ГЛАВА 6. ВЫБОРОЧНЫЙ МЕТОД

Выборочным методом называют первичную обработку статистического материала.

6.1. Исходные понятия

На практике об интересующей нас случайной величине X обычно приходится судить лишь по её отдельным возможным значениям, которые могут быть получены опытным путём. Такое множество чисел называют выборочной совокупностью (или просто выборкой), каждый её элемент – вариантой, их количество n – объёмом выборки.

Выборка должна отвечать научно-практическим рекомендациям её отбора, адекватно представлять случайную величину с тем, чтобы результаты исследования первой обобщить на вторую. Коротко говорят, что выборка должна быть репрезентативной (или представительной).

Если объём выборки достаточно большой, то с целью упрощения выборку подвергают следующему усреднению. Интервал, в котором заключены все варианты, разбивают на m непересекающихся частичных интервалов (или групп) одинаковой длины

h = mR ,

где R – разность между максимальным xmax и минимальным xmin вариантами, называемая размахом варьирования.

Подсчитывают число Wi = nhi вариант, принадлежащих Wi = nhi -

тому интервалу (i =1,2,3,..., m ). Это число называют абсолютной частотой, а число Wi = nni – относительной частотой варианты xi , являющейся середи-

ной i -того интервала. Такие варианты называют равноотстоящими с ша-

стью абсолютной и относительной частоты.

Отметим, что в статистике случайную величину часто называют случайным признаком, или генеральной совокупностью.

Статистическим (или эмпирическим) распределением выборки называют перечень в виде таблицы различных вариант (записываемых в возрастающем порядке) и соответствующих им частот или плотностей частот. Вместо вариант используют также частичные интервалы. Статистическое распределение называют ещё вариационным рядом.

50

Для наглядности статистическое распределение изображают графически. Ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы, а высоты равны плотности их частот, называют гистограммой. Площадь гистограммы с плотностью абсолютных или относительных частот равна соответственно n или 1. Ломаную линию, соединяющую середины ступеней гистограммы, называют полигоном.

Отметим, что статистическое распределение плотности относительных частот для непрерывной случайной величины приближённо представляет дифференциальную функцию распределения из теории вероятностей. Кроме того, вводят эмпирическую функцию распределения выборки:

F * (x) =Wx ,

где Wx – сумма относительных частот тех вариант, которые меньше x .

Отметим, что эта функция строится аналогично функции распределения F(x) в теории вероятностