Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Дифференциальные уравнения. Учебное пособие-2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1511 12 13 14 15 > Следующая >>>

( ) = 0 + 1 1!

+ 2 2!

Причем, последний ряд сходится при всех .

Пример 1.

Найти изображение функции

( ) = 2+2 +10.

( ) =

+ 2

Решение. Представим данное изображение в виде

+ 2 + 10

( + 1)

+ 9

( + 1) + 9

то искомый

cos 3 → (+1)

+9 ,

sin 3

→ ( +1)

Поскольку

−

( ) =

cos 3 + 3 sin 3 .

−

оригинал

( − 1)( 2

+ 1) +

Пример 2.

Найти оригинал функции

( ) = ( 2

− 1)( 2

− 2 + 2)

Решение. Запишем ( ) в виде:

( ) =

( − 1)2 + +

( 2

− 1)

(

− 1)[( − 1)

+ 1]

− 1

( − 1)

+ 1

Отсюда ( )

= ch + sin .

101

Решение.									+ 1
Решение.			( ) = ( − 1)( −								2)( − 3).
Пример 3. Найти оригинал функции
( )	=			1													1
( )	=		( − 1)( − 2)( − 3) + ( − 1)( − 2)( − 3).
		Имеем:
Представим ( ) в виде суммы простых дробей:
			( )
			( )	=	+	−	1	+		− 2			+	− 3				.
,		, следовательно,							3				= −6						= 1		=
−23 = 32				1	1				3						2		1,		1	,
Несложными подсчетами находим, что																	1,			,
Теперь	( ) = −6 + − 1 − 2( − 2) + 3 ∙ − 3.
	легко записать оригинал:								2			+ 3					.
			( ) = −6 +					−	2		2	+ 3				3	.
					1				3		2		2			3
		Задание для самостоятельного решения
Найти оригиналы функций по их изображениям:																						;
а) ( )		= 31−8 ;							г)			( )			= ( 2+11)( 2+4)							;

102

в)	( ) = (−1)3(+2)2 ;	е)	( ) = ( −1)( 2−4).;
б)		д)	1
	( ) = ( −1)( −2)( −3) ;		( ) = ( 2−4 +3)
	+1		+1

§14. Применение преобразования Лапласа к решению дифференциальных и интегральных уравнений

Операционное исчисление можно рассматривать как метод интегрирования некоторых линейных дифференциальных уравнений и их систем. Суть его состоит в том, что сначала отыскивается не сама искомая функция, являющаяся его решением, а ее изображение. Преобразование Лапласа дает возможность получить алгебраическое уравнение относительно изображения. При помощи методов операционного исчисления по найденному изображению находится оригинал изображения, т.е. решение дифференциального уравнения. Это обстоятельство способствует успешному применению преобразования Лапласа к решению разнообразных задач физики и техники.

где

( )

+ 1

( −1)

+ −1

′

+ = ( ),

Если правая часть дифференциального уравнения

(0) =

его 1

– постоянные числа, является оригиналом, то

(0) = ′0, … ,

(−1)

(0) = 0

′

−1

решение, удовлетворяющее начальным условиям

также представляетсобой оригинал.

103

Поскольку

( )

Обозначим через X(p) изображение указанного

то, взяв

( )

( ) →

( ) −

−1

0 − − 0

− 0

−2

−1

решения, а через F(p) –

изображение функции

преобразование Лапласа от левой и правой частей

дифференциального уравнения, в пространстве

изображений получаем уравнение относительно

неизвестного изображения X(p):

−

( + 1

−1 + + −1 + ) ( )

−(

+ 1

−( −1

+ 1 −2 + + −1) 0

−

= ( )

−2

−3

+ + −2)

− − 0

− 0

′

−2

−1

Определив из этого уравнения X(p), находим соответствующий ему оригинал – решение исходного дифференциального уравнения.

Тот же метод перехода к изображающему уравнению позволяет легко найти решение интегральных уравнений вида

		( − ) ( ) = ( )
или	( ) = ( ) +		( − ) ( ) ,
	0

в которых функции ( ) и ( 0) являются оригиналами.

Методику интегрирования дифференциальных уравнений и систем рассмотрим на следующих примерах.

104

Пример 1. Найти изображение выражения

′′′( ) − 2 ′′( ) + 3 ′( ) − ( ), если известно, что ′(0) = (0) = 0, ′′(0) = 1 и ( ) → ( ).

Решение. По теореме дифференцирования оригинала имеем′(: ) → ( ) − (0), ′′( ) → 2 ( ) − (0) − ′(0),′′′( ) → 3 ( ) − (0) 2 − ′(0) − ′′(0)

Поэтому в данном случае получаем							( ) −	1 − 2		( ) +
+3		( ) − 2	′′	( ) + 3	( ) − ( ) →	3	( ) −	1 − 2	2	( ) +
′′′			′′	′		3			2
	( ) −		( ) = 3 − 2 2 + 3 ) ( ) − 1
				(

Пример 2. Найти изображение интегро-дифференциального

выражения

′( ) + 2 ( ) − 0 ( − ) sin , если известно, что (0) = 1 и ( ) → ( ). Решение. Так как ′( ) → ( ) − 1, а

	( − ) sin → ( ) ∙		2	1	,
0				+ 1

то

105

′( ) + 2 ( ) − ( − ) sin

→ ( ) −1 + 2 ( ) −

−( ) ∙ 21+1

= 0+ 2 − 21+1 ( )

− 1.

