Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Введение в квантовую механику. Учебное пособие
.pdf
1.9 Примеры решения задач 31
∆px=
h
.
∆x
Учитывая, что ∆x = d, получим:
∆px=
h
. (1.32)
d
Мы знаем, что
2
p
Eк=
, (1.33)
2m
т. е. связь между Eки p нелинейная. По этому формула ∆Eк= ∆p
неверной.
Найдём полный дифференциал от выражения (1.33):
dEк=
∆Eк=
2p dp
2m
=
p∆p
p dp
m
.
,
m
Известно, что η = ∆E
откуда p = 2
h(d ⋅ η). Окончательно:
, поэтому:
кEк
η =
Eк=
p ⋅ ∆p ⋅ 2m
2
m ⋅ ∆p
2
4h
d2⋅ η2⋅ 2m
=
2∆p
=
2h
=
p
d ⋅ p
2
2h
m ⋅ d2⋅ η
,
. (1.34)
2
Произведём расчёт:
2
(2m)является
−34)2
−10)2
⋅ 0,52⋅ 1,6 ⋅ 10
−19
= 15 эВ.
Eк=
9,1 ⋅ 10
2 ⋅ (1,05 ⋅ 10
−31
⋅ (2 ⋅ 10
Примечание. Если требуется найти минимальное значение энергии, то принимается E
= ∆Eк, т. е. ∆E
к min
= 1 (η = 1). Расчёт производится по формуле (1.34).
кEк
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Пример 1.12
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Оценить с помощью соотношения неопределённостей минимально возможную полную энергию электрона в атоме водорода и соответствующее эффективное
(наиболее вероятное) расстояние электрона от ядра.
Решение:
Оценим минимальную энергию E
электрона в атоме водорода. Положим
min
∆x ⋅ ∆px=h, ∆x = ∆r = r, где r — радиус орбиты электрона, ∆px= p. Тогда:
r ⋅ p =h,
32 Глава 1. Истоки квантовой механики
h
p =
. (1.35)
r
Полная энергия электрона:
E = Eк+ En=
p
2m
2
2
k ⋅ e
−
.
r
Подставим выражение (1.35):
Здесь k = 1(4πε0)= 9 ⋅ 10
2
h
E =
2mr
9
Н⋅м2/Кл2, e — заряд электрона.
2
ke
−
2
. (1.36)
r
Для нахождения минимального значения энергии продифференцируем (1.36)
по радиусу и получившееся выражение приравняем к нулю:
r
=
вер
= 5,25 ⋅ 10
2
h
ke2⋅ m
2
= −
2
h
3
вер
h
mr
+
3
k ⋅ e
r
dE
dr
−
mr
=
9 ⋅ 109⋅ 2,56 ⋅ 10
−11
м ≈ 0,53 ⋅ 10
1,1 ⋅ 10
+
2
вер
k ⋅ e
r
2
= 0,
2
2
−38
−10
,
−68
⋅ 9,1 ⋅ 10
м = 0,53˚A.
−31
=
Итак, эффективное (наиболее вероятное) расстояние электрона от ядра r
вер
= 0,525˚A.
Минимальная полная энергия электрона:
E
=
min
2mr
=
2 ⋅ 9,1 ⋅ 10
= 21,5 ⋅ 10
2
h
2
вер
−19
1,1 ⋅ 10
−31
2
k ⋅ e
−
=
r
вер
−68
⋅ (0,525)
− 43,5 ⋅ 10
2
−20
⋅ 10
−19
= −22,0 ⋅ 10
9 ⋅ 109⋅ 2,56 ⋅ 10
−
0,525 ⋅ 10
−19
Дж ≅ 13,7 эВ.
−10
−38
=
По теории Бора E1= −13,6 эВ. Неплохое совпадение.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10 Задачи для самостоятельного решения
1.1 Найти длину волны де Бройля λ протона, прошедшего ускоряющую раз-
ность потенциалов U:
а) 1,00 кВ;
=
б) 1,00 МВ.
1.10 Задачи для самостоятельного решения 33
1.2 В телевизионной трубке проекционного типа электроны разгоняются до
скорости 1,00 ⋅ 108м/с. Определить длину волны катодных лучей.
