Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Введение в квантовую механику. Учебное пособие
.pdf
2.8 Операторы — аппарат квантовой механики 51
Каждой динамической переменной (координате, импульсу, энергии и т. д.) ста-
вится в соответствие свой оператор.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
В квантовой механике доказано: в декартовой системе координат
формулы, которые классическая физика выводит для связи между
числовыми значениями физических величин, в квантовой механике
следует рассматривать как формулы, связывающие операторы
этих величин.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Этим пользуются для нахождения неизвестных операторов одних величин по
известным операторам других величин.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Главными операторами квантовой механики являются операторы координаты ˆx = x (умножить на x) и проекции импульса
ˆ
Px= −i
h(∂∂x).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Для примера получим оператор кинетической энергииˆEк. В классической физике:
2
Eк=
p
2m
1
2
2
=
(p
+ p
x
2m
2
+ p
), (2.32)
y
z
поэтому оператор кинетической энергии:
= −
1
2m
h
2m
2
−i
∂
∂x
∂
h
−i
∂x
2
+
2
∂
∂y
∂
h
+−i
∂x
2
2
∂
+
∂z
;
2
2
∂
h
∂y
ˆ
Eк= −
−i
h
h
2m
2
∂
∂y
+
∇2.
ˆ
Eк=
1
2m
+ −i
2
2
ˆ
(
P
+ˆP
x
∂
h
−i
∂z
y
+ˆP
h
∂z
2
)=
z
∂
Оператор полной энергии (гамильтониан):
2
h
ˆ
H =ˆEк+ˆU = −
2
∇
+ U(x, y, z). (2.34)
2m
Уравнение Шрёдингера — оператор полной энергии, воздействующий на ψ-
функцию (сравните формулы (2.3) и (2.4)).
Операторы некоторых величин могут быть достаточно сложными. Например,
оператор квадрата момента импульса:
2
2
ˆ
L2=ˆL
x
+ˆL
2
+ˆL
, (2.35)
y
z
где, в свою очередь, операторы проекций момента импульса:
(2.33)
ˆ
Lx= −i
ˆ
Ly= −i
ˆ
Lz= −i
h y
h z
h x
∂
∂z
∂
∂x
∂
∂y
∂
− z
,
∂y
∂
− x
, (2.36)
∂z
∂
− y
.
∂x
52 Глава 2. Квантовая механика Шр¨eдингера
2.9 Средние значения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Очень важным в физике микромира является понятие среднего
значения различных физических величин.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Например, проще всего найти среднюю энергию молекул, сложив энергии всех
молекул и разделив полученную сумму на число молекул:
N
E=
Этот приём неприемлем при огромном числе молекул. Поэтому используется
другой способ вычисления средней энергии, заключающийся в следующем.
1
Ei. (2.37)
N
i=1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Подсчитаем число молекул N
Пример
, энергия которых лежит между Eки E
к+1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(на-
к+1
пример, 0,031 и 0,032 эВ).
N
∑
i=1
Ei=
Nк⋅ Eк— эта формула точна, если интервалы разбиения малы.
∑
к
Тогда:
где fк= N
E=
N — доля молекул, энергия которых лежит в к-ом интервале, или, что то
к
1
NкEк=Eк⋅
N
к
N
к
=
Eк⋅ fк,
N
к
же самое, вероятность иметь энергию Eк. (Сумма всех вероятностей равна единице.)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Вероятность попасть в бесконечно малый интервал между E и E+ dE зависит от
E и ширины интервала dE и обозначается f (E)dE. Функция f (E)определяет в этом
случае распределение молекул по энергии и называется плотностью вероятности
(вспомните распределение Максвелла):
E=E ⋅ f (E)dE. (2.38)
Интеграл берется по всем возможным значениям E.
От общих рассуждений перейдем к нахождению среднего значения координа-
ты x для частицы, обладающей волновой функцией ψ(x). Квадрат модуляψ(x)
является плотностью вероятности найти частицу в окрестно сти точки x.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Саму ψ-функцию называют амплитудой вероятности, чтобы подчеркнуть необходимость возведения в квадрат при вычислении вероятности.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2.10 Примеры решения задач 53
Согласно (2.38):
2
ψ(x)
dx. (2.39)
Учитывая, что
ψ(x)
x=
2
∗
= ψ
(x)⋅ ψ(x)— комплексно сопряженные величины, мож-
x
но записать:
x=
∗
ψ
(x)⋅ x ⋅ ψ(x)dx.
Но x = ˆx — оператор координаты, т. е.
x=
∗
ψ
(x)⋅ ˆx ⋅ ψ(x)dx.
