Дифференциальные уравнения. Учебное пособие-2

а) f (x) = 2; б) f (x) = 3x2 +6; в) f (x) = 2ex ; г) f (x) = 2e2x ;

д) f (x) = 3ex sin 5x −2ex cos5x; е) f (x) = xsin x.

Решение. Характеристическое уравнение

λ3 −λ2 = λ2 (λ −1) = 0

имеет корни: λ1 = 0 кратности 2, λ2 =1 кратности 1. Поэтому ФСР имеет вид {1, x,ex }и значит общее решение линейного однородного уравнения Ly = 0 имеет вид

yoo =C1 +C2 x +C3ex ,

где C1 ,C2 ,C3 - произвольные постоянные.

Найдем вид частного решения линейного неоднородного уравнения (6) для случаев а)-е).

а) Контрольное число σ = 0 (α = β = 0 смотри (4)) – корень характеристического уравнения кратности 2. Поэтому s = 2 и значит

yч = x2 a.

б) Контрольное число σ = 0 - корень характеристического уравнения кратности 2. Поэтому

s = 2 и значит

yч = x2 (ax2 +bx + c) . (7)

в) Контрольное число σ =1 (α =1, β = 0) является корнем характеристического уравнения кратности 1. Поэтому s =1и значит

yч = x(aex ).

71

г) Контрольное число σ = 2 (α = 2, β = 0) не является

корнем характеристического уравнения. Поэтому s = 0 и значит

yч = ae2x .

д) Контрольное число σ =1±5i (α =1, β = 5) не является корнем характеристического уравнения. Поэтому s = 0 и значит

yч = aex sin 5x +bex cos5x.

е)Контрольное число σ = ±i (α = 0, β =1) не является

корнем характеристического уравнения. Поэтому s = 0 и значит

yч = (a1 x +b1 )sin x + (a2 x +b2 )cos x

(если смотреть на формулу (4), то в этом случае

Pn (x) = 0, Qm (x) = x, α = 0, β =1) .

Пример 2. Найдем общее решение уравнения (6) в случае б).

Решение. Подставив (7) в (6), получим:

yч = x2 (ax2 +bx + c) = ax4 +bx3 + cx2 , yч′ = 4ax3 +3bx2 + 2cx,

yч′′ =12ax2 + 6bx + 2c, yч′′′= 24ax + 6b.

Lyч = yч′′′− yч′′ = −12ax2 + (24a −6b)x + 6b − 2c = = 3x2 + 6,

72

откуда, приравнивая коэффициенты при степенях x (в силу линейной независимости функций 1, x, x2 ), получаем систему для определения a,b,c

состоит из функций e−x cos 2x и e−x sin 2x и значит

73

а) Контрольное число σ = −1 (α = −1, β = 0) не является корнем характеристического уравнения. Поэтому s = 0 и значит

yч = (ax +b)e−x .

б) Контрольное число σ = 2 (α = 0, β = 2) не является корнем характеристического уравнения. Поэтому s = 0 и значит

yч = ae2x .

в) Контрольное число

σ = 0 (α = 0, β = 0, σ =α ±iβ = 0) не является корнем характеристического уравнения. Поэтому s = 0 и значит

yч = ax2 +bx + c.

г) Контрольное число

σ =1± 2i (α =1, β = 2, σ =α +iβ =1± 2i)

не является корнем характеристического уравнения. Поэтому s = 0 и значит

yч = aex cos 2x +bex sin 2x.

д) Контрольное число σ = −1± 2i (α = −1, β = 2) является корнем характеристического уравнения кратности 1. Поэтому s =1 и значит

yч = x(a cos 2x +bsin 2x)e−x . (11)

е) Контрольное число σ = −1± 2i (α = −1, β = 2) является корнем характеристического уравнения кратности 1. Поэтому s =1 и значит

yч = x(a cos 2x +bsin 2x)e−x .

74

Вид частного решения в случаях д) и е) один и тот же, хотя коэффициенты a и b будут разные.

Пример 4. Найти общее решение уравнения (9) в случае д).

Решение.

yч = x(a cos 2x +bsin 2x)e−x ,

yч′ = e−x [(a − ax + 2bx)cos 2x + (b −bx − 2ax)sin 2x], yч′′ = e−x [(−2a −3ax + 4b − 4bx)cos 2x +

+ (−2b −3bx − 4a + 4ax)sin 2x].

Подставляя выражение для yч и ее производных в исходное

уравнение (9), и сокращая на e−x , будем иметь (коэффициенты, содержащие x должны сократиться)

− 4a sin 2x + 4b cos 2x = cos 2x.

Приравнивая коэффициенты при cos 2x и sin 2x (линейно независимые функции), получаем − 4a = 0, и 4b =1, т.е.

a = 0, b = 14 и значит

yч = 14 xe−x sin 2x.

Общее решение данного уравнения будет

yон = yoo + yч = C1e−x cos 2x +C2e−x sin 2x + + 14 xe−x sin 2x.

Пример 5. Решить уравнение

Ly = y′′−6y′+9y = 4ex −16e3x . (12)

75

Отсюда a = −8 , так что

y2ч = −8x2e3x .

Частное решение yч уравнения (12) ищем методом суперпозиции в виде суммы частных решений y1ч и y2ч уравнений (13) и (14)

Решение. Находим общее решение уравнения (15). Находим

общее решение yoo соответствующего однородного

уравнения

Ly = y′′− y = 0.

Характеристическое уравнение λ2 −1 = 0 имеет корни λ1 =1и λ2 = −1кратности 1. Поэтому

yoo = C1ex +C2e−x .

Частное решение yч неоднородного уравнения (15) ищем в виде

yч = axex .

Контрольное число σ =1 является корнем характеристического уравнения кратности 1; поэтому

77

удовлетворяло начальным условиям (16). Используя условие y(0) = 0, получаем C1 +C2 = 0 . Дифференцируя (7), найдем

yон′ = C1ex −C2e−x + 2ex + 2xex .

Отсюда, в силу условия y′(0) =1, будем иметь

C1 −C2 = −1. Для отыскания C1 и C2 получим систему

C1 +C2 = 0

C1 −C2 = −1,

решая которую находим C1 = − 12 , C2 = 12 . Подставляя

найденные значения произвольных постоянных в общее решение (7), находим решение задачи Коши

y = − 12 ex + 12 e−x + 2xex

или

y = 2xex − shx.

78

Пример 7. Решить уравнение

Решение. Соответствующее однородное уравнение

имеет вид

y′′+ y = 0 .

Его характеристическое уравнение

λ2 +1 = 0

имеет корни λ1,2 = ±i и, следовательно, общее решение

Частное решение исходного уравнения ищем методом вариации произвольных постоянных в виде

где C1 (x) и C2 (x) - неизвестные функции от x . Для их нахождения составим систему (см. § 9 система (5))

C1′(x)cos x +C2′(x)sin x = 0C1′(−sin x) +C2′(x)cos x = cos1 x .

Решая эту систему (например, по формулам Крамера) находим

C1′(x) = −tgx; C2′(x) =1.

79

Задачи

Найти общее решение дифференциального уравнения или решение задачи Коши.

80