1.3 Предположим, что в опыте по дифракции электронов на двух одинаковых
щелях счётчик электронов расположен в точке, куда обе волны приходят в одной
и той же фазе. Какова скорость счёта от двух щелей, если каждая из них в отдельности обеспечивает 100 отсчётов в секунду?
1.4 Рассмотрим следующий мысленный эксперимент. Пусть моноэнергетический пучок электронов (Eк= 10 эВ) падает на щель шириной a. Можно считать,
что если электрон прошёл через щель, то его координата известна с неопределённостью ∆x = a. Оценить получаемую при этом относительную неопределённость
импульса ∆p
p электрона в двух случаях:
x
1) a = 10 нм;
2) a = 0,10 нм.
1.5 Принимая, что неопределенность в импульсе достигает η = 24% вели-
чины импульса, вычислить, какую кинетическую энергию может иметь микрочастица массой m = 1,67 ⋅ 10
−27
кг, локализованная в пространстве с точностью
∆x = 1,94 ⋅ 10−8см. Правую часть соотношения неопределённостей принять равнойh.
Глава 2
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА ШР¨EДИНГЕРА
2.1 Уравнение Шрёдингера
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Развивая идеи де Бройля о волновых свойствах вещества, Шрёдингер нашел свое знаменитое уравнение и создал теорию, которая
называется сейчас «квантовой механикой».
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Отличие уравнения Шрёдингера от волны де Бройля состояло в том, что оно
описывало поведение частицы во внешнем силовом поле. Теория Шрёдингера —
феноменологическая теория, т. е. не фундаментальная и не отвечает на некоторые
вопросы «Почему именно так?». В настоящее время есть точная теория атомных и молекулярных явлений — квантовая электродинамика, разработанная в 40-е
и 50-е годы прошлого века Глэшоу, Фейнманом и Швингером. Теория Шрёдингера — первое приближение к квантовой электродинамике, она значительно проще
и верно описывает основные свойства атомов и молекул.
Теория Шрёдингера основана на некоторых допущениях, главные из которых:
1) Частицы не рождаются и не исчезают; в любом физическом процессе число частиц данного типа остается неизменным. Следовательно, теория не
пригодна для описания ядерных процессов.
2) Скорость частиц много меньше скорости света, т. е. теория Шрёдингера —
нерелятивистская теория. (Релятивистский вариант уравнения Шрёдингера
был получен П. Дираком в 1927 г.)
2.2 Физический смысл Ψ-функции 35
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Уравнение Шрёдингера — основное уравнение квантовой механики (аналог второго закона Ньютона в классической механике).
Это общее уравнение, пригодное для решения всех задач (с указанными выше ограничениями).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Нестационарное уравнение Шрёдингера имеет вид:
2
где ∇2=
∂
∂x
h
−
∇2Ψ + UΨ = ih
2m
2
2
∂
+
2
∂y
2
∂
+
2
— оператор Лапласа; U(x, y, z, t)— функция координат и вре-
2
∂z
∂Ψ
, (2.1)
∂t
мени, имеющая смысл эффективного потенциала внешнего силового поля, в котором движется частица; i =√−1 — мнимая единица, ее присутствие говорит о том,
что (2.1) — волновое уравнение; Ψ(x, y, z, t)— пси-функция, функция характеризу-
ющая состояние микрочастицы. Решая уравнение Шрёдингера, находят именно
Ψ-функцию, а уж из нее, воздействуя соответствующими операторами, находят
динамические параметры частицы (импульс, момент импульса и т. д.).
Если силовое поле, в котором движется частица, стационарно, то потенциал
не зависит от времени и функция U имеет смысл потенциальной энергии взаимодействия силового поля и частицы. В этом случае Ψ-функция распадается на
два множителя, один из которых зависит только от координат, другой — только от
времени:
E
−i
t
Ψ(x, y, z, t)= ψ1(x, y, z)e
h
, (2.2)
где E — полная энергия частицы.
