Дифференциальные уравнения. Учебное пособие-2

Уравнение Лагранжа имеет вид

Решая его вышеуказанным способом, приводим его к линейному относительно x как функции p. Находя решение этого последнего уравнения

x = Φ( p,C),

Получаем общее решение исходного уравнения в параметрической форме:

x = Φ( p,C)

y = Φ( p,C)ϕ( p) +ψ( p)

Кроме того, уравнение Лагранжа может иметь еще особые решения (см. §1) вида

y =ϕ(C)x +ψ(C),

где С – корень уравнения

ϕ(C) = C.

Уравнение Клеро имеет вид

Метод решения тот же, что и для уравнения Лагранжа. Общее решение уравнения Клеро имеет вид

y = Cx +ψ(C).

Уравнение Клеро может иметь еще особое решение, которое получается исключением p из уравнений

y = xp +ψ( p)

x +ψ ′( p) = 0

41

Пример 1. Решить уравнение

(y′)3 − 2x(y′)2 + y′ = 2x

Решение. Поскольку

(y′)3 −2x(y′)2 + y′−2x = (y′−2x)((y′)2 +1) = 0,

то данное уравнение эквивалентно

y′−2x = 0.

Решение этого уравнения

y = x2 +C.

Пример 2. Решить уравнение

(y′)2 + y(y − x)y′− xy3 = 0

Решение. Представим данное уравнение в виде

(y′+ y2 )(y′− xy) = 0.

Отсюда следует, что исходное уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:

y′+ y2 = 0y′− xy = 0

Решая первое из них, находим

y = 0 и y = x +1C ,

Аиз второго уравнения получаем

x2

y = Ce 2

Поэтому решение исходного уравнения

42

(y − x +1C )(y −Ce x22 ) = 0

Пример 3. Решить уравнение

y = (y′)2 e y′.

Решение. Введем параметр

p = y′ = dydx .

Тогда

y = p2e p , dy = (2 pep + p2ep )dp.

Кроме того

dy = pdx,

поэтому

pdx = p(2 + p)epdp.

Отсюда p = 0 либо

dx = ( p + 2)e p dp.

Интегрируя по частям, получаем

∫dx = ∫( p + 2)e p dp

x= 2e p +( p −1)e p +C = ( p +1)e p +C

Таким образом, решения исходного уравнения будут

43

Пример 4. Решить уравнение

ln y′+sin y′− x = 0

Решение. Положим

p = y′ = dydx

Тогда

Поскольку

dy = pdx, то dx = dyp = ( 1p + cos p)dp

Отсюда

y = ∫(1+ p cos p)dp = p + cos p + p sin p +C

Получаем общее решение уравнения в параметрической форме

x = ln p +sin p

y = p + cos p + p sin p +C

Пример 5. Решить уравнение

y′+ y = x( y′)2

Решение. Данное уравнение легко разрешить относительно y :

y = x(y′)2 − y′.

Это уравнение Лагранжа. Введём параметр

44

p = y′, y = xp2 − p.

Дифференцируя по x, имеем

dydx = p2 + 2 px dpdx − dpdx

Или

p = p2 + 2 px dpdx − dpdx .

Получаем линейное уравнение

Решая его, находим

x = p −pln p +2 C

( −1)

Окончательно получаем общее решение исходного уравнения в параметрической форме:

Пример 6. Решить уравнение

y = xy′+ 21y′

Решение. Это уравнение Клеро. Полагая y′ = p , получаем

45

y = xp + 21p .

Дифференцируя последнее равенство по x, имеем: y′ = p + xp′− 21p2 p′, p = p + xp′− 21p2 p′

p′(x − 21p2 ) = 0

Приравнивая к нулю первый множитель, получаем p′ = 0, откуда p = C и общее решение исходного уравнения есть однопараметрическое семейство прямых

y = Cx + 21C .

Приравнивая к нулю второй множитель, будем иметь

Исключая из последних двух равенств параметр p ,

получаем y2 = 2x . Это тоже решение нашего уравнения (особое решение).

46

Задачи

1.(y′)2 + (sin x − 2xy)y′− 2xy sin x = 0

((y −cos x −C)(ye−x2 −C) = 0)

2.y′sin y′+ cos y′− y = 0

47

9.x(y′)2 + xy′− y = 0

10. sin y′+ y′ = x

11. (y′)2 sin y′ = y

y = p2 sin p

x = p sin p −cos p +C

12. y(y′)2 −2xy′+ y = 0

(y2 = 2Cx −C 2 , y = ±x)

48

ГЛАВА II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

§7. Общие понятия и определения

Уравнение вида

где x - независимая переменная, y - искомая функция, а функция F определена и непрерывна в некоторой области

пространства переменных x, y, y′,..., y(n) , называется

обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка.

Дифференциальное уравнение n –го порядка, разрешенное относительно старшей производной, имеет вид

некоторой области D изменения своих аргументов x, y, y′,..., y(n−1) .

Решением уравнения (2) на интервале (a,b) называется функция y(x) , удовлетворяющая условиям:

1)y(x) n раз непрерывно дифференцируема на (a,b),

2)точка (x, y(x), y′(x),..., y(x)(n−1) ) принадлежит

области D при x (a,b) ,

3) y(x) обращает уравнение (2) в тождество, т.е. y(n) (x) ≡ f (x, y(x), y′(x),..., y(n−1) (x)), x (a,b).

Аналогично определяется решение уравнения (1).

49