Дифференциальные уравнения. Учебное пособие-2

6.

y′′+ 4y = xsin 2x.

(y = C

cos 2x +C

2

sin 2x

−

x2

cos 2x +

x

sin 2x)

1

8

16

7. y′′−3y′+ 2y = xex .

(y = C e

x

+C

e

2x

−(

x2

+ x)e

x

)

1

2

2

8. y(IV ) + y′′ = x2 + x.

(y = C +C

2

x +C

3

cos x +C

4

sin x +

x4

+

x3

− x2 )

1

12

6

y′′+ y = sin x −2e−x .

9.

(y = C

cos x +C

2

sin x − 1 x cos x −e−x )

1

2

10.

y′′− y′− 2y = 4x − 2ex .

(y = C e−x

+C

2

e2x − 2x +1

+ ex )

1

11.

y′′− 2y′+ y = 2 + ex sin x.

(y = C ex

+C

2

xex + 2 −ex sin x)

1

12.

y′′+ 2y′+ 2y = (5x + 4)ex + e−x

(y = C e−x

cos x +C

e−x sin x + xex + e−x )

1

2

y′(0) = −2.

13.

y′′+ y = 2(1− x); y(0) = 2,

17. y

′′

+ y

′

= e

−x

;

y(0) =1,

′

y (0) = −1.

(y =1− xe−x )

18.

y′′+ y = tg 2 x.

(y = C

sin x +C

2

cos x − 2 + (sin x)ln tg(

x

+ π ))

1

2

4

1

19.

y′′− y′ =

.

1+ ex

(y =C +C

ex − x − xex +(1+ex )ln(1+ex )

1

2

1

20.

y′′+ 4y =

cos 2x

x

(y = C cos 2x

+C

sin 2x + 1 (cos 2x) ln cos 2x +

sin 2x)

2

1

4

2

21.

y′′− y′ = e2x cos ex .

(y = C +C

2

ex

−cosex )

1

22.

y′+ y =

1

.

sin x

(y =C1 cos x +C2 sin x − xcos x +(sin x)ln

sin x

)

23.

y′′+ y

=

1

.

cos3 x

cos 2x

(y = C

cos x +C

2

sin x −

)

1

2cos x

1.

При t <0

f(t)=0.

2.

При t≥0

функция f(t) на любом конечном

промежутке оси t имеет не более чем конечное число

точек разрыва первого рода.

3.

Существуют такие положительные числа M и α, что

при всех t≥0.

| ( )| ≤ .

Если функция f(t) удовлетворяет условиям 2 и 3, но не

удовлетворяет 1, то для функции q(t)= f(t) χ(t), где

χ( ) = 0,

при < 0

так называемая функция Хевисайда1, при , условие≥ 0

1 выполняется,

и, следовательно, эта функция, совпадая при t≥0 с

функцией f(t), является оригиналом. Условимся в

дальнейшем опускать множитель χ (t) в записи функций,

считая эти функции равными нулю при t <0.

−

Изображением (преобразованием Лапласа или

изображением) функции-оригинала f(t)называется

функция F(p) переменного p, определяемая интегралом

Лапласа:

∞

( ) =

− ( ) .

( )

0

в ней

Функция

определена в области p>α и является

однозначной аналитической функцией. Тот факт, что

является изображением функции f(t), будем обозначать

существует ли функция

,

( )

следующим образом:

f(t)→

.

( )

изображением?

И если ( )

( )

Пусть дана функция

( )

. Возникает вопрос:

для которой

является

существует, единственна ли она?

Ответ на это вопрос дает:

( ) = ( )

( )

то эти

( )

( )

Теорема единственности.

Если две непрерывные

функции

и

имеют одно и тоже изображение

,

функции тождественно равны:

.

Пример 1.

Найти изображение функции Хевисайда

Решение. Имеем

+∞

= −1

+∞

( ) = {χ( )} =

−

∙

∙ −|0 =

= −

1

( lim

−

0

1

.

− 1) =

→+∞

1 → 1

Итак

(1)

Интегрируя по частям, получим= .:

Тогда

F(p)= ∫0

−

∙ ∙

Пример 2.

Пусть

( )

( ) = − ∙

+∞∙

+∞

−|0+∞

+

+∞

1

+

∙ = − 2

∙

= (так как > 0) = 2 .

0

−

−|0

1

1

12

1

Итак

→

(2)

{sin } = ∫0

∙ − =

+∞

1

= −(− − ) |0+∞

=(интегрируя по частям дважды, получим)=

2+1

→ 21+1

= 2+1

Значит sin

(5)

Аналогично получается, что

cos →

2

( ) =

(6)

Пример 4.

+1

√1 .

Найти изображение функции

Решение. Имеем

( )

+∞

1

=

= 2;

=

− ∙

∙ =

= 2

∙ 0

√

2

пределыинтегрирования

=

;

остаютсяпрежними

=

+∞

−

2 0

2

∙ √

∙

∙ = √2 0

−

2

∙

=

=

∫

∫

= √2 ∙ √2 = ⁄

+∞

.

Итак

√1 → √1

√1 →

⁄

или

2.

Теорема подобия Если f(t)→ ( ),

> , то

( ) → 1 ,

> 0, > .

3. Теорема запаздывания Пусть f(t)→ ( ),

> и

( )

0, < , > 0,

= ( − ), ≥ .

Тогда

( ) → − ( ),

> ,

> 0

>

f(t)→

,

, то

′

4.

Изображение производных Если

удовлетворяет

( )

>

при

и

условиям существования изображения

( )

′( ) → ( ) − (0 +), > .

( ), > .

Тогда

Пусть f(t)

5.

Интегрирование оригинала

→

( ) → 1

( ),

> .

0

→ 1( ), >

6. Изображение свёртки Если 1( )

1, 2

( )

→,

2( ),

> 2

тогда

) → 1( ) 2( ),

> max( 1, 2)

1( ) 2( −

0

> 7.. Тогда

( )

,

Дифференцирование изображения Пусть f(t) →

( ) →

−′( ),

> ,

>

( )

∞

( )

( ),

8. Если функция

удовлетворяет условиям

существования изображения

и

→

> .

, то

( )

→ ( ) ,

( )

( ),

>

,

то для любого числа λ:

9. Смещения изображения Если

→

λ ( ) → ( −

λ),

> + λ.

Примененим эти свойства к нахождению изображений

простейших функций.

: + 2

−

изображение данной функции2

, найдем

Пример 1.

Зная, что ch at=1

1

ch at→ 21 ∙ −1 + 21 ∙ +1

= 21 ∙ 22− 2 = 2− 2

(1)

Рассуждая аналогично, получим

sh at →

2− 2

(2)