Дифференциальные уравнения. Учебное пособие-2

УДК 517.9

Р 98

Ряднов А.В., Меренкова Т.В., Трубаев В.В.

Дифференциальные уравнения: Учебное пособие. – М.: РУТ

(МИИТ), 2018. – 146 с.

Данное учебное пособие ставит своей целью помочь студенту самостоятельно овладеть методами решения типовых задач по курсу обыкновенных дифференциальных уравнений. В каждом параграфе даны краткие теоретические сведения и приведены формулы, необходимые для решения задач. Приводятся также подробно решения задач с пояснениями методов их решения. Все задачи являются типовыми, и ознакомление с ними позволяет студенту при самой минимальной помощи со стороны преподавателя овладеть основными методами решения задач данного раздела. Приведены задачи для упражнений. К отдельным задачам даются методические указания. Все задачи имеют ответы.

Предназначено для инженерных специальностей, особенно полезно для студентов очно-заочного и заочного отделений.

Рецензенты: к.ф.-м.н., доцент кафедры «Прикладная математика» МИРЭА Воронцов А. А.; Заведующий кафедрой «Математический анализ» ИПСС РУТ (МИИТ), кандидат физ.-мат. наук Деснянский В.Н.

© РУТ (МИИТ), 2018

Глава I. Дифференциальные уравнения первого порядка

§1. Общие понятия и определения

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную х, искомую

функцию y = y(x) и ее производные y′, y′′,..., y(n) , т.е. уравнение вида

F(x, y′, y′′,..., y(n) ) = 0

Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.

Решением дифференциального уравнения n-го порядка на интервале (a,b) называется функция y = φ(x), определенная на интервале (a,b) вместе со своими производными до n-го порядка включительно, и такая, что подстановка функции y = φ(x) и ее производных в дифференциальное уравнение превращает последнее в тождество по x на (a,b).

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения.

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида

где F( x, y, y′) – заданная функция переменных x, y, y′.

Если уравнение (1) удается разрешить относительно y′, то получится

3

- дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной.

Иногда дифференциальные уравнения первого порядка записываются в форме

Здесь P(x,y) и Q(x,y) - заданные функции переменных x и y. В этом случае за неизвестную функцию можно принять как x, так и y.

Задачей Коши называют задачу нахождения решения y=y(x) уравнения y'= f(x,y), удовлетворяющего начальному

условию y(xo) = yo (другая запись y |x=xo= yo). Геометрически это означает, что ищется интегральная

кривая, проходящая через заданную точку Mo(xo,yo) плоскости XOY .

Вопрос о существовании решений дифференциального уравнения (2) решается следующей теоремой.

Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Пусть задано дифференциальное уравнение y'= f(x,y), где функция f(x,y) удовлетворяет условиям:

а) f(x,y) есть непрерывная функция двух переменных x и y в области D,

б) f(x,y) имеет частную производную ∂∂fy ,ограниченную

в области D,

тогда найдется интервал (xo – d, xo + d), на котором существует и притом единственное решение y =у(x) данного уравнения, удовлетворяющее условию y(xo) = yo.

4

Геометрически это означает, что через каждую точку Mo(xo,yo) проходит одна и только одна интегральная кривая дифференциального уравнения (2).

Теорема имеет локальный характер: она гарантирует существование единственного решения y = y(x) уравнения

(2) лишь в достаточно малой окрестности точки xo. Из теоремы вытекает, что уравнение (2) имеет

бесконечное множество различных решений (например, одно решение, график которого проходит через точку Mo(xo,yo); другое решение, когда график проходит через

точку M1(xo,y1), где y1≠yo и т.д.).

Теорема дает достаточные условия существования единственного решения задачи Коши для уравнения y' = f(x,y), но эти условия не являются необходимыми. Именно, может существовать единственное решение

уравнения y' = f(x,y), удовлетворяющее условию y(xo)=yo, хотя в точке Mo(xo,yo) не выполняются условия a) или б) или оба вместе.

Если отказаться от ограниченности частной производной ∂∂fy , то решение задачи Коши будет

существовать, но оно может быть не единственным. Функция y = φ(x,C), зависящая от одной произвольной

постоянной C, называется общим решением дифференциального уравнения (2) в области D на плоскости xOy, где выполняются условия существования и единственности решения, если 1) она удовлетворяет уравнению (2) при любых допустимых значениях постоянной C; 2) для любого решения y = y*(x) дифференциальное уравнение (2), график которого лежит в области D, найдется такое значение константы C = C*, что y*(x)= φ(x,C*).

