Дифференциальные уравнения. Учебное пособие-2

12.y′′′ = 1−(y′′)2 . (y =C1 +C2 x −sin(x +C3 ))

13.y′′ = 1+(y′)2 .(y = ch(x +C1) +C2 )

14.y′′ = (y′)2. (y = C1 −ln C2 − x )

15.y′′ = 1−( y′)2 .( y = C1 −cos(x +C2 ))

16.y′′ =1+ (y′)2 .(y = C1 −ln cos(x +C2 ) )

17.y′′ = 1+ y′.(y = 121 (x +C1 )3 − x +C2 )

18.y′′ = y′ln y′; y(0) = 0, y′(0) =1.(y = x)

19.y′′+ y′+ 2 = 0; y(0) = 0, y′(0) = −2.( y = −2x)

20. y′′ = y′(1+ y′).(y = C1 −ln1−ex+C2 )

3

21.3y′′ = (1+ (y′)2 ) 2 .((x +C1 )2 + (y +C2 )2 = 9)

22.y′′′+(y′′)2 = 0.(y = (x +C1 )ln x +C1 +C2 x +C3 )

23.yy′′ = (y′)2 .(y = C1eC2 x )

61

30.y3 y′′ = −1; y(1) =1, y′(1) = 0.(y = 2x − x2 )

31.yy′′−(y′)2 = y2 y′.(C1 x +C2 = ln y +yC1 )

32.y′′ = e2 y ; y(0) = 0, y′(0) =1.(y = −ln x −1)

33.2yy′′−3(y′)2 = 4y2 .(y cos2 (x +C1 ) = C2 )

34. y′′′ = 3yy′; y(0) = y′(0) =1; y′′(0) = 32 .

(y = (x −42)2 )

62

§9. Общие понятия, определения и свойства линейных дифференциальных уравнений

Линейным дифференциальным уравнением n- го порядка называется уравнение вида

где функции ao (x),a1 (x),...,an (x), f (x) непрерывны на

интервале (a,b) , причем ao (x) ≠ 0 при x (a,b) . Мы будем рассматривать уравнения в канонической

форме, где ao (x) ≡1 (для этого достаточно обе части уравнения (1) разделить на ao (x) ).

называется линейным однородным уравнением, соответствующим неоднородному уравнению (1) (заметим,

что в (1) мы считаем, что ao (x) ≡1).

В силу теоремы существования и единственности, решение задачи Коши для уравнения (1) существует на всем

интервале (a,b) и единственно.

63

Для краткости записи обозначим левую часть уравнения (1) через Ly . Тогда уравнение (1) кратко запишется в виде

Ly = f (x) .

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение

Ly = y(n) + a1 (x) y(n−1) +... + an (x) y = 0 (2)

Нетрудно показать, что если y1 (x),..., ym (x)

есть решения уравнения (2), то и любая их линейная комбинация

C1 y1 (x) +C2 y2 (x) +... +Cm ym (x),

где C1 ,C2 ,...,Cm произвольные постоянные, является

решением уравнения (2).

Введем понятие линейной зависимости функций. Функции ϕ1 (x),ϕ2 (x),...,ϕm (x) называются линейно

зависимыми на (a,b) , если существуют такие числа α1 ,α2 ,...,αm , не все равные нулю, что

α1ϕ1 (x) +α2ϕ2 (x) +... +αmϕm (x) ≡ 0 (3)

при всех x (a,b). Если же тождество (3) имеет место лишь при α1 =α2 = ...αm = 0 , то функции

ϕ1 (x),ϕ2 (x),...,ϕm (x) называются линейно зависимыми на

(a,b).

Замечание. Для линейной независимости двух функций ϕ1 (x) и ϕ2 (x) на (a,b) необходимо и достаточно, чтобы

их отношение ϕ1 (x) ≠ const на (a,b).

ϕ2 (x)

64

Для линейной независимости функций ϕ1 (x),...,ϕm (x) ,

непрерывных вместе со своими производными до (m-1)-го порядка включительно достаточно, чтобы определитель

Вронского (вронскиан) системы функций ϕ1 (x),...,ϕm (x)

не был равен нулю хотя бы в одной точке x интервала (a,b) . Если же функции ϕ1 (x),....,ϕm (x) являются

решениями уравнения (2), то это условие является и необходимым.

У линейного однородного уравнения n-го порядка (2) всегда существует система из n линейно независимых

решений y1 (x),..., yn (x) , называемых фундаментальной системой решений (ФСР) уравнения (2). Общее решение

yoo линейного однородного уравнения (2) имеет вид yoo = C1 y1 (x) +... +Cn yn (x),

где C1 ,...,Cn - произвольные постоянные, а y1 (x),..., yn (x) - ФСР уравнения (2).

Для вронскиана решений линейного однородного уравнения (2) имеет место формула ОстроградскогоЛиувилля

65

Общее решение yон линейного неоднородного уравнения n-го порядка

Ly = y(n) + a1 (x) y(n−1) +...+ an (x) y = f (x) (3)

находится по формуле

yон = yoo + yч ,

где yoo - общее решение соответствующего линейного

однородного уравнения, а yч - какое-нибудь частное решение неоднородного уравнения (1).

Если известна ФСР соответствующего однородного уравнения, то частное решение может быть найдено с помощью метода вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа). Сущность метода состоит в следующем. Частное решение ищется в виде

yч = C1 (x)y1 (x) +C2 (x)y2 (x) +... +Cn (x)yn (x) , (4)

где функции Ci (x),(i =1,..., n) определяются из системы уравнений

66

Относительно Ci′(x) система (5) является системой n

линейных неоднородных уравнений, причем определитель матрицы системы есть

W (x) =W (y1 ,..., yn ) ≠ 0

при x (a,b) . Поэтому система (5) имеет единственное решение

Ci′(x) = Ψ1 (x),i =1,..., n.

Откуда

Ci (x) = ∫Ψi (x)dx +αi ,

где αi - произвольные постоянные (которые можно положить равными нулю).

Частное решение можно находить и методом

суперпозиции, состоящем в том, что если yiч является частным решением линейного неоднородного уравнения

Ly = fi (x),i =1,..., m, (6)

то функция

yч =α1 y1ч +... +αm ymч

67

Является частным решением линейного неоднородного уравнения

Ly =α1 f1 (x) +... +αm fm (x) .

§10. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Числоλ = λo называется корнем кратности k для многочлена

R(λ) = ao λn + a1λn−1 +... + an

если R(λ) можно представить в виде

R(λ) = (λ −λo )k R1 (λ),

где R1 (λ) - многочлен (степени n-k) и R1 (λo ) ≠ 0. Любой

многочлен степени n ≥1можно представить единственным образом в виде произведения

R(λ) = ao (λ −λ1 )k1 (λ −λ2 )k2 ...(λ −λm )km ,

где ki - кратности корня λi (вообще говоря комплексные),

λi ≠ λj при i ≠ j, k1 + k2 +... + km = n.

Линейным дифференциальным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

где f (x) - непрерывная функция на (a,b), ai = const , (i =1,..., n).

68

Фундаментальная система решений, соответствующего линейного однородного уравнения может быть найдена следующим образом. Рассмотрим многочлен

называемым характеристическим многочленом уравнения

Ly = 0 .

Уравнение

называется характеристическим уравнением линейного уравнения. Уравнение (3) имеет n корней с учетом их кратности (т.е. каждый корень считается столько раз, какова

его кратность). Если λi =αi - действительный корень

кратности ki , то ему соответствует ki линейно независимых решений вида

eλi x , xeλi x ,..., xki −1eλi x .

Если λj =α j ± β j - два комплексно сопряженных корня (у нас ai действительные числа) кратности k j , то им соответствует 2k j линейно независимых решений уравнения Ly = 0 вида

eαj x cos βj x,eαj x sin βj x, xeαj x cos βj x, xeαj x sin βj x,...,

xk j −1eαj x cos βj x, xk j −1eαj x sin βj x

(каждая последующая пара решений отличается от предыдущей умножением на x ). Перебирая таким образом корни характеристического уравнения, мы получим ФСР однородного уравнения.

69

При нахождении частного решения неоднородного уравнения Ly = f (x) кроме выше указанных способов (см. §9) можно воспользоваться методом подбора, когда правая часть уравнения f (x) имеет специальный вид квазимногочлена

где Pn (x) и Qm (x) - многочлены степени n и m

соответственно. Тогда частное решение неоднородного уравнения (1) ищется в виде

Где s - кратность контрольного числа правой части (1) σ =α ±iβ как корня характеристического уравнения (3) (

s = 0 , если σ =α ±iβ не корень характеристического

k = max{m, n}, коэффициенты которых могут быть найдены методом неопределенных коэффициентов путем

подстановки yч в уравнение (1).

Таким образом, любое неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами всегда может быть проинтегрировано.

Пример 1. Найти вид частного решения уравнения

Ly ≡ y′′′− y′′ = f (x), (6)

где:

70