заданных начальных условиях

−

− 6 = 2 .

Пример 3. Решить уравнение

(0)

= 1, ′(0) = 0

′′

′

при

Решение. Используя теорему единственности

Перейдем к

{

′′

−

′

−

6 }

= {2},

изображения:

Пусть ( ) → ( ). Тогда получаем

изображению уравнения

2 ∙ ( ) − ∙1 − 0 − ( ∙ ( )

− 1) − 6 ( ) = 2

( ) ∙ ( 2 − − 6) =

+ − 1 =

2 + 2 −

− + 2

−

+ 2

( ) = ( 2

− − 6)

= ( − 3)( + 2)

Чтобы найти оригинал по заданному изображению,

разложим дробь на простейшие.

− + 2

( − 3)( + 2)

− 3 +

+ 2

− + 2 = ( −3)( + 2) +

+ ( + 2)

∙

( − 3)

106

= 0

2 = −6

= −1/3

= 3

= 8/15

= −2

8 = 15

8 = 10

−1/3

= 4/5

4/5

( )

8/15

−

+ 2

( ) = −3

∙

+ 5

∙

−2

удовлетворяющее

′′

′

− 2 =

, (0) = 0, ′(0) = 1.

−

Пример 4. Найти решение дифференциального уравнения

начальным условиям:

( )

получаем уравнение: ( ) → ( ).

Для

определения

Решение.

Пусть

[ 2 ( ) − (0) − ′(0)] +

[ ( )

− (0)] − 2 ( ) =

Таким(

− 2) ( ) =

+ 1.

( ) =

−1

образом,

( ) =

− − )

= sh

21 (

1 +

Или

Отсюда находим:

Пример 5 ′′ + = cos 2 ,

. Найти решение дифференциального уравнения удовлетворяющее условиям: (0) = 0, ′(0) = 0.

Решение. Пусть ( ) → ( ). Для определения ( )

получаем уравнение:

107

	(	2	+ 1) ( )				=	2	1			−	(	2	8			2	,
из которого	(		+ 1) ( )				=		+ 4			−	(		+ 4)				,
			5		2	1	5	∙		2	1			8		(	2		1	2	.
Запишем ( ) = −9 ∙						+ 1	+ 9	∙			+ 4 + 3 ∙					(			+ 4)		.
	находим:
	5					5				1		1						cos 2 .
( ) = −9 sin				+ 18 sin 2					+ 3			2 sin 2 −						cos 2 .
искомое решение:

Применение преобразования Лапласа оказывается особенно эффективным при решении систем линейных дифференциальных уравнений, причем оно ничем не отличается от приведенного решения. В случае системы дифференциальных уравнений, каждое из них заменяется его изображением, и полученная система алгебраических уравнений относительно p решается обычным способом. От найденных таким образом изображений искомых функций переходят к оригиналам. Рассмотрите примеры.

Пример 6 ′ + 2 + 2 = 10 ∙ 2

. Решить систему дифференциальных уравнений

′ − 2 + = 7 ∙ 2

при заданных начальных условиях: x(0)=1, y(0)=3,

где x=x(t), y=y(t).

Решение. Применим преобразование Лапласа к каждому уравнению системы и учтем заданные начальные условия. Пусть

108

( ) → ( )

( ) и ( )

. Для определения

получаем уравнение:

( ) − 1 + 2 ( ) + 2 ( ) = − 2

( ) −3 −

2 ( ) + ( )

= − 2

( + 2)

∙ ( ) + 2 ( ) =

+ 8

− 2

+ 1 = −2

−2 ∙ ( )

+ ( + 1)

3 + 8

∙ ( ) = − 2 + 3 =

−

Решим систему относительно ( ) и ( ):

+ 2

+ 3 + 2 + 4 ==

+ 3

+ 6

∆= −2

+ 1 =

+ 8

( + 8)( + 1) − 6 − 2

∆ =

− 2

3 + 1

+ 1

− 2

2 + 9 + 8 − 6 − 2

+ 3 + 6

− 2

+ 2

+ 8

( + 2)(3 + 1) + 2 + 16

∆ =

− 2

−2

3 + 1

− 2

109

			=	3 2 + 7 + 2 + 2 + 16														=		3 2			+ 9 + 18
	(	)	=				1			− 2					2			=			)		− 2		3
	(	)	∆			.	1					(	)	=	2	.			(		)		∆		3
			=	∆	=		−2		,					=		.						= ∆ =			−2	,
									,																	,
( ) = 3 2
Пример 7. Решить систему уравнений:
									= 2 + , = 3 + 4 .
соответствующая											( ) → ( ),						( )				→		( ),	тогда
	Решение.				Пусть																			тогда
или ( ) − 0								система в изображении будет:
или ( ) − 0					= 2 ( ) + ( ),											( )					−		0 = 3 ( ) + 4 ( )
									( − 2) ( ) − ( ) = 0,
							−3 ( ) + ( −										4) ( ) = 0.

Решив эту систему, находим:

− 0

( ) =

0( − 4) + 0

3 0

− 6 + 5

∙ − 1

( ) =

3 0 + ( − 2) 0

2 − 6 + 5

0 − 3 0

∙

( 0

+ 0)

− 1 + 4

0 ∙ −1 5, ∙ −1 5.

110

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1511 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]