Подставим (2.2) в (2.1):
E
2
h
−i
t
−
h
e
∇2ψ1+ Uψ1e
2m
−i
E
t
h
= ihψ1e
−i
E
h
E
t
−i
;
h
учитывая, что (−i2= 1), получим:
2
h
−
∇2ψ1+ Uψ1= Eψ1. (2.3)
2m
Это стационарное уравнение Шрёдингера. Поскольку в дальнейшем мы будем
пользоваться только им, запишем его в более традиционной форме, учтя, что ψ1≡
≡ ψ:
∇2ψ +
2m
(E − U)ψ = 0. (2.4)
2
h
2.2 Физический смысл Ψ-функции
Сам Шрёдингер пытался описать частицу как суперпозицию нескольких волн —
волновой пакет. Но это неверно: волновой пакет довольно быстро расплывается,
а частица живет долго. Правильный физический смысл Ψ-функции дал М. Борн
в 1926 г.
36 Глава 2. Квантовая механика Шр¨eдингера
Вероятностное толкование волновой функции проглядывает в следующем рассуждении. При дифракции света различные точки экрана освещены по разному:
интенсивность света пропорциональна квадрату амплитуды световой волны. Если смотреть на свет как на поток частиц, то перераспределение интенсивности —
это разная вероятность попадания фотонов в разные точки экрана: чем больше
интенсивность света, тем большая вероятность прилёта сюда фотона. Поскольку
интенсивность прямо пропорциональна квадрату амплитуды, то ясна взаимосвязь
между вероятностью и квадратом амплитуды световой волны. Рассмотрим более
строго эти представления.
К любой волновой функции предъявляется ряд требований — они должны удовлетворять так называемым стандартным условиям:
1) Ψ-функция должна быть однозначной, непрерывной, гладкой и конечной
(за исключением, может быть, отдельных точек);
2) Ψ-функция должна иметь непрерывную и конечную производную.
Есть и еще одно требование — чисто физическое — условие нормировки:
3) если частица существует, то вероятность ее нахождения в объеме от −∞ до
+∞ должна быть равна единице:
−∞
∞
dP = 1;
−∞
∞
2
Ψ
= 1 или
∞
ΨΨ∗dV = 1, (2.5)
−∞
где P — вероятность нахождения частицы, Ψ∗— комплексно сопряженная
функция. Вероятность обнаружения частицы в бесконечно малом объеме
dV: dP = Ψ
2
dV отсюда:
Ψ
dP
2
=
. (2.6)
dV
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Квадрат модуля Ψ-функции есть плотность вероятности нахождения частицы в каком-либо месте пространства (вероятность нахождения частицы в единице объема пространства).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Из смысла Ψ-функции следует, что квантовая механика имеет статистический
(вероятностный) характер. (Кстати — в матричной механике то же самое: интенсивность спектральных линий пропорциональна вероятности соответствующих переходов электронов в атоме.) С вероятностным толкованием законов микромира не
соглашался Эйнштейн: «Я не могу допустить, что Господь Бог играет в кости». Известна многолетняя полемика по этому вопросу между А. Эйнштейном и Н. Бором.
Квантовая механика дает совершенно особую концепцию движения — не по
траекториям. Движение по траектории делает возможным однозначное предсказание будущего по прошедшему.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
В квантовой механике предсказание носит вероятностный характер.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Движение свободной частицы 37
Основная задача квантовой механики состоит не в точном предсказании событий, а в определении вероятностей этих событий. По значениям вероятностей
согласно определённым правилам можно найти средние случайных значений физических величин, которые и доступны эксперименту.
Вернемся еще раз к дифракции световых волн. Когерентные волны, складываясь, могут взаимно погашаться, когда они в противофазе. Но вероятности попадания электрона в ту или иную точку экрана погашаться не могут: вероятность —
величина положительная (изменяется от 0 до 1). Точно так же при дифракции
света погашаются не интенсивности света (интенсивность — энергия, переносимая
волной через единицу площади за единицу времени, величина положительная),
складываются или вычитаются только напряжённости электромагнитных полей,
т. е. амплитуды колебаний. Аналогично у электронов — погашаются амплитуды вероятностей нахождения в какой-либо точке пространства. Только амплитуды, а не
вероятности могут обладать волновыми свойствами.
