Дифференциальные уравнения. Учебное пособие-2

Пример 4. Найти изображение функции

f (t −b) =sin(t −b) χ(t −b).

Решение.

f (t) =sin t χ(t) → p21+1 , значит

sin(t −b) χ(t −b) → pe2 +1 .

− pb

Пример 5. Найти изображение функции, заданной графически:

Решение. Найдем аналитическое выражение для f (t) :

131

в) если t ≥3a, функция f (t) = t −a4a .

Предполагая, что функция f (t) для всех t [0;a] тождественно равна единице, вычислим, какую функцию ψ1 (t) надо к ней прибавить, чтобы получить функцию

f (t) = 2aa−t для всех t ≥ a.

132

Пример 6. Найти изображение ступенчатой функции с бесконечным числом ступеней, график которой представлен на рис.2.

Решение. Заданная функция f (t) , очевидно, запишется в виде:

f (t) = χ(t) + χ(t −τ) + χ(t −2τ) +

Согласно теореме запаздывания изображение такой функции выражается геометрической прогрессией

F( p) = 1p (1+e−pτ +e−2 pτ +e−3 pτ + ),

Сумма которой равна

133

Очевидно, что рассматриваемая функция (4) запишется единой формулой в виде:

f(t) = a0 χ(t) +(a1 −a0 )χ(t −τ1 ) +(a2 −a1 )χ(t −τ2 ),

аизображение ее, по теореме запаздывания, будет равно:

Пример 8. Найти изображение знакопеременной ступенчатой функции, график которой представлен на рис. 4

рис. 4.

Решение. Нетрудно видеть, что рассматриваемая ступенчатая функция с бесконечным числом ступеней запишется в виде:

f(t) = χ(t) −2χ(t −τ) +2χ(t −2τ) − ,

аизображение её будет равно

135

Пример 8. Найти изображение функции

( ) ; 0 ≤ ≤ ,= 2 − , < < 2 ,

0, ≥ 2 и < 0.

Решение. Данную функцию запишем с помощью

функции Хевисайда в виде

( ) = χ( ) − 2( − )χ( − ) + ( − 2 )χ( − 2 ).

Отсюда,

( ) → 12 − 22 − + 12 −2 = 12 (1 − −)2.

136

Задание для самостоятельного решения

1. Найти изображение следующих функций, заданных графически:

а)

137

б)

в)

г)

138

а)

б)

139

Задачи

140