Дифференциальные уравнения. Учебное пособие-2
.pdfС помощью преобразования Лапласа найти решение дифференциальных уравнений:
11. |
|
|
ʹʹʹʹ |
+ |
ʹ |
− |
2 |
= |
|
|
|
|
|
|
′ |
(0) |
.= 0 |
. |
|
|||||||||
12. |
|
|
|
|
, (0) = −1, |
|
|
|||||||||||||||||||||
13. |
|
|
ʹʹ |
|
|
|
|
|
ʹ |
|
|
|
|
, (0) |
|
|
′ |
(0) = −3 |
|
|
|
|
||||||
|
|
+ = 4 |
|
= 4, |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
′ |
|
|
|
.+ 4 |
|
+ 4 = −2(cos |
+ 2 sin ), (0) = −1, |
|||||||||||||||||||||
14. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(0) = 1 |
− |
′ |
|
= 0, (0) = 3, |
|
′(0) = −1, ′′(0) = 1. |
|||||||||||||||||||||
15. |
|
′′′ |
|
|
||||||||||||||||||||||||
16. |
ʹʹʹ |
( ) +. |
′′ = 2 cos , |
(0) = −2, ′(0) |
= 1, |
′′(0) = |
||||||||||||||||||||||
|
Найти |
|
|
|
|
|
|
из системы дифференциальных |
|
|||||||||||||||||||
= |
|
(0) |
= 0 |
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
уравнений: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
, (0) = 1, (0) = −1. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
= 1 + , |
|
|||||||||||||||||||||||
17. |
|
Решить систему уравнений: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2 + |
+ 1, |
(0) = 0, |
(0) = 5. |
|||||||||||||
= + 2 , |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
18. |
|
Найти решение системы уравнений: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
= |
|
+ 2 |
|
+ |
− + 3, |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
начальным условиям: |
|
|
|
|
|||||||||||
удовлетворяющее |
|
|
|
|
|
|
= − , |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(0) |
= 0, ′(0) = 1, |
|
(0) = −1. |
|
|||||||||||||||||||
141
19. Решить интегральное уравнение:
0 ( ) cos( − ) = 1 − cos .
20. Найти решение интегро-дифференциального уравнения: ′′ + = cos + ∫0 sin( − ) ( ) ,
удовлетворяющее начальным(0) = 0, условиям′(0) = −2.
142
2. |
( ) = ( )+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответы |
|
|
||||||
1. |
( ) |
= |
|
2 |
! |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3. |
|
− arctg . |
|
|
|
|
||||||||||||||||
4. |
( ) |
= |
|
1 |
|
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
5. |
( ) |
= |
|
2+ 2 |
2 . |
|
|
|||||||||||||||
|
( ) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
6. |
|
√ 1+ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
7. |
( ) = |
cos |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
8. |
( ) = |
cos . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
9. |
( ) = |
21 |
(ch |
− cos ). |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||
10. |
2 |
|
|
|
( ) − 1. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
+ +1 |
|
|
|
|
|
+ 2) ( ) − − 1. |
|
||||||||||||||
11. |
( − 1)( 2 |
|
||||||||||||||||||||
12. |
|
= 31 |
|
− |
79 |
|
− |
29 |
−2. |
|
|
|||||||||||
13. |
|
= 2 |
2 |
+ 2 cos |
−5 sin . |
|
|
|||||||||||||||
14. |
|
= −2 |
( − |
cos |
− 2 sin ). |
|
||||||||||||||||
15. |
|
= 2 + −. |
|
|
|
|
|
|
2 cos . |
|
|
|||||||||||
17. |
|
= |
(1 − sin ) − |
|
|
|||||||||||||||||
|
= 4 |
|
+ 4 |
(3 |
− 2 ). |
|
|
|||||||||||||||
16. |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
− − |
32, = 38 |
3 + 2 − + 31. |
|||||||||
18. |
= 38 3 |
− 2 |
||||||||||||||||||||
|
|
= 121 + |
154 |
|
3 |
|
− |
89 |
2 + 4031 |
−2, = 121 |
+ |
|||||||||||
19. |
+ |
151 3 |
|
− 83 |
2 |
|
− 4031 −2. |
|
|
|||||||||||||
20. |
|
= . |
|
|
|
|
|
21 cos √2 − √22 sin √2 . |
|
|||||||||||||
|
|
= 21 |
− − |
|
||||||||||||||||||
143
Содержание
Глава I. Дифференциальные уравнения первого порядка ..…………………………………………………… 3
§1. Общие понятия и определения ....…..………………… 3 §2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися
переменными /.…………………………...…………..... 8 Задачи .……………………………………………..... 14
§3. Однородные дифференциальные уравнения ..…….. 16
Задачи ...…………………………………….……….. 20
§4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли …………...………… 21
Задачи ………………………………………..……... 30 §5. Уравнения в полныхдифференциалах ……………. 32
Задачи ………………………………………………. 38 §6. Дифференциальные уравнения, не разрешенные
относительно производной ……………...………… 39
Задачи …………………………………………..……. 47
Глава II. Дифференциальные уравнения высших порядков …………………………………… 49
§7. Общие понятия и определения ……………………... 49 §8. Некоторые типы уравнений высших порядков,
допускающих понижение порядка …………..…….. 52
Задачи ………………………………………………… 60
§9. Общие понятия, определения и свойства линейных дифференциальных уравнений ……………….…….. 63
§10. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами ………..…………... 68
Задачи ..…….………………………………………… 80
144
Глава III. Операционное исчисление …………..…… 83
§11. Оригинал и его изображение. Изображение некоторых элементарных функций ……………..… 83
§12. Основные свойства изображений …..………..……. 88 Таблица основных свойств изображений ………... 88 Таблица изображений некоторых оригиналов ..…. 95 Задание для самостоятельного решения .……..…. 100 §13. Нахождение оригинала по его изображению ……. 100 Задание для самостоятельного решения ..……..… 102
§14. Применение преобразования Лапласа к решению дифференциальных и интегральных уравнений .. 103 Задание для самостоятельного решения ……....… 116
§15. Формулы Дюамеля ……………………….…….… 117
Задание для самостоятельного решения ………... 126 §16. Изображение интеграла. Теорема запаздывания ... 127 Задание для самостоятельного решения …...……... 137
Задачи ………………..……………………..…...….. 140 Ответы ………………………………………….…… 143 Содержание ………………………………….…….. 144
145
Св. план 2018 г., поз. 55
Ряднов Александр Васильевич Меренкова Татьяна Викторовна Трубаев Владимир Васильевич
Дифференциальные уравнения
Учебное пособие
Тираж 100 экз.
___________________________________________________
Москва, издательский центр Onebook
146