Теперь можно ответить на вопрос, что колеблется при движении микрочастицы? Амплитуда вероятности ее нахождения в данной точке пространства. Волна де
Бройля — волна вероятности. Волновое уравнение Шрёдингера описывает поведение в пространстве и времени вероятности нахождения частицы.
На фундаментальном уровне частицы материи имеют двойственную природу,
а переход из одного состояния в другое но сит вероятностный характер и происходит скачками. В классической механике статистические закономерности проявляются лишь для большой совокупности частиц. В квантовой механике в поведении
отдельной частицы уже проявляется элемент случайности.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
«В квантовой механике понятие вероятности есть понятие первичное, оно играет фундаментальную роль» (В. А. Фок).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Движение свободной частицы
Рассмотрим свободное движение частицы. При этом её полная энергия E будет
совпадать с кинетической Eк, а скоростьv = const. Направим ось X вдоль вектора
v. Запишем стационарное уравнение Шрёдингера:
d2Ψ
dx
Уравнение (2.7) имеет решение:
ψ(x)= A exp
i
h
где A и B — некоторые константы. Тогда решение нестационарного уравнения Шрёдингера (2.1) получится в форме:
E
Ψ(x, t)= A exp
−i
к
t −
h
2m
+
2
2
h
2mE
⋅ x+ B exp −
к
√
2mE
h
⋅ Eк⋅ ψ = 0. (2.7)
i
2mE
⋅ x,
к
√
E
к
h
t +
2mE
h
к
x
. (2.8)
к
x
+B exp
h
−i
38 Глава 2. Квантовая механика Шр¨eдингера
Решение (2.8) представляет собой суперпозицию двух плоских монохромати-
ческих волн одинаковой частоты ω = E
h. Одна из волн распространяется в по-
к
ложительном направлении оси X с амплитудой A, другая — в противоположном
направлении с амплитудой B. Плоская монохроматическая волна описывается выражением A exp
k =√2mE
h. Таким образом, свободная частица в квантовой механике — это плос-
к
−i(ωt±kx)
, следовательно, для свободной частицы волновое число
кая монохроматическая волна де Бройля.
Выберем для простоты одну из волн (2.8), например первую, распространяю-
щуюся в положительном направлении оси X . Имеем:
2
Ψ
= ψ ⋅ ψ∗=
= A exp
−i
√
E
к
h
t −
2mE
h
к
x
⋅A∗exp
i
√
E
к
h
t −
2mE
h
к
x
= A
2
.
2.4 Квантование энергии частицы в одномерной
потенциальной яме
Из уравнения Шрёдингера и условий, налагаемых на Ψ-функцию, непосредственно вытекают правила квантования энергии. Квантовые условия Бора являются
гениальной, но догадкой, причем удовлетворяющей не во всех случаях. Великое
открытие Шрёдингера состояло в том, что если принять волновые представления
о веществе, а это доказано экспериментом, то получается естественный и общий
способ квантования.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
В уравнение Шрёдингера в качестве параметра входит полная
энергия частицы E. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что уравнения подобного типа (комплексные) имеют
решения, удовлетворяющие стандартным условиям, не при любых
значениях x параметра E, а лишь при некоторых, называемых соб-
ственными.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Функция, соответствующая собственному значению параметра,
называется собственной функцией.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Нахождение собственных значений представляет весьма трудоёмкую задачу.
Мы рассмотрим самый простой пример: найдем собственные значения и соответствующие им собственные функции для частицы, находящейся в бесконечно
глубокой одномерной потенциальной яме. Предполагается, что частица может двигаться только вдоль оси X .
Случай 1. Движениеограничено непроницаемыми для частицы стенками (рис. 2.1, a).
Потенциальная энергия U частицы имеет следующий вид:
U(x)= 0 при 0 < x < l,
2.4 Квантование энергии частицы в одномерной потенциальной яме 39
Рис. 2.1 – a — потенциальная яма с бесконечно высокими стенками, б —
квантование энергии частицы
U(x)Ð→ ∞ при x ⩽ 0 и x ⩾ l.
