Теория экономического анализа. Учебное пособие

6.В чем отличие стохастической модели от детерминированной?

7.Дайте характеристику моделям при функциональной (детерминированной) связи.

8.Как рассчитать влияние факторов при помощи метода изолированного влияния факторов? (на примере)

9.Охарактеризуйте применение индексного метода при проведении факторного анализа. В чем его особенность? (на примере)

10.Что надо учитывать при изучении влияния факторов методом цепных подстановок? (на примере)

11.Почему метод абсолютных разниц является упрощенным методом цепных подстановок? Объясните на примере.

12.На каких методах факторного анализа построен метод относительных разниц? Покажите его применение на примере.

13.Дайте характеристику применения интегрального метода. (на примере)

14.Расскажите (на примере) о применении метода пропорционального деления и долевого участия.

15.Дайте характеристику применения логарифмического метода (на примере).

71

ТЕМА 7. МЕТОД КОРРЕЛЯЦИОННОГО АНАЛИЗА

План

1.Функциональные и корреляционные связи. Теория корреляции и ее основные задачи.

2.Виды корреляционной зависимости.

3.Графическое изображение корреляционной зависимости.

4.Показатели направления зависимости: эмпирическая линия регрессии (для сгруппированных данных), теоретическая линия регрессии.

5.Показатели тесноты связи: коэффициент корреляции, эмпирическое корреляционное отношение (для сгруппированных данных), теоретическоекорреляционноеотношение(длясгруппированных и несгруппированных данных).

6.Простейшие показатели тесноты связи (коэффициент Фехнера, коэффициент корреляции рангов, коэффициент ассоциации).

7.Методы оценки существенности расчета коэффициента корреляции:

а) при большом объеме выборки; б) при малой выборке.

8.Проверка возможности использования прямолинейной функции – гипотезы Кендэла – о линейной корреляционной зависимости.

1.ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ И КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ СВЯЗИ. ТЕОРИЯ КОРРЕЛЯЦИИ И ЕЕ ОСНОВНЫЕ

ЗАДАЧИ

Одним из методов определения стохастической связи явля-

ется метод корреляционного анализа. Слово correlation в пе-

реводе с английского языка означает взаимосвязь, соотноше-

ние, соответствие.

Изучение зависимости вариации признака от окружающих условий и составляет содержание теории корреляции1.

1 Основоположниками теории корреляции являются английские ученые Ф. Гальтон (1822–1911) и К. Пирсон (1857–1936). Слово «корреляция» было заимствовано из естествознания и в математической статистике обозначает взаимозависимости между случайными переменными величинами. – Авт.

72

В предыдущей 6-ой главе подробно рассматриваются детерминированные – функциональные – связи. Однако чаще в экономических исследованиях встречаются вероятностные – стохастические – зависимости, которые являются неточными, нестрогими. Корреляционная связь является частным случаем стохастической связи как неполная, нежесткая связь.

Итак, связи между изучаемыми явлениями бывают функ-

циональными (детерминированными) и стохастическими (корреляционными).

Функциональные связи – это зависимости, при которых изменению каждого признака-фактора “x” соответствует изменение определенного признака-результата “y”. Длина окружности четко зависит от длины радиуса.

Корреляционные связи – это зависимости, при которых изменению каждого признака-фактора “x” соответствует изменение ряда распределения признака-результата “y”.

Если при функциональной зависимости каждому значению факторного признака соответствует только одно значение результативного признака, то корреляционная зависимость появляется при большом числе наблюдений. При корреляционной связи устанавливается лишь тенденция изменения результа-

тивного признака при изменении факторного признака, т.е. результативный признак показывает, как в среднем он изменяется в зависимости от изменения признака фактора.

Задачи корреляционного анализа

Основными задачами корреляции являются:

1)определениенаправлениязависимостимеждупризнаком-

фактором и признаком-результатом;

2)определение тесноты связи.

Перваязадачакорреляциирешаетсяприпомощирасчетаэмпирической линии регрессии (рассчитывается только для сгруп-

пированных данных), теоретической линии регрессии (раз-

личные математические функции в зависимости от исходных данных).

Вторая задача корреляции – определение тесноты связи при помощиr – коэффициентакорреляции(применяетсятолькопри

73

прямолинейной зависимости), ρ – эмпирического корреляционного отношения для сгруппированных данных), η – теоретического корреляционного отношения.

2. ВИДЫ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ЗАВИСИМОСТИ

Корреляционная связь классифицируется так же, как и функциональная (см. тему 6), по направлению зависимости и по аналитическому выражению.

По направлению связи могут быть прямыми и обратными.

Примером прямой связи может быть зависимость объема выпуска продукции от производительности труда. С ростом выработки растет выпуск продукции. А примером обратной связи является зависимость объема выпуска продукции от трудоемкости. Чем ниже трудоемкость, тем выше объем выпускаемой продукции.

По аналитическому выражению связи бывают прямоли-

нейными и криволинейными (см. более подробно тему 6).

Покажем на графике виды этих связей.

