.
Указать число N электронов в этом слое, которые имеют одинаковое спиново е
m
= +12 квантовое число.
s
3.5 Узкий пучок атомов серебра при прохождении неоднородного (∂B∂z =
= 1,0 кТл/м) магнитного поля протяжённостью l1= 4,0 см расщепился на два
пучка. Экран для наблюдения удалён от границы магнитного поля на расстояние
l2= 10 см (рис. 3.12). Определить (в магнетонах Бора) проекции µjzмагнитного
момента атома на направление вектора магнитной индукции, если расстояние b
между компонентами расщеплённого пучка на экране равно 2,0 мм и атомы серебра
обладают скоростью v = 500 м/с.
Глава 4
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Особенности выполнения контрольной работы
1) Перед выполнением контрольной работы тщательно изучите теоретический
материал и познакомьтесь с решением типовых задач.
2) Выполняйте только свой вариант, определяемый по общим правилам.
3) Записав условие задачи, приведите её полное решение, не опуская промежуточных выкладок.
4) Решение задачи приводите в общем виде. Получив конечную формулу,
подставляйте числовые данные, соблюдая размерности входящих в общую
формулу величин.
Вариант 1
1) Найти дебройлевскую длину волны молекул кислорода, соответствующую
их средней скорости при T = 300 К.
2) Частица массой m = 1,67 ⋅ 10
яме с бесконечно высокими стенками. При какой ширине ямы энергия микрочастицы на 3-м энергетическом уровне равна энергии электрона в атоме
водорода в состоянии с главным квантовым числом n = 3?
3) Электрон с энергией E = 9,0 эВ движется в положительном направлении оси
X . Оценить вероятность того, что электрон пройдёт через потенциальный
барьер, если его высота U0= 10 эВ и ширина d = 0,10 нм (рис. 2.14).
4) Заполненный электронный слой характеризуется главным квантовым числом n = 3. Указать максимальное число электронов в этом слое, которые
имеют одинаковое спиновое m
−27
кг находится в одномерной потенциальной
= +12 и орбитальное l = 2 квантовые числа.
s
94 Глава 4. Контрольная работа
5) Атомы серебра, обладающие скоростью v = 0,60 км/с, пропускаются через
узкую щель и направляются перпендикулярно линиям индукции неоднородного магнитного поля (опыт Штерна и Герлаха). В поле протяжённостью
l = 6,0 см пучок расщепляется на два. Определить степень неоднородности
∂B∂z магнитного поля, при которой расстояние b
между компонентами
0
расщеплённого пучка по выходе его из поля равно 3,0 мм. Атомы серебра
находятся в основном состоянии.
Вариант 2
1) При увеличении энергии электрона на ∆Eк= 200 эВ его дебройлевская
длина волны изменилась в η = 2,0 раза. Найти первоначальную длину волны
электрона.
2) При движении броуновской частицы массой m = 10
вается определённой с точностью ∆vx= 1 см/с. Оценить неопределённость
координаты ∆x этой частицы. Правую часть соотношения неопределённостей принять равнойh.
−13
г её скорость оказы-
3) Частица находится в одномерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. ψ-функция имеет вид, показанный на рисунке 4.1. Найти
вероятность пребывания частицы в области 0 < x < l4.
Рис. 4.1
4) Вычислить момент импульса L орбитального движения электрона, находящегося в атоме: 1) в s-состоянии; 2) в p-состоянии.
5) Пси-функция основного состояния водородного атома имеет вид
−r
r
0
e
ψ =
πr
,
3
0
где r0— радиус первой боровской орбиты. Вычислить вероятность того,
что электрон в основном состоянии атома водорода находится от ядра на
расстоянии, превышающем значение r0.
Вариант 3
1) Тепловые нейтроны находятся в тепловом равновесии со средой при комнатной температуре. В этом случае kT = 0,025 эВ, где k — постоянная Больцмана, T — температура. Определить длину волны де Бройля теплового нейтрона. Массу нейт рона принять равной 1,67 ⋅ 10
2) Исходя из того, что радиус атома водорода r имеет величину порядка 0,1 нм,
оценить скорость движения электрона в атоме. Правую часть соотношения
неопределённостей принять равнойh.
−27
кг.
95
3) Вычислить отношение вероятностей P
нахождения электрона на пер-
1P2
вом и втором энергетических уровнях в интервале 1/4, равноудалённом от
стенок одномерной бесконечно глубокой потенциальной ямы ширины l.
4) Используя принцип Паули, указать, какое максимальное число N
max
элек-
тронов в атоме могут иметь одинаковыми следующие квантовые числа:
1) n, l, m, ms; 2) n, l, m; 3) n, l ; 4) n.
5) Найти вероятность прохождения электрона с энергией E = 7,8 эВ сквозь
потенциальный барьер ширины l = 0,20 нм, показанный на рисунке 4.2.
Высота барьера U0= 10 эВ.
Рис. 4.2
Вариант 4
1) Поток летящих параллельно друг другу электронов, имеющих скорость v =
= 1,0 ⋅ 10−6м/с, проходит через щель шириной b = 0,10 мм (рисунок 4.3).
