Теория экономического анализа. Учебное пособие

на генеральную совокупность. Критерии оценки существенности расчета коэффициента корреляции основаны на условии нормального распределения значений признака в генеральной совокупности. Рассмотрим некоторые из них: при большом объ-

еме выборки и при малом объеме выборки.

7.1. При большом объеме выборки

При большой выборке, отобранной из генеральной совокупности нормального распределения, предполагается считать распределение коэффициента корреляции близко к нормально-

где r – коэффициент корреляции выборочной совокупности; n – объем выборки;

k = n – 2 – число степеней свободы при линейной зависи-

Свероятностью 0,95 и числом степеней свободы k = 50 –

–2 = 48, tα(табл) = 1,962.

1tα – табличные значения t – критерия Стьюдента.

α– уровень значимости.

2По таблице значения α – процентных пределов tα,k в зависимости от k степеней свободы и заданного уровня занятости α для распределения Стьюдента, см. Прил. 1.

91

Поскольку tрасчет. > tα(таблица), следует, что с вероятностью Р = = 0,95 и числом степеней свободы k = 48 можно утверждать о

существенности выборочного коэффициента корреляции, т.е. связь между x и y – значимая.

Для генеральной совокупности коэффициент корреляции будет находиться в пределах:

или

46,6% ≤ rген. ≤ 80,4%.

С вероятностью 0,95 можно утверждать, что коэффициент корреляции будет не ниже 46,6% и не выше 80,4%.

7.2. При малом объеме выборки

Для малого объема выборочной совокупности t ɪɚɫɱɟɬ.

r n 2

1 r 2 для оценки значимости коэффициента корреляции.

Если tрасчет. > tα(табл.), то расчетный коэффициент корреляции существенен и связь между x и y вполне реальна. Если

tрасчет. < tα(табл.), то связь между x и y несущественна и корреляционная связь в генеральной совокупности отсутствует.

вероятностью 0,95 и числом степеней свободы k = 10 – 2 = 8,

tα(табл) = 2,3061.

Значит, связь между x (простоями) и y (выпуском продукции) существенна, так как tрасчет. > tα(табл.).

1 См. Прил. 1.

92

8. ПРОВЕРКА ВОЗМОЖНОСТИ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ПРЯМОЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ – ГИПОТЕЗЫ КЕНДЭЛА1 О ЛИНЕЙНОЙ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ЗАВИСИМОСТИ

Для проведения гипотезы Кендэла о линейной зависимости определяется величина вероятности, которая рассчитывается

где n – объем совокупности;

m – число групп по признаку-фактору x.

Если критерий Fрасч., найденный с определенной вероятностью и критериями свободы (k1 = m – 2 и k2 = n – m), будет меньше F расчетного, то гипотеза о линейной связи между х и у отвергается. Если наоборот, то возможность использовать линейную функцию не опровергается.

По данным таблицы 14, рассчитаем этот критерий.

Критерийсвободыk1 = m – 2 = 4 – 2 = 2, аk2 = n – m = 50 – 4 = 46.

С вероятностью P = 0,95, k1 = 2 и k2 = 46 табличное значение

Fтабл.-критерия3 = 3,2. Расчетный критерий равен:

отклонить гипотезу о линейной связи между производительностью труда – x и товарной продукцией – y.

Литература

1. Гусаров, В.М., Проява, С.М. Статистика : учебное пособие для студентов вузов, занимающихся по экономическим специальностям. – 2-е изд., перераб. и доп. – М. : ЮНИТИ-ДАНА, 2008. – 207 с.

1Доказательства этого свойства приведены в книге: Эдни, Дж., Кендэл, М.Дж. Теория статистики. – М. : Госстатиздат, 1960. – 300 с.

2Применяется эта формула только для сгруппированных данных.

3См. Прил. 5.

93

2.Елисеева, И.И., Егорова, И.И., Курышева, С.В. и др. Статистика : учебник / под ред. И.И. Елисеевой. – М. : Проспект, 2009. – 448 с.; М. : Высшее образование, 2009. – 590 с.

3.Ефимова, М.Р., Петрова, Е.В., Румянцов, В.Н. Общая теория статистики : учебник. – 2-е изд., испр. и доп. – М. : ИНФРА-М, 2007. – 417 с. (Высшее образование).

4.Ефимова, М.Р. Практикум по общей теории статистики. – 3-е изд., перераб. и доп. – М. : Финансы и статистика, 2008. – 368 с.

5.Ильина, Г.Г. Статистические приемы и методы в маркетинге : учеб. пос. – М. : РосНОУ, 2004. – 128 с.

6.Савицкая, Г.В. Анализ хозяйственной деятельности предприятия. – Мн. : ИП «Экоперспектива», 2009. – 530 с.

Вопросы для самопроверки

1.Что такое функциональные и корреляционные связи?

