Дифференциальные уравнения. Учебное пособие-2

5. (4x −3y) + (2y −3x)y′ = 0 (y2 −3xy + 2x2 = C)

6.(x + y)y′+ y = x (y2 + 2xy − x2 = C)

7.(y2 − xy + x2 )dx − x2 dy = 0

((x − y) ln Cx = x)

10.(3x −7 y −3) y′+ (7x −3y −7) = 0 ((y − x −1)2 (y + x −1)5 = C)

11.(x + y − 2) y′ =1− 2(x + y)

(2x + y −3ln x + y +1 = C)

§4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка

называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и её производной. Оно имеет вид

21

где P(x),Q(x) - заданные функции от x, непрерывные в той

области, в которой требуется проинтегрировать уравнение. Если Q(x) ≡ 0 , то уравнение (1) называется однородным.

Оно является уравнением с разделяющимися переменными

и имеет общее решение в виде y(x) = Ce−∫P( x)dx (2) Уравнение вида

называется уравнением Бернулли.

При α = 0 уравнение (3) является линейным дифференциальным уравнением (1).

Заметим, что при α > 0 y = 0 является решением уравнения

Бернулли. Оно может потеряться при указанном ниже способе нахождения общего решения уравнения (3). Решение уравнения Бернулли (3) ищем в виде y = u(x) v(x) .

Имеем:

dudx v +u dvdx + P(x)uv = Q(x)(uv)α

Выберем в качестве v(x) одно из ненулевых решений

Перемножая u(x) на v(x) , получим общее решение уравнения Бернулли.

Уравнение

y' + a(x)y2 + b(x)y + c(x) = 0 (6)

22

уравнение разделяющимися переменными и его частное

решение найдем по формуле (4). v(x) = e∫2x dx = e2 ln x = x2 Подставим v(x) в уравнение, получаем: u′x2 = 2x3 , т.е. u(x) = ∫2xdx = x2 +C . Следовательно, все решения

исходного уравнения определяются формулой y = uv = (x2 +C)x2 = x4 +Cx2

Пример 2. Решить уравнение

(1+ x2 )y′− 2xy = 4 y(1+ x2 )arctgx

Решение. Данное уравнение является уравнением Бернулли. Его решение найдем в виде y = u(x) v(x) .

u′v +uv′− x22+x 1uv = 1+y x2 uvarctgx

Примем за v какое либо решение уравнения v′−1+2xx2 v = 0 ,

например,

v = e∫1+2xx2 dx = eln(x2 +2) = x2 +1 (см.(4))

Тогда после подстановки v(x) получаем уравнение

24

Одно из решений этого уравнения есть u = 0 или y = 0 (это решение надо было сразу выделить, поскольку α = 12 > 0 , см. замечание выше). Остальные решения найдем, разделяя

Решениями исходного уравнения будут: y = 0 и y = (1+ x2 )(arctg2 x +C)2

Пример 3. Решить уравнение

y' + ay(y-x) = 1.

Решение. Имеем y' – axy + ay2 =1. Данное уравнение является уравнением Риккати. Нетрудно заметить, что y = x является решением этого уравнения. Поэтому замена

y = x + z приводит его к уравнению Бернулли: z' + a(x + z)z = 0, z' + axz = -az2.

Положив z = uv, имеем

u'v + uv' + axuv = -au2v2

Возьмем в качестве v(x) одно из решений уравнения v'+ axv = 0,

Например,

25

−ax2 v = e−∫axdx = e 2 ,

Тогда u(x) определим из уравнения

и y = x.

Замечание. Может оказаться, что дифференциальное уравнение линейно относительно x как функция от y. Нормальный вид такого уравнения

26

dydx + P(y)x = Q(y).

Пример 4. Решить уравнение

Решение. Данное уравнение является линейным, если рассматривать x как функцию от y . Получаем (используя

формулу для производной обратной функции x′y = 1/ y′x ): dydx = x cos y +sin 2y ,

dydx −cos y = sin 2y .

Положив x = u(y)v(y), имеем:

u′v +uv′−uv cos y = sin 2y .

Возьмем в качестве v(y) одно из ненулевых решений уравнения v′−v cos y = 0 , например (см. (4))

v(y) = e∫cos ydy = esin y .

Тогда уравнение для u( y)

27

u′esin y = sin 2y ,

или

u′ = e−sin y sin 2y .

Отсюда, интегрируя по частям, будем иметь

u( y) = ∫e−sin y sin 2ydy = 2∫e−sin y cos y sin ydy =

= 2∫e−sin y cos y sin ydy =

= 2∫sin yd(−e−sin y ) = 2(−sin ye−sin y + ∫e−sin y cos ydy = = 2(−sin ye−sin y + ∫e−sin y d(sin y) =

= 2(−sin ye−sin y −e−sin y ) +c .

Итак, общее решение уравнения будет иметь вид:

x( y) = u( y)v( y) = u( y)esin y = cesin y − 2(1+sin y).

Пример 5. Решить задачу Коши:

x(x −1)y′+ y = x2 (2x −1)y(2)= 4

Решение. Деля на x(x −1) ищем общее решение уравнения

Подставляя выражения для y и y′

28

Подставляя v(x) в (2*), после упрощения получаем уравнение u′ = 2x −1, из которого находим функцию u(x) ;

u(x) = ∫(2x −1)dx = x2 − x +C

Следовательно, общее решение уравнения (1*) будет y = uv = (x2 − x +C) x x−1 = x2 + xCx−1

Используя начальное условие: y(2) = 4 , получаем для нахождения С уравнение 4 = C 2 2−1 + 22 , откуда

С = 0. Итак, решением поставленной задачи Коши будет y = x2

29

Задачи

1.y′−2xy =3x2 −2x4 . (y = x3 +cex2 )

2.y′+ y cos x = e−sin x . (y = (x +c)e−sin x )

3.y′+ ytgx = cos1 x . ( y = sin x + C cos x)

4. 2y′− y = − 4yx . (y2 = 4(1+ x + Cex ))

6.y′sin 2x = 2(y + cos x). (y = ctgx − cos1 x)

7.y′ = 2y sin2 x +cos x.

9.y′+ 2y = ex y2. (y(ex +Ce2x ) =1)

10.y′x3 sin y +2y = xy′. (y = (C −cos y)x2 , y = 0)

11. y′+ y2 = x22 . Указание: частное решение искать

30