Найти ширину ∆x центрального дифракционного максимума, наблюдаемого на экране, отстоящем от щели на расстоянии l = 10 см. Сравнить ∆x
с шириной щели b (найти отношение ∆xb).
2) Используя соотношение неопределённостей ∆x ⋅ ∆px⩾h, оценить низший
энергетический уровень электрона в атоме водорода. Принять линейные
размеры атома l ≈ 0,1 нм.
96 Глава 4. Контрольная работа
Рис. 4.3
3) Частица находится в основном состоянии в одномерной прямоугольной
потенциальной яме шириной l с бесконечно высокими стенками. Найти
вероятность пребывания частицы в области l3 < x < 2l3.
4) Момент импульса L орбитального движения электрона в атоме водорода
равен 1,83⋅ 10
−34
Дж⋅с. Определить магнитный µ, обусловленный орбиталь-
ным движением электрона.
5) Ядро испускает α-частицы с энергией E = 5,0 МэВ. В грубом приближении
можно считать, что α-частицы проходят через прямоугольный потенциальный барьер высотой U0= 10 МэВ и шириной d = 5,0 ⋅ 10
−15
коэффициент прозрачности барьера для α-частиц.
Вариант 5
1) Для изучения строения ядер атомов используются электроны, ускоренные
до энергий Eк= 2500 MэB. Какова дебройлевская длина волны таких электронов?
2) При движении электрона вдоль оси X его скорость оказывается определённой с точностью ∆vx= 1 см/с. Оценить неопределённость координаты ∆x
этого электрона. Правую часть соотношения неопределённостей принять
равнойh.
3) Электрон с энергией E = 9,0 эВ движется в положительном направлении
оси X (рисунок 2.14). При какой ширине d потенциального барьера коэффициент прозрачности D = 0,10, если высота барьера U0равна 10 эВ?
м. Найти
4) Определить возможные значения проекции момента импульса Lzорбитального движения электрона в атоме на направление внешнего магнитного
поля. Электрон находится в d-состоянии.
5) Частица массы m = 1,67 ⋅ 10
−27
кг находится в основном состоянии в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Максимальное значение плотности вероятности местонахождения частицы ρm= 2,00 ⋅ 1010м−1. Найти энергию E частицы в данном состоянии.
Вариант 6
1) Найти дебройлевскую длину волны молекул водорода, соответствующую
их наиболее вероятной скорости при T = 300 К.
2) Электрон с кинетической энергией Eк= 10 эВ локализован в области размером l = 1 нм. Оценить с помощью соотношения неопределённостей
∆x ⋅ ∆px⩾h относительную неопределённость ∆v
3) Частица находится в одномерном потенциальном ящике с бесконечно высокими стенками. ψ-функция имеет вид, показанный на рисунке 2.13. Найти
вероятность пребывания частицы в области l4 < x < l2.
4) Электрон в атоме находится в f -состоянии. Найти орбитальный момент импульса L электрона и максимальное значение проекции момента импульса
(Lz)
на направление внешнего магнитного поля.
max
5) Пси-функция основного состояния водородного атома имеет вид
−r
r
0
e
ψ =
πr
,
3
0
v его скорости.
x
97
где r0— радиус первой боровской орбиты. Вычислить вероятность того,
что электрон в основном состоянии атома водорода находится от ядра на
расстоянии, превышающем значение 2r0.
Вариант 7
1) Определить длину дебройлевской волны дробинки массой m = 0,10 г, упавшей свободно с высоты h = 10 м.
2) Электрон локализован в области размером l = 2∆. Кинетическая энергия
электрона Eк= 20 эВ. Определить относительную неопределённость ∆E
энергии электрона. Правую часть соотношения неопределённости принять
равнойh.
3) Частица находится в основном состоянии в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме ширины l. Вычислить вероятность P того, что
координата x частицы имеет значение, заключённое в пределах от ηl до
(1 − η)l, где η = 0,3676.
4) Вычислить полную энергию E, орбитальный момент импульса L и магнитный момент µ электрона, находящегося в 2p-состоянии в атоме водорода.
кEк
5) Узкий пучок атомов рубидия (в основном состоянии) пропускается через
поперечное неоднородное магнитное поле протяжённостью l1= 10 см (рисунок 3.12). На экране Э, отстоящем на расстоянии l2= 20 см от магнита,
наблюдается расщепление пучка на два. Определить силу Fz, действующую
на атомы рубидия, если расстояние b между компонентами пучка на экране
равно 4,0 мм и скорость атомов v = 500 м/с.
98 Глава 4. Контрольная работа
Вариант 8
1) Параллельный пучок электронов, ускоренных разностью потенциалов U =
= 6,0 В, падает нормально на диафрагму с двумя узкими щелями, рассто-
яние между которыми d = 50 мкм. Найти расстояние между соседними
максимумами дифракционной картины на экране, расположенном на расстоянии l = 1,0 м от щелей.
2) При движении дробинки массой m = 0,1 г её скорость оказывается определённой с точностью ∆vx= 1 см/с. Оценить неопределённость координаты
∆x этой дробинки. Правую часть соотношения неопределённости принять
равнойh.