2.Какие задачи стоят перед корреляционным анализом?

3.Назовите виды корреляционной зависимости и рассмотрите их.

4.Как графически изображается корреляционная зависимость для несгруппированных и сгруппированных данных?

5.Эмпирическая линия регрессии и ее характеристика.

6.Теоретическая линия регрессии и ее характеристика.

7.Показатели тесноты связи и их характеристика.

8.Сущность коэффициента корреляции.

9.Характеристика эмпирического корреляционного отно-

шения.

10.Теоретическое корреляционное отношение и его характеристика.

11.Простейшие показатели тесноты связи: коэффициент Фехнера, коэффициент корреляции рангов, коэффициент ассоциации.

12.Методы оценки существенности расчета коэффициента корреляции.

13.Гипотеза Кендэла о линейной корреляционной зависи-

мости.

94

ТЕМА 8. ВЫБОРОЧНЫЙ МЕТОД

План

1.Общие понятия о выборочном методе и причины, вызывающие выборочное обследование.

2.Условия правильности проведения выборочного отбора.

3.Задачи выборки.

4.Способы отбора.

1.ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ О ВЫБОРОЧНОМ МЕТОДЕ

ИПРИЧИНЫ, ВЫЗЫВАЮЩИЕ ВЫБОРОЧНОЕ ОБСЛЕДОВАНИЕ

Приемы выборочного метода используются для более объективной оценки основных характеристик изучаемых явлений для более углубленного анализа изучаемого явления.

При выборочном наблюдении изучается только часть совокупности, которая отбирается по определенным правилам, обеспечивающим беспристрастность отбора единиц. Эти правила основаны на законе больших чисел и теории вероятностей.

Обобщающие показатели, полученные по отобранной части совокупности, распространяются на всю совокупность.

Математическая статистика располагает методами анализа выборочных данных, при применении которых эти обобщающие показатели достаточно точно отражают, воспроизводят соответствующие показатели совокупности в целом.

Это позволяет использовать выборочное наблюдение в следующих целях:

–в случаях, когда изучаемая совокупность очень велика и поэтому не может быть практически охвачена сплошным наблюдением;

–с целью экономии сил, средств и времени;

–сцельюрасширенияпрограммыобследования– чемменьше отобранная часть, тем более детально ее можно изучить;

–в случаях, когда изучение единиц совокупности сопровождается их порчей или уничтожением, например при определении качества товаров (крепость ткани, нити, продолжительность горения электролампы).

95

В экономике выборочное наблюдение применяется очень широко. Так, впромышленностионоприменяетсядляконтроля качества готовой продукции, в сельском хозяйстве – для определения урожайности, в торговле – для определения естественной убыли, установление конъюнктурного ассортимента товаров при проведении маркетинговых исследований.

Генеральная и выборочная совокупности

Вся совокупность, из которой производится отбор некоторого числа единиц для выборочного наблюдения, называется

генеральной совокупностью.

Часть генеральной совокупности, отобранная для обследо-

вания, называется выборочной совокупностью.

Принятые условия обозначения выборки: N – объем генеральной совокупности;

n – объем выборочной совокупности;

x0 – средняя величина генеральной совокупности;

p0 – генеральная доля, т.е. соотношение числа единиц m, в генеральной совокупности обладающих данным значением признака ко всей численности генеральной совокупности;

pв – выборочная доля, т.е. отношение числа единиц в выборочной совокупности, обладающих данным значением признака ко всему объему выборки;

σв – среднеквадратичное в выборочном случайном отборе;

i2 – средняя из внутригрупповых дисперсий для типично-

q0 1 p0 – вероятность непоявления события в генеральной совокупности;

qâ 1 pâ – вероятность непоявления события в выборочной совокупности.

Средняя из противоположенных долей изучаемых явлений:

96

Средняя доля для типического отбора:

p¦pi ni .

i¦ni

2.УСЛОВИЯ ПРАВИЛЬНОСТИ ПРОВЕДЕНИЯ ВЫБОРОЧНОГО ОТБОРА

Основное условие – случайность отбора, репрезентативность, или представительность, отбора.

Ошибки репрезентативности могут быть систематическими и случайными. Случайные ошибки возникают в том случае, если выборочная совокупность недостаточно представительна. Систематические – возникают при нарушении установленных правил отбора единиц.

Величина случайных ошибок определяет надежность данных выборочных наблюдений, их пригодность для суждения о генеральной совокупности. При помощи формул теории вероятности можно рассчитать возможную максимальную случайную ошибку – вероятностный (стохастический) предел ошибки выборки ( ). Максимально возможная (предельная) ошибка – это отклонение выборочной средней (или доли) от генеральной средней (доли). Ее величина зависит:

–от степени колеблемости изучаемого признака генеральной совокупности;

–от способа формирования выборочной совокупности;

–от объема выборки.