Используем стационарное уравнение Шрёдингера (2.4). Поскольку ψ зависит
только от x, то:
d2ψ
dx
2m
+
2
(E − U)ψ = 0. (2.9)
2
h
Вероятность обнаружить частицу за пределами потенциальной ямы (где U Ð→
Ð→ ∞) равна нулю, следовательно, там и ψ = 0. Из условий непрерывности и глад-
кости волновой функции следует, что и на границах ямы:
ψ(0)= ψ(l)= 0. (2.10)
Итак, частица может находиться только внутри ямы, где U = 0, следователь-
но, (2.9) будет:
d2ψ
dx
2m
+
2
Eψ = 0. (2.11)
2
h
Введём обозначение:
2m
k2=
E, (2.12)
2
h
где k — волновое число волны де Бройля для частицы, находящейся внутри потенциальной ямы. Получаем хорошо известное уравнение:
d2ψ
+ k2ψ = 0. (2.13)
2
dx
Запишем периодическое решение этого уравнения:
ψ(x)= A sin kx + B cos kx, (2.14)
где A и B — постоянные. Поскольку ψ(0)= 0 (условие (2.10)), то B = 0. При x = l
ψ(l)= 0, 0 = A sin kl, здесь A ≠ 0, l ≠ 0 и k нельзя положить равным нулю, т. к.
(см. (2.11)) ни одна из величин, входящих в выражение для k, не может быть
равной нулю (E ≠ 0, т. к. минимум есть энергия покоя частицы). Таким образом,
40 Глава 2. Квантовая механика Шр¨eдингера
число k принимает лишь определённые дискретные значения kn, удовлетворяющие
условию kn⋅ l = πn, отсюда:
π ⋅ n
kn=
, где n = 1, 2, 3. . . (2.15)
l
Условие (2.15) имеет простой физический смысл. Так как k
= 2πλ
n
, где λn—
n
длина волны де Бройля для частицы в яме, то условие (2.15) означает, что
2π
πn
=
λ
n
или λn=
l
2l
,
n
т. е. на длине бесконечно глубокой потенциальной ямы должно укладываться целое
число полуволн де Бройля.
Теперь можно получить собственные значения энергии частицы. Из (2.12):
2
En=
k
2m
h
2
Ô⇒ En=
2
2
π
h
n2. (2.16)
2
2ml
Мы видим, что энергия частицы квантуется, т. е. может принимать только некоторые дискретные значения, соответствующие n = 1, 2, 3, . . . Спектр энергии в яме
показан на рисунке 2.1, б.
Существует общая теорема квантовой механики, в которой доказывается, что
энергия всегда квантуется у частиц, которые не могут уходить на бесконечность,
т. е. заперты в каком-то объеме; и не квантуется у частиц, которые могут уходить
на бесконечность. У свободных частиц (у частиц вне ямы) энергия не квантуется.
Разница в значениях энергии между соседними уровнями сильно зависит от
размера ямы, т. е. пространства, где заперта частица:
2
∆E = E
n+1
− En=
π
2ml
2
h
(n
2
2
+ 1 + 2n − n
2
)=
2
π
2ml
2
h
(2n + 1).
2
Например, для электрона в электронно-лучевой трубке (l ≈ 10 см)
∆E ≅ 10
−16
⋅ n (эВ) —
квантование энергии совершенно не ощутимо. В то же время для электрона внутри
атома (l ≈ 10−8см) ∆E ≅ 60 ⋅ n (эВ) — не учитывать такую разницу нельзя.
l
Амплитуду волновой функции (A) найдем из условия нормировки:
l
2
A
0
sin
2
n ⋅ π ⋅ x
l
dx = 1, A
l
2
= 1, A =
2
2
.
l
2
ψ
dx = 1.
∫
0
Итак, собственное значение волновой функции:
ψ(x)=
2
l
На рисунке 2.2 показаны графики зависимостей ψ(x)иψ(x)
sin
n ⋅ π
⋅ x. (2.17)
l
2
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]