График 1. Связь прямая, прямолинейная

y

x

График 2. Связь обратная, прямолинейная

y

x

74

График 3. Связь прямая, криволинейная y

x

График 4. Связь обратная, криволинейная

y

x

3. ГРАФИЧЕСКОЕИЗОБРАЖЕНИЕ КОРРЕЛЯЦИОННОЙЗАВИСИМОСТИ

В зависимости от исходных данных корреляция изображается по-разному. Для несгруппированных данных на поле координат наносятся общие точки. Точки не соединяются. Для сгруппированных данных на поле координат строится корреляционное поле.

Несгруппированными данными называются такие, когда каждому признаку-результату “y” ставится в соответствие признак-фактор “x”.

Сгруппированными данными называются такие, когда каждому значению признака-результата “y” ставится в соответствие ряд распределения значений признака-фактора “х”.

Пример. Имеются 50 предприятий, которые сгруппированы по товарной продукции (тыс. руб.) и по производительноститруда(руб./чел.). Запризнак-результат“y” принятатоварная продукция, за признак-фактор “x” – производительность труда.

Товарная продукция “y” сгруппирована по пяти группам: 5–15, 15–25, 25–35, 35–45, свыше 45.

Производительностьтруда“x” сгруппированапо4-мгруп-

пам: до 7,5, 7,5–12,5, 12,5–17,5, свыше 17,5.

75

Изобразим графически связь между “x” и “y” в виде корреляционного поля. Точки, изображенные на поле корреляции, обозначают общие предприятия, имеющие ту или иную выработку и объем товарной продукции.

Рассмотрим фрагментарно несколько предприятий.

Поле корреляции не дает картины направления зависимости. Оно показывает, где точки сконцентрировались.

На основании корреляционного поля составим корреляционную таблицу (см. табл. 14).

76

77

Для удобства расчета всех показателей выпишем из корреляционной таблицы необходимые расчетные показатели.

n mx my 50

xymx 21150

4.ПОКАЗАТЕЛИ НАПРАВЛЕНИЯ ЗАВИСИМОСТИ: ЭМПИРИЧЕСКАЯ ЛИНИЯ РЕГРЕССИИ (ДЛЯ СГРУППИРОВАННЫХ ДАННЫХ),

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЛИНИЯ РЕГРЕССИИ

Эмпирическая линия регрессии показывает, как в сред-

нем изменяется признак-результат “y” в зависимости от изменения признака-фактора “x” при условии неизменности всех остальных факторов. Эмпирическая линия регрессии применяется только для сгруппированных данных, она равна:

y¦ymx .

i¦mx

Вторым показателем направления зависимости является

теоретическая линия регрессии, которая показывает, как в среднем изменяется признак-результат “y” в зависимости от изменения признака-фактора “x” при полном исключении всех остальных факторов.

Теоретическая линия регрессии строится по результатам математических функций в зависимости от исходных данных1.

Теоретическая линия регрессии по прямой равна:

yx a bx,

где а – параметр, который показывает высоту графика и экономического смысла не имеет;

1 Более подробно см. : Ильина, Г.Г. Статистические приемы и методы в маркетинге : учеб. пос. – М. : РосНОУ, 2004. – С. 105–106.

78

b – коэффициент регрессии, который показывает, на сколько в среднем изменится признак-результат “y” при увеличении признака-фактора “x” на единицу измерения (то есть, параметр b изучает направление признака-результата).

Для определения параметров (а и b) необходимо решить систему нормальных уравнений.

Для несгруппированных данных:

y an b x

xy a x b x2.

Для сгруппированных данных:

ym an b xm

y x

xymx a xmx b x2 mx .

Показатели направления зависимости для сгруппированных данных

Рассчитаемэтипоказателидлясгруппированныхданныхпо данным корреляционной таблицы.

Значения эмпирической линии регрессии следующие:

Нанесем эти значения на графики – на поле корреляции. Находим параметры (а и b) при помощи системы нормаль-

ных уравнений:

1570 a 50 b 62521150 a 625 b 9125.

Получаем значение параметров: a = 16,875; b = 1,162.

79

Коэффициент регрессии b показывает, что с увеличением производительности на 1 руб./чел. товарная продукция вырастает на 1,162 тыс. руб.

Теоретическая линия регрессии равна: yx 16,875 1,162ɯ.

Значения теоретической линии регрессии такие:

Нанесем на рисунок теоретическую линию регрессии.

Показатели направления зависимости для несгруппированных данных

Рассчитаем показатель направления зависимости – теоретическую линию регрессии для несгруппированных данных. Для этого на основании таблицы 15 определим направление зависимости среднесуточного производства продукции “y” (тыс. руб.) от “x” простоев (в % к календарному времени работы).

Получаем значение параметров: a = 10,32;

b = –0,21689.

Коэффициент регрессии показывает, что с ростом простоев на 1% к календарному времени работы среднесуточное производство продукции снизилось на 0,21689 тыс. шт., или на

216,89 шт.

Теоретическая линия регрессии равна: yx 10,32 ( 0, 21689) ɯ.

80