В квантовой механике доказано, что среднее значение любой динамической
переменной:
L=
∗
ψ
(x)⋅ˆL ⋅ ψ(x)dx.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Учитывая вероятностный характер квантовых законов, следует не
забывать, что соотношения, связывающие физические величины,
справедливы именно для средних значений.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
В разделе 2.5 мы уже отмечали, что выражение для полной энергии E=
= Eк+ U справедливо только для средних значений, и оно может не выпол-
няться в любой момент времени для любых конкретных значений кинетической
и потенциальной энергии.
2.10 Примеры решения задач
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Пример 2.1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Оценить с помощью соотношения неопределённости минимальную энергию
E
одномерного гармонического осциллятора. Масса осциллятора m, собственная
min
частота колебаний ω.
Решение:
Энергия такого осциллятора:
2
mω2x
E =
. (2.40)
2
Поскольку между энергией E и амплитудой x нет линейной зависимости, возь-
мём полный дифференциал от выражения (2.40):
dE = mω2x ⋅ dx.
54 Глава 2. Квантовая механика Шр¨eдингера
Таким образом, приращение энергии ∆E = mω2x ⋅ ∆x, отсюда:
x =
∆E
. (2.41)
mω2⋅ ∆x
Из соотношения неопределённости следует:
∆x =
h
. (2.42)
∆p
x
Выражение (2.42) подставим в (2.41):
x =
∆E ⋅ ∆p
x
. (2.43)
mω2⋅h
В равенстве (2.40) положим E = E
E
=
min
С другой стороны, E
min
= p
2
(2m). Физически разумная неопределённость
min
и подставим выражение (2.43):
min
mω2⋅ ∆E2⋅ ∆p
2m2ω4⋅h
2
x
. (2.44)
2
проекции импульса ∆pxне должна превышать значения самого импульса, т. е. можно положить p
min
≈ ∆px:
2
∆p
E
min
x
=
. (2.45)
2m
Приравняем правые части выражений (2.44) и (2.45):
mω2⋅ ∆E2⋅ ∆p
2m2ω4⋅h
откуда ∆E2=h2ω2. Для нахождения E
2
x
2
можно положить E
min
2
∆p
x
=
,
2m
≈ ∆E. Таким образом,
min
получаем:
E
=hω.
min
Мы знаем (формула (2.31)), что для гармонического осциллятора E
=
hω2. С помощью соотношения неопределённостей мы получили оценку E
min
= E0=
min
т. е. приближённое значение, но нам не пришлось использовать сложные математические приёмы для решения уравнения Шрёдингера.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Пример 2.2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Частица в потенциальной яме шириной l находится в низшем возбужденном
состоянии. Определить вероятность нахождения частицы в интервале l4, равно-
удаленном от стенок ямы.
,
Решение:
Прежде всего — низшее возбужденное состояние, это состояние с n = 2. Плот-
ность вероятности нахождения частицы ψ
2
по ширине ямы в состоянии с n = 2
2.10 Примеры решения задач 55
Рис. 2.9
будет изображаться кривой, показанной на рисунке. Найдем координаты l1и l2,
ограничивающие искомый интервал:
l
l
l1=
l2= l1+
−
2
1
l =
4
3l
=
l +
= 0,375l,
8
1
l =
4
5
l = 0,625l.
8
8
3
8
ψ-функция, описывающая поведение частицы в потенциальной яме,
ψ =
2
⋅ sin n ⋅ π ⋅
l
x
.
l
Вероятность обнаружить частицу в интервале dx: dψ2= (2l)sin2(nπxl)dx;
l
2
окончательно: ψ2= (2l)
sin
∫
l
1
2
(nπxl)dx.
Известно, что:
1
2
sin
(ax)dx =
1
x −
2
sin(2a ⋅ x)+ const —
4a
воспользуемся этой формулой.
ψ
=
=
0,625l
2
1
2
=
2
1
l
2
2
l
x
l
2
0,375l
(0,625l − 0,375l)−
l
l
−
8
1 − (−1)=
8π
−
4 ⋅ nπ
1 ⋅ l
sin
8π
2
2 ⋅ nπ
l
l
l
sin
l
8
0,625l
x
4π
l
l
−
=
4π
0,375l
5
⋅
l− sin
8
2l
l ⋅ 4
=
4π
l
1
1
−
= 0,091.
2
π
3
⋅
l
=
8
Итак, суммарная вероятность обнаружить частицу в искомом интервале равна
0,091 = 9,1%.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56 Глава 2. Квантовая механика Шр¨eдингера
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Пример 2.3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Электрон находится в одномерной потенциальной яме l = 0, 45 нм в возбужденном состоянии. На ширине ямы в данном состоянии укладывается 3 полуволны
де Бройля. Найти энергию частицы в данном состоянии (в эВ).
