Дифференциальные уравнения. Учебное пособие-2

Поэтому

( )

=

+11 ,

( ) =

+11

+ 2+1.

Из этой системы уравнений находим:

( ) = −,

( ) = −

+ cos .

Пример 9. Найти решение системы уравнений:

2

+

2

=

,

2

+ 2 −

+ 2 −

=

−

,

+

удовлетворяющее условиям:

(0)

= (0)

= ′(0) = 0, ′(0) = 1.

уравнениям в

( ) → ( ),

( ) → ( )

Решение. Пусть

2

. Переходя к

2

( ) − 1 + ( ) +

( ) − ( ) =

1

,

− 1

изображениях, получим:

1

( ) + 2 ( ) − ( ) + ( )

= + 1 .

1

( ) =

2 − 1

1

1

1

3

,

2( − 1)( + 1)2 = 8

−1

− + 1 + 4

∙ ( + 1)2

Решая эту систему уравнений, находим:

То

+ 1

←

−

, 2 − 1 ← sh ,

1

1

1

1

−

( + 1)2

= −

+ 1

←

,

1

2

Следовательно,

( 2 −

1)2

= −

2

− 1 ← sh ,

( ) =

41 sh +

43

− , ( ) =

43

sh .

(0) = 1, ′

(0) = 2, (0) = 1,

′(0)

= 0.

Пример 10. Найти решение системы уравнений

′′

′′

, удовлетворяющее следующим начальным

условиям:

=

= ,

( )

( )

Решение. Обозначим изображение искомого решения

через

и

и запишем соответствующее исходному

уравнению уравнение в изображениях:

= ( ).

2 ( ) − − 2 = ( ),

2 ( ) −

2 2

2) − = ( ),

( ) =

( + 1)2

Отсюда имеем:

4

=

(

( ) − −

1

− 1

=

2

+

1

( 2 + 1)( − 1) = − 1 +

2 + 1,

( )

2( 2

+ )

2

− + 2

= ( 2 + 1)( −1)

−( + 2) = ( 2 + 1)( − 1)

=

1

−

2

1 .

− 1

+ 1

Переходя к оригиналам, получаем:

= − sin .

=

+ sin ,

( ) cos( −

) = sin .

Пример 11. Решить уравнение:

уравнения

( ) →

( )

( )

cos

поэтому имеем:

Решение. Пусть0

. Левая часть данного

представляет собой свертку функций

и

,

( )

=

1

Отсюда находим:

2 + 1

2 + 1.

Следовательно, ( ) = 1.

( ) = 1

,

( − ) = ( ) + − 2.

Пример 12. Решить уравнение:

Пусть

0

, тогда

и

( )

( ) → ( )

.

Решение.

Левая часть уравнения – свёртка функций

Отсюда имеем: 1

( )

= ( ) +

1

2 − 2.

− 1

−

( − 1)

1

( )

2( − 1)2

=

2 − 1

=

1

= ( − 1)( −2)

( − 1)

− 1

+ ,

Следовательно, ( ) = + 1.

2

(

− ) .

( ) = sin + 1

Пример 13. Решить уравнение:

уравнения. Так как

( )

-

2

0

изображение решения данного

Решение.

Пусть

sin →

2

1

2

+ 1 , а

2

( −

) =

2

( ) →

( − )

3 ( ),

0

0

1

Его решение:

( ) =

1

2 + 1 + 3 ( ).

то легко записать уравнение в изображениях:

Разложив

( ) = ( − 1)(

2

3

2

+ + 1).

+ 1)(

правую часть предыдущего выражения в сумму

Отсюда ( ) =

1

+ 1

2 + 1

6( −

1)

+

2(

2

+ 1)

−

3(

2

+

+ 1)

.

находим решение исходного уравнения:

2 .

( ) = 6

+

2

(cos + sin )

− 3

cos

1

1

2

−2

√3

Задания для самостоятельного решения

1.

Найти изображения функций, используя теорему о

б)

( ) =

2

∙ cos ;

а)

дифференцировании изображения:

в)

( ) = ( + 1)

∙ 2 ;

г)

( ) = ∙ ( +

).

( ) =

∙

(sin

−

);

2.

