Дифференциальные уравнения. Учебное пособие-2

Пример 2.

Используя (11.5), получим изображения

функций sin at, cos at.

sin → 2

1

(3)

+ 1

sin → 1

∙ = 1 ∙

12+1

=

2+ 2

→

1

|t=

1

a

cos at

p =

(4)

(12.3−

) и (12.4), найдем изображение функций −

∙ cos и

Пример 3. Используя теорему смещения и формулы

∙ .

→

2+ 2

Известно, что sin at

, тогда

−

∙ sin →

( + )2+

2

(5)

Соответственно

( + )2+ 2

−

∙ cos →

+

(6)

Предварительно получим изображение

2

:

∙

3

3

2 .

Пример 4. Найдём изображение функции

5

23

= 1 + 6

→

1

1

+

2

2

2

2

+ 6

Применяя теорему смещения получим:

2

5 ∙ 23 → 1

1

+

−25

2

− 5

( − 5)

+ 6

Пример 5. Найти изображение функции:

( ) = −2 ∙sin 4

∙ sin 3 .

sin 4 ∙ sin 3

=

2

(cos − cos 7 )

Заменим произведение sin 4t1∙sin 3t

на сумму:

Применяя свойство линейности, получим:

2

{sin 4

∙ sin 3 } = 1

2

−

2

2

+ 1

+ 7

Используя теорему (2.8), окончательно получим:

= 1

{ −2 sin 4 ∙ sin 3 } =

2

+22

−

+

2+2

2

( + 2)

+ 1

( + 2)

7

Пример 6.

Найти оригинал по изображению:

( )

=

2

−2+5

2

=

2

.

12+ 1 2 =

2 =

−

Преобразуем знаменатель дроби:

( −1) + 2

− 2 + 5

( − 1)

+ 2

(−1)2+22 + 2

∙ (−1)2+22

→

∙ cos 2

+

=

−1

1

2

2 +

21 2

+21 ∙ 2

=

Пример 7.

Поскольку

→

1

, тогда

12 =

12

→

(−1)

∙

1 = (−1)

∙ −

2

2

1

→

1

=

−

−2

2

2

2 = −

3 =

3.

Теорема (изображение производных). Если ( ) → ( ), то

′( ) → ∙ ( ) − (0+)

(10)

′′( ) → {

′( )} − ′(0 +) = [ ∙ ( ) − (0 +)]-

- ′(0 +) = 2

( ) − (0 +) − ′(0+)

(11)

Тогда изображение

(0 +) − ′(0 +) − ′′(0 +) (12)

′′′( ) → 3 ( ) − 2

Таблица изображений некоторых оригиналов

1 → 1

,

> 0;

→

Г( + 1)

;

> −1,

> 0;

+1

→ +1!

>

0; − натуральное число;

→

1

,

> ;

−

sin →

2 + 2

,

> 0 ;

Приведём примеры решения задач на указанные выше

свойства и таблицы изображений

Пример 11. Найти изображение функции ( ) = .

ln

Решение. Запишем данную функцию в виде

( ) =

.

Так как

λ

→ −1λ , то ln → −1ln .

→ −1ln .

Следовательно,

Пример 12.

Найти изображение функции ( ) = sin2 .

Решение. Поскольку

( ) = sin2

= 21

(1 − cos 2 ),

то

.

( ) → 1

1

−

−21

=

2

2

+ 4]

2

− 1

( −1)

+ 4

( − 1)[( − 1)

Таким образом,

sin2 →

(−1)[( 2−1)2+4]

.

.

Пример 13.

Найти изображение функции ( ) = sin

Решение. Так как

sin

→ 21+1 ,

то

sin

∞

∞

=

→ 0

2

+ 1

= arctg |

2 − arctg .

Пример 16. Найти изображение функции

sin

.

Решение. Данная функция периодическая с ( ) = |sin |

sin

1

2

−

периодом .

sin

задаче,

В силу утверждения, доказанного в предыдущей

2

|sin

|

→

( ) =

1 −

−2

|sin |

=

1

−

0

=

−

2

−

=

1 −

−2

−

−

0

1

1

−

)

−

(1 −

) =

= 1 − −2

(1 −

(1

− −)2

=

1

1 − −

Поэтому,

= (1 − −2 )

∙

1 + −

sin

|

→

1

∙

1 − −

|sin

1 + −

−

2

Пример 17.

Найти изображение:

2

=

sin − ∙

cos → 2+

2 −

( 2

+ 2)2

=

2 +

3

− 2

( 2

+ 2) +

3 − 2

(

2

+

2

)

2 3

(

2

+

2

)

2

2+

2 =

=

( 2 + 2)2

1. Найти изображения следующих функций:

б)

;

е)

( ) =

3

∙

cos 3 ∙ cos 4 ;

а) f(t)=

д)

∙ sin 3 ∙ cos 2 ;

в)

( ) = 3 ;

ж)

( ) = −4

г)

( ) = ∙ ;

з)

( ) =

∙ sin ;

( ) = 2 ;

( ) =

∙sin .

Если изображение F(p) раскладывается в степенной ряд

( ) = 0 + 12

+ 23 + +

+1 + ,

по степеням 1

, т.е.

где

∞

сходящийся при

+1

| | > ,

=

≠ ∞,

то оригинал

→