Рис. 2.10
Решение:
Число полуволн де Бройля равно номеру соответствующего энергетического
состояния. Следовательно, в нашем случае n = 3. Теперь можно использовать формулу (2.16):
2
2
π
h2n
2ml
−34)2
,
2
2
⋅ 3
2
⋅ 1,6 ⋅ 10
= 16,6 эВ.
−19
E =
2 ⋅ 9,1 ⋅ 10
E =
2
π
(1,05 ⋅ 10
−31
⋅ (0,45 ⋅ 10−9)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Пример 2.4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Частица находится в потенциальной яме шириной l в 4-м возбужденном состо-
янии. Указать минимальную и максимальную координаты в интервале 0 < x < l2,
где вероятность обнаружить частицу максимальна (рис. 2.11). Ответ дать в долях l.
Решение:
4-е возбужденное состояние соответствует n = 5. На рисунке показано распре-
деление вероятности по ширине ямы в данном случае. Поскольку x < l2, но не
x ⩽ l2, то максимум вероятности, соответствующей границе указанного интервала
(l2), не подходит.
2.10 Примеры решения задач 57
Рис. 2.11
Поэтому минимальное значение координаты соответствует x1, а максималь-
ное — x2(рисунок 2.11):
x1= 0,1l; x2= 0,3l.
Следует обратить внимание на полезность рисунков, в некоторых случаях они
позволяют решить задачу, не прибегая к громоздким вычислениям.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Найти вероятность прохождения частицы массы m с энергией E сквозь потен-
циальный барьер, показанный на рисунке.
Пример 2.5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Рис. 2.12
58 Глава 2. Квантовая механика Шр¨eдингера
Решение:
Вероятность прохождения частицы через барьер (коэффициент прозрачности)
вычислим по формуле (2.26), положив D0= 1:
x
2
2
−
h
0
2m
U(x)− E
⋅ dx
. (2.46)
D = exp
Общее уравнение прямой:
U(x)= ax + b.
Из рисунка 2.12 определим угловой коэффициент a и свободный член b. Имеем:
U(x = 0)= U
U(x = l)= al + U
, b = U0.
0
= 0, a = −
0
Таким образом, уравнение прямой:
U(x)= U0⋅ 1 −
x
. (2.47)
l
Выразим координату x
. Для этого в равенстве (2.47) положим U(x)= E, x = x
2
Получаем:
x
E = U
⋅ 1 −
0
2
l
x2=
, E = U
U0− E
⋅ l. (2.48)
U
0
0
− U
Вычисляем интеграл (2.46), подставив уравнение (2.47):
x
2
2m
0
=√2m
= −√2m ⋅
U(x)− E
x
2
0
2l
3U
U0− E −
U
− E −
0
0
⋅ dx =
U
x
2
0
x ⋅ dx = −√2m ⋅
2mU
0
l
3
U
2
0
x
− (U0− E)
2
l
1 −
0
x
l
2l
3U
Подставим выражение для x2из (2.48). Получаем:
x
2
2m
0
U(x)− E
⋅ dx =
2l√2m
3U
0
U
0
.
l
x
2
,
0
l
− 2mE ⋅ dx =
U
− E −
0
0
3
2
.
3
(U0− E)
2
. (2.49)
U
.
2
x
3
2
2
0
x
=
l
0
Интеграл (2.49) подставим в (2.47). Тогда вероятность прохождения частицы
через барьер (коэффициент прозрачности):
D = exp −
4l√2m
3hU
0
⋅ (U0− E)
3
2
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.11 Задачи для самостоятельного решения 59
2.11 Задачи для самостоятельного решения
2.1 Частица находится в одномерном потенциальной ящике с бесконечно вы-
сокими стенками. Пси-функция имеет вид, показанный на рисунке 2.13. Найти
вероятность пребывания частицы в области l8 < x < l2.
Рис. 2.13
2.2 Частица находится в одномерной бесконечно глубокой потенциальном яме.
Найти отношение разности соседних энергетических уровней к энергии частицы
∆E
n+1, nEn
а) n = 3;
б) n = 10;
в) n Ð→ ∞.
2.3 Частица находится в основном состоянии в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме. Какова вероятность нахождения частицы в средней трети
ящика.
2.4 При какой ширине d прямоугольного потенциального барьера коэффициент
прозрачности D для электронов равен 0,010? Разность энергий U0− E = 10 эВ.
в трёх случаях:
Рис. 2.14
60 Глава 2. Квантовая механика Шр¨eдингера
2.5 Протон и электрон прошли одинаковую ускоряющую разность потенциалов
∆3 = 10 кВ. Во сколько раз отличаются коэффициенты прозрачности Deдля элек-
трона и Dpдля протона, если высота U0прямоугольного потенциального барьера
равна 20 кэВ и ширина d = 0,10 пм.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]