5

Частным решением дифференциального уравнения (2) называется решение, получаемое из общего решения при каком-либо конкретном значении произвольной постоянной C (иногда включают C = ±∞). Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения.

В процессе интегрирования дифференциального уравнения мы часто приходим к уравнению

Φ(x,y,C) = 0, (4)

неявно задающего общее решение уравнения. Уравнение (4) называется общим интегралом

дифференциального уравнения (2) в области D. При соответствующем выборе значения C оно определяет любую интегральную кривую, проходящую в области D.

Замечание. Обычно, когда находят общее решение, довольствуются получением решения или интеграла, зависящего от произвольной постоянной C, не обращая внимания на область D, указанную в определении. Однако надо при этом иметь в виду, что полученное решение не обязательно включает в себя все решения данного уравнения. Некоторые интегральные кривые могут выпасть из рассмотрения в ходе решения. Для их определения требуется специальное исследование.

Решение y = Ψ(x) дифференциального уравнения (2) называется особым, если в каждой его точке нарушается свойство единственности, т.е. если через каждую его точку кроме этого решения проходит и другое решение уравнения (2), не совпадающее с y = Ψ(x) в сколь угодно малой окрестности этой точки. График особого решения называется особой интегральной кривой. Для

6

существования особого решения дифференциального уравнения (2) необходимо, чтобы не выполнялись условия теоремы существования и единственности решения.

Через каждую точку M(x,y) из области определения дифференциального уравнения (2) проведем прямую, тангенс угла наклона которой к оси абсцисс равен f(x,y). Это семейство прямых называется полем направлений дифференциального уравнения y' = f(x,y). Интегральная кривая дифференциального уравнения (2) в каждой своей точке касается поля направлений этого уравнения. Задача интегрирования этого уравнения может быть истолкована так: найти такую кривую, чтобы касательная к ней в каждой точке имела направление, совпадающее с направлением поля дифференциального уравнения (2) в этой точке.

Задача построения поля направлений (а значит и построения интегральной кривой дифференциального уравнения (2)) часто решается введением изоклин.

Изоклиной называется геометрическое место точек в которых направление поля дифференциального уравнения

(2) одинаково. Все интегральные кривые, пересекающие данную изоклину, в точках пересечения наклонены к оси абсцисс под одним и тем же углом.

Семейство изоклин дифференциального уравнения (2) определяется уравнением

F(x,y) = K, (5)

где K – параметр. Нулевая изоклина f(x,y) = 0 определяет геометрическое место возможных точек экстремума интегральных кривых дифференциального уравнения (2). Для большей точности построения интегральных кривых определяют направление выпуклости и точки перегиба этих

7

кривых (если такие точки существуют). Для этого находят y''. В силу уравнения (2), получаем

y'' = f'x + f'yy' = f'x(x,y) + f'y(x,y)f(x,y) (6)

Знак правой части (6) определяет знак y'' , т.е. направление выпуклости интегральных кривых. Линия, заданная уравнением

f'x(x,y) + f'y(x,y)f(x,y)=0

есть геометрическое место возможных точек перегиба интегральных кривых дифференциального уравнения (2).

§2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение вида:

dydx = f (x)g(y) (1)

называется уравнением с разделяющимися переменными.

Если в точке y = Co, g(Co) = 0, то функция y = Co является решением уравнения (1).

Разделяя переменные (путем деления на g(y)), мы получим, что решения уравнения (1) (вдоль которых g(y) ≠ 0), удовлетворяют соотношению

∫gdy(y) = ∫ f (x)dx +C (2).

.

Уравнения вида dydx = f (ax +by + c), (3)

8

где a,b,c-постоянные, заменой переменных z = ax +by + c

приводятся к уравнению с разделяющимися переменными. Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, записанное в дифференциалах, имеет вид

В нем коэффициенты при дифференциалах распадаются на множители, зависящие только от x и только от y. Путем деления на ψ1 (y) ϕ2 (x) оно приводится к уравнению с

разделенными переменными:

Замечание. Деление на ψ1 (y)ϕ2 (x) может привести к потере частных решений y =Co, таких, что ψ1 (Co ) = 0.

Пример 1. Решить уравнение

x(1+ y2 )+ y(1+ x2 )dydx = 0

Решение. Представим данное уравнение в виде: x(1+ y2 )dx + y(1+ x2 )dy = 0 .

Разделив обе части уравнения на произведение

(1+ x2 )(1+ y2 )(заметим, что 1+ y2 ≠ 0), получим уравнение с разделёнными переменными

9