Дифференциальные уравнения. Учебное пособие-2

13.x2 + xy′ = y, y(1) = 0. (y = x − x2 )

14.y′−2xy = 2xex2 . (y = (C + x2 )ex2 )

15.y′+ 2xy = e−x2 . (y = (C + x)e−x2 )

17.xy′−2y = x3 cos x. (y = Cx2 + x2 sin x)

18.y′− ytgx = cos12 x , y(0) = 0. ( y = cossin2xx)

19.y′xln x − y = 3x3 ln2 x. (y = (C + x3 )ln x)

20.(2x − y2 )y′ = 2y. (x = Cy − 12 y2 )

−y2 − y2

23.(e 2 − xy)dy − dx = 0. (x = (C + y)e 2 )

24.y′+ 2xy = 2xy2 . (y = 1+Ce1 x2 , y = 0)

25.3xy2 y′− 2y3 = x3. (y3 = x3 +Cx2 )

26. (x3 + ey )y′ = 3x2 . (x3e−y = C + y)

e−x2

27. y′+2xy = y2ex2 . (y = C − x , y = 0)

31

28.xy′+ xy2 = y. (y = C 2+xx2 , y = 0)

29.2y′ln x + xy = 1y cos x.(y2 ln x = C + sin x)

31. y′− y2 + 2ex y = e2x + ex , y1 = ex − частное

решение.

§5. Уравнения в полных дифференциалах

Уравнение

называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции u(x, y) , т.е.

32

M ( x, y)

u(x, y) = ∫M (x, y)dx + N(x, y)dy,

Mo ( xo , yo )

где точки Mo(xo,yo) и M(x,y) и путь интегрирования лежат в области непрерывности функций M(x,y) и N(x,y) и их частных производных, причем, Mo(xo,yo) – некоторая фиксированная точка. В формуле (3) этот путь состоит из двух прямых, параллельных осям OX и OY, соединяющим точки Mo(xo,yo), M(x,yo) и M(x,yo), M(x,y).

Пример 2. Решить уравнение

т.е. левая часть данного уравнения является полным дифференциалом некоторой функции u(x, y) . Искомую

35

ddxψ = 1x −1, ψ(x) = ln x − x +C1

Поэтому u(x, y)= xx−2 y −ln y + ln x − x +C1

Все решения исходного уравнения определяются из

При интегрировании некоторых дифференциальных уравнений можно так сгруппировать члены, что получатся легко интегрируемые комбинации.

Пример 3. Решить уравнение

(y2 + x2 + a)y dydx + (y2 + x2 − a)x = 0

Решение. Запишем уравнение в виде

(y2 + x2 − a)xdx + (y2 + x2 + a)ydy = 0

Нетрудно заметить, что это уравнение в полных дифференциалах.

∂∂y (x(y2 + x2 − a))= 2xy = ∂∂x (y(y2 + x2 + a))Решить его можно и так:

(x2 + y2 )(xdx + ydy)− a(xdx − ydy)= 0

(x2 + y2 )d(x2 + y2 )− ad(x2 − y2 )= 0 d((x2 + y2 )− 2a(x2 − y2 ))= 0

Следовательно, (x2 + y2 )2 − 2a(x2 − y2 )= C - есть общий интеграл исходного уравнения.

Пример 4. Решить дифференциальное уравнение

(x3 + xy2 )dx + (x2 y + y3 )dy = 0

36

Решение. Здесь ∂∂My = 2xy = ∂∂Nx , т.е. условие(2) выполнено

и, следовательно, данное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах. Это уравнение можно привести к виду du = 0 непосредственной группировкой его членов. С этой целью перепишем его так:

x3dx + xy(ydx + xdy)+ y3dy = 0

Следовательно, u(x, y)= x4 + 2(xy)2 + y4 = C есть общий интеграл данного уравнения.

37

38

§6. Дифференциальные уравнения, не разрешённые относительно производной

Дифференциальное уравнение первого порядка, не разрешенное относительно производной, имеет вид

При решении такого уравнения желательно разрешить его относительно y′, т.е. получить одно или несколько

уравнений, разрешенных относительно производной:

39

Однако не всегда уравнение (1) разрешается относительно производной и еще реже полученные после разрешения относительно y′уравнения (2) легко интегрируются.

Поэтому уравнения вида (1) часто приходится решать методом введения параметра. Рассмотрим простейший вариант этого метода.

Пусть уравнение (1) разрешается относительно y или относительно x, например его можно записать в виде

Взяв полный дифференциал от обеих частей последнего равенства и заменив dy через pdx , получим уравнение

pdx = ∂f (x, p) dx + ∂f (x, p) dp,

∂x ∂p

Т.е. получим дифференциальное уравнение записанное в дифференциалах

M (x, p)dx + N(x, p)dp = 0.

Если найдем решение этого уравнения x = Φ( p,C),

То решение исходного уравнения запишем в параметрическом виде

x = Φ( p,C)y = f (x, p)

Примерами уравнений, которые решаются изложенным выше методом, есть уравнения Лагранжа и Клеро.

40