Найти изображения функций, используя теорему об

б)

( ) =

2

;

а)

изображении производных:

в)

( ) = 3 ;

г)

( ) =

∙ ;

д)

( ) = 2 ;

( ) = 4 .

3.

Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие

заданным начальным условиям:

(0) = −1;

б)

′′

− 9

= 2 −

x(0)=1,

а)

,

,

x(0)=0,

′

′′ − 3

+ 2 = 5

′(0) = 2;

г)

IV

− 2

′′

+ = sin ,

x

(0) =

′′

(0) =

′′′

(0) = 0;

в)

x(0)=

′

4. Найти+ 2 частные+ = 2решения,

систем:

(0) = 0.

′′

′

2

(0)=

′

а)

′

− 3 + = 0;

x(0)=y(0)=0;

′ − − =

б)

′

− −

2 = ;

x(0)=2, y(0)=4;

в)

′

− 2 − = ,

x(0)=-1, y(0)=0, z(0)=1.

′ = −

− ;

′ = − − ;

′ = −

− ,

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение n-го

0

∙ ( )( ) + 1 ∙ ( −1)( )+. . . + −1

∙ ′( ) +

(1)

порядка с постоянными коэффициентами:

С

+ ( ) = ( )

(0) =. . . =

(0) = 0.

(0) =

( −1)

′

нулевыми начальными условиями:

Уравнение (1) можно решить методом операционного

исчисления изложенным выше. Однако в том случае, если

образом.

( ),

возникают трудности при нахождении изображения правой

части уравнения (1)-функции

поступают следующим

уравнения (2)

( ) ≡ 1,

Допустим, что известно решение дифференциального

уравнения (1) с той же левой частью и правой

т.е.

0 ( )( ) + 1 (−1)

( )+. . . + −1

′( ) + …

+

(2)

+ ( ) = 1

1( ),

( )

x t

(1) можно выразить

следующих формул:

1( )

( ) уравнения

Обозначим его через

тогда решение

через

и

с помощью одной из

( ) = t

′

1

( ) ( − )

∫0

t

′1

( −t

) ( )

( ) = ∫0

− )

( ) = (0 +) 1( ) + t∫0

′( ) 1(

( ) = (0 +) 1

( ) + ∫0

′( − ) 1( ) .

2 + 4 + 4 =

1

( 2 + 4 + 4) =

1

1

1

= ( + 2)2

+

= 0

( + 2)2 =

+ 2 +

( + 2)2

1 = ( + 2)2 + ( + 2) ∙ + ∙

= −2

4 = 1

= −1

−2 = 1

−

− = 1

= 1/4

= −1/2

= − − 1 = 41

+ 42 − 1 = −41

1

1

1

=

4

−

4( + 2)

− 2( + 2)2

1( ) = 1

− 1 ∙ −2 − 1

∙ −2

4

4

−2 22

Дюамеля:

( ) ( ) = (1 + 2 )

Для нахождения

применим первую формулу

( ) = ∫0

′1( ) ∙ ( − ) =

t

1

( ) =

1 − 1

∙ −2

− 1

∙

−2

′

1(t ) = 2

∙

−24

− 2 ∙

−22

+

∙

−2 =

=

1

4

1

t

= ∫0

τ∙ −2

∙ 1 +

2( −t ) 2

=

∙

−2 −2 +22

−2(−)

∙

= ∫0

= −2 ∫0

2 =

Для

(1 + 2 − 2 )

(1 + 2

− 2 )

вычисления интеграла разложим дробь на

простейшие:

=

+

(1 + 2 − 2 )2

1 + 2 − 2

(1 + 2 − 2 )2

=

(1 + 2

− 2 ) +

−2 = 1

= 0

1

= −1

+ + ∙

2

2

Продолжая, получим

2

−2

+ − = 0

( ) =

−2

0

−

1 + 2

0

∫t

1 + 2

− 2

+

2t

∫t

(1 + 2 −2 )2 =

1

∙ −1

= −2

1

∙ ln|1 + 2 − 2 |

|0 t

−

1 + 2

4

∙

1 + 21 − 2

|0

,

2

2

( ) = −2 1

∙ ln1 −

1

∙ ln|1 + 2 |

+

1 + 2

1 −

1

=

4

−2

1

4

4

4

1

1 + 2

=

4 (1 + 2 ) −

ln√1 + 2 −4 =