3) Электрон проходит через прямоугольный потенциальный барьер шириной
d = 0,50 нм (рисунок 2.14). Высота U0барьера больше энергии E электро-
на на 1,0%. Вычислить коэффициент прозрачности барьера, е сли энергия
электрона E = 100 эВ.
4) Атом водорода, находившийся первоначально в основном состоянии, поглотил квант света с энергией ε = 10,2 эВ. Определить изменение момента
импульса орбитального движения электрона. В возбуждённом атоме электрон находится в p-состоянии.
5) Электрон находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Ширина ямы l такова, что энергетические
уровни расположены весьма густо. Найти плотность уровней dndE, т. е.
их число на единичный интервал энергии в зависимости от E. Вычислить
dndE для E = 1,0 эВ, если l = 1,0 см.
Вариант 9
1) Найти дебройлевскую длину волны молекул водорода, соответствующую
их среднеквадратичной скорости при T = 300 К.
2) Частица с кинетической энергией Eк= 7 эВ локализована в области размером l = 1,16 мкм. Оценить относительную неопределённость скорости
частицы. Масса частицы m = 6,68 ⋅ 10
неопределённости принять равнойh.
3) Электрон находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Найти ширину ямы, если разность энергии
между уровнями с n1= 2 и n2= 3 составляет ∆E = 0,30 эВ.
4) Найти число N электронов в атоме, у которого в основном состоянии заполнены K- и L-слои, 3s-оболочка и наполовину 3p-оболочка. Что это за
атом?
−27
кг. Правую часть соотношения
5) В опыте Штерна и Герлаха узкий пучок атомов цезия (в основном состоянии) проходит через поперечное магнитное поле и попадает на экран Э
(рисунок 3.12). Какова должна быть степень неоднородности ∂B∂z магнит-
ного поля, чтобы расстояние b между компонентами расщеплённого пучка
на экране было равно 6,0 мм? Принять l1= l2= l = 10 см. Скорость атомов
цезия v = 300 м/с.
Вариант 10
1) Электрон движется по окружности радиусом r = 0,50 см в однородном
магнитном поле с индукцией B = 8,0 мТл. Определить длину волны де
Бройля электрона.
2) Используя соотношение неопределённости ∆x ⋅ ∆px⩾h, оценить минимальную энергию E
конечно глубокой одномерной потенциальной яме ширины l = 0,053 нм.
3) Частица находится в одномерном потенциальном ящике с бесконечно высокими стенками. ψ-функция имеет вид, показанный на рисунке 4.4. Найти
вероятность пребывания частицы в области l6 < x < l.
, которой может обладать электрон, находящийся в бес-
min
99
Рис. 4.4
4) Определить возможные значения магнитного момента µ, обусловленного
орбитальным движением электрона в возбуждённом атоме водорода, если
энергия возбуждения равна 12,09 эВ.
5) Пси-функция основного состояния водородного атома имеет вид
−r
r
0
e
ψ =
πr
,
3
0
где r0— радиус первой боровской орбиты. Вычислить вероятность того,
что электрон в основном состоянии атома водорода находится от ядра на
расстоянии, превышающем значение 5r0.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Создание квантовой механики явилось величайшим достижением физики
XX века. Она позволила объяснить и правильно количественно опис ать уже известные явления (тонкую структуру атомных состояний, сверхпроводимость, теплоёмкость твёрдых тел, природу ферромагнетизма и т. д.) и предсказать новые (туннельный эффект, эффекты Джозефсона, нулевые колебания атомов). Невозможно
было бы создание «физики твёрдого тела» и, в частности, «физики полупроводников» без использования и понимания основных законов квантовой механики.
Законы квантовой механики используются даже в космологии, например туннельное истечение вещества из «чёрных дыр».
Хотя квантовая механика имеет дело с микрообъектами, однако её значение
отнюдь не ограничивается рамками микроявлений. В никогда не прекращающемся
процессе углубления и совершенствования наших представлений о законах природы появление квантовой механики есть важный качественный скачок. Без осмысливания важности, специфичности, революционности этого скачка невозможно понимание современной физической картины мира.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
В основе квантовой механики лежат две основополагающих идеи:
идея дискретности и идея дуализма.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Следствием этих «безумных» идей явились соотношения неопределённостей,
заставившие иначе взглянуть даже на такие фундаментальные понятия, как «энергия», «импульс», «момент импульса». Квантовая механика требовала отказа от
многих привычных, устоявшихся представлений: от обязательной непрерывности
значений физических величин, от траекторий, как необходимого атрибута движения
объекта, от лапласовского детерминизма как основной формы выражения принципа
причинности, от возможности безграничной детализации структуры объекта или
детализации явления во времени, от возможности при любых условиях различать
два сколь угодно похожих друг на друга объекта, от убеждения в том, что при
измерениях всегда можно хотя бы в принципе абстрагироваться от измерительного
прибора, и т. д.
Пересмотр представлений и отказ от многих привычных понятий можно рассматривать в известном смысле как «негативное содержание» квантовой механики.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]