Ошибка репрезентативности представляет собой разность между показателями выборочной и генеральной совокупностями:

Таким образом, средняя величина в генеральной совокуп-

ности равен:

xɜ 'x d x0 d xɜ 'x ,

где предельная ошибка выборки для средней равна:

1 Приведены формулы для случайного повторного отбора.

97

рия», который зависит от вероятности, с которой гарантируется предельная ошибка вероятности.

Для генеральной доли

pɜ 'p d p0 d pɜ 'p ,

предельная ошибка выборки для доли

Помимо ошибок репрезентативности существуют ошибки регистрации, которые свойственны для выборочного и сплош-

ного наблюдения. Это ошибки, которые возникают вследствие недостаточной квалификации наблюдателя, неточности расчетов и несовершенством приборов.

Таким образом, ошибки статистического наблюдения

складываются из ошибок регистрации (сплошное и выборочное наблюдение) и ошибок репрезентативности (выборочное наблюдение).

3.ЗАДАЧИ ВЫБОРКИ

Кзадачам выборки относятся:

–определение доверительных пределов, в которых находятся показатели генеральной совокупности ( );

–определение доверительной вероятности того, что разность между показателями выборочной и генеральной совокупностей не превзойдет наперед заданного числа: Р = F(t). F(t)

–интеграл вероятности;

–определение минимального объема выборки. Необходимо отобрать как можно меньше единиц выборки, но достаточное количество для данных условий (n).

Виды отбора:

–повторный (по схеме возвращенного в урну шара);

–бесповторный (по схеме невозвращенного в урну шара).

*Приведены формулы для случайного повторного отбора.

**Приведены формулы для случайного повторного отбора.

98

При повторном отборе численность единиц генеральной совокупности в процессе выборки остается неизменной. Ту или иную единицу, попавшую в выборку, возвращают в генеральную совокупность, и она сохраняет равную возможность со всеми прочими единицами попасть в выборку при повторном отборе.

При бесповторном отборе единица совокупности, попавшая в выборку, не возвращается и при последующих отборах в выборке не участвует. Таким образом, при бесповторной выборке численность единиц генеральной совокупности сокращается в процессе исследования1.

4. СПОСОБЫ ОТБОРА

Способы отбора определяют конкретный механизм отбора единиц из генеральной совокупности.

По степени охвата единиц совокупности разделяют большие и малые выборки (с объемом n ≤ 30).

Наибольшее распространение получили следующие виды выборки:

–собственно-случайная;

–механическая;

–типическая;

–серийная (гнездовая).

Собственно-случайная выборка

Случайным отбором называется такой отбор, при котором единицы из генеральной совокупности отбираются наудачу, по жребию. При этом каждая единица совокупности обладает одинаковой объективной возможностью быть отобранной. Таким образом, в отобранной части могут быть представлены единицы от всех частей генеральной совокупности, со всеми признаками, которые имеются у единиц генеральной совокупности.

1 На практике, чтобы определить вид отбора, надо знать, что если дан повторный отбор, то отсутствуют данные о численности генеральной совокупности или не указан процентный отбор. Если же дан бесповторный отбор, то вышеперечисленные условия присутствуют. – Авт.

99

При таком отборе в средней выборочной xɜ значения изучаемого признака будут представлены достаточно точно и, как принято говорить, выборочная совокупность будет репрезентативна генеральной совокупности, то есть обобщающие характеристики выборочной совокупности будут близки к соответствующим характеристикам генеральной совокупности.

Но случайный отбор не следует понимать как беспорядочный отбор. Производя отбор, необходимо обеспечить соблюдение принципа случайности, организовать отбор так, чтобы его ошибки были действительно случайными.

Случайный отбор может быть повторным и бесповторным.

Механическая выборка

При механическом отборе единицы для обследования отбираются уже не наудачу. При этой форме выборочного наблюдения единицы генеральной совокупности располагаются в каком-то порядке, но только не по изучаемому признаку, а, скажем, в алфавитном. Затем упорядоченная известным образомисходнаясовокупностьделитсянаопределенноечислоравных частей, и из каждой такой части отбирается одна единица– представительсопределеннымпорядковымномером(10-я, 20-я, 30-я). Например, при10% выборкеизсовокупностив1000 единиц она должна быть разделена на 100 равных частей, из которых могут быть отобраны 5-я, 15-я, 25-я и т.д. единицы.

Могут быть взяты и другие порядковые номера.

Таким образом, если при случайном отборе есть лишь возможность попадания в выборку единиц от всех частей генеральной совокупности, то механический отбор направлен на то, чтобы обеспечить попадание в выборку таких представителей. В этом смысле, механический отбор можно назвать направленным отбором, и поэтому, при правильной организации, он репрезентативнее случайного отбора.

Математическая статистика не располагает специальными зависимостями для расчета средней ошибки выборки при меха-

100