Дифференциальные уравнения. Учебное пособие-2

Ответом задачи будут являться это решение и полученное ранее y = -2.

Пример 3. Найти решение задачи Коши.

(1+ ex )yy′ = exy(0)=1

Решение. Имеем (1+ ex )y dydx = ex .

Разделяя переменные, получим ydy = ex dxx . 1+ e

Проинтегрировав правую и левую части, найдем:

C = 12 −ln 2 .

Подставляя найденные значения C, получим частное решение (решение задачи Коши)

11

Из начального условия следует, что y>0, т.к. y(0)=1>0. Поэтому перед корнем берем знак плюс. Таким образом,

Пример 4. Решить уравнение dydx + y = 2x +1.

Решение. Данное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными, если положить

z = y − 2x −1. Имеем z′ = y′− 2, dxdz = −z − 2 . Одно решение последнего уравнения очевидно: z = -2, т.к. z + 2 = 0. Находим остальные его решения, разделяя переменные и интегрируя

∫zdz+ 2 + ∫dx = 0 , ln z + 2 + x = ln C , z + 2 = Ce−x , С ≠ 0.

Решение. z = -2 можно получить из последнего соотношения при C = 0, поэтому z = −2 +Ce−x ,C (−∞,+∞).

Окончательно y − 2x −1 = −2 +Ce−x или y = 2x −1+Ce−x ,C (−∞,+∞).

Пример 5. Решить уравнение dydx = cos(x − y −1). Решение. Замена z = x − y −1приводит это уравнение к уравнению с разделяющимися переменными dxdz =1− dydx ,

1− dxdz = cos z , dxdz =1−cos z .

Функции z = 2πk, k – целое число (cos z =1) являются решениями последнего уравнения. Остальные его решения получаются путем разделения переменных и интегрирования

12

n – целое число. Таким образом

x − y −1 = 2arctg(C − x)+ 2πn , окончательно y = x −1− 2arctg(C − x)+ 2πn и y = x −1+ 2πk .

Пример 6. Найти частные решения уравнения

y′sin x = y ln y , удовлетворяющего начальным условиям: а)

Решение. Функция y =1(решение уравнения y ln y = 0 )

является решением уравнения. Остальные решения найдем, разделив переменные в уравнении и проинтегрировав его:

Поскольку ранее найденное решение y =1 можно получить

из последнего соотношения, положив С=0, окончательно получим:

С tg x ( )

y = e 2 , С −∞;+∞ , что является общим решением исходного уравнения.

13

tg x

частное решение y = e 2 .

б) Полагая в общем решении x = π2 , y =1, будем иметь

C tg π

1 = e 4 , откуда С=0. Тогда искомое решение задачи Коши примет вид y ≡1.

Задачи

Найти решение уравнений:

1. y′+1 = y (y =1+Cex )

3.y′ = y ln y (ln y = Cex )

4.y′ = x + y +1 (ln x + y + 2 = x +C)

5.y′ = y − x +1 (y = x + 14 (x +C)2 , x ≥ −C, y = x)

14

15

§3. Однородные дифференциальные уравнения

Функция f (x,y) называется однородной степени n относительно переменных x и y, если при любом допустимом t > 0 справедливо тождество

однородными степени 0, 0, 2, k соответственно. Дифференциальное уравнение dydx = f (x, y) называется

однородным, если f (x,y) – однородная функция степени нуль, т.е. f (tx,ty) ≡ f (x, y) для всех t > 0 .

Уравнение P(x, y)dx +Q(x, y)dy = 0 является однородным, если P(x, y) и Q(x, y) есть однородные функции одной и той же степени.

16

Замена y = z x приводит однородное уравнение к

уравнению с разделяющимися переменными.

К однородным уравнениям приводятся уравнения вида

Это достигается линейной заменой

x = x0 +t , y = y0 + z , где x0 и y0 есть решение системы линейных уравнений

если эта система имеет единственное решение.

В этом случае получаем однородное уравнение

В случае, когда система (2) не имеет решений, то тогда

a1 = b1 и уравнение (1) приводится к уравнению с a2 b2

разделяющимися переменными путем замены

z = a1 x +b1 y + c1 .

−x

Пример 1. Решить уравнение dy = xy + y2e y dx x2

Решение. Данное уравнение является однородным. Положив y = zx , получим

17

1

y′ = xz′+ z , x dxdz + z = z + z2e−z1 , ∫ez2z dz = ∫dxx ,

или

18

Очевидно, что функции z =1 и z = −1 есть решения уравнения. Другие его решения найдем, разделяя переменные и интегрируя

Решение. Решаем систему линейных уравнений

y +1 = 0

x + y − 2 = 0 ,

получаем: x0 = 3, y0 = −1

Введем замену x = 3 +t, y = −1+ z , получим однородное уравнение

19

Потенцируя, получим

ut = Ce−2arctgu , C ≠ 0

При разделении переменных мы могли потерять решение u = 0 , но при С=0 оно получается из общего решения. Возвращаясь к переменным x и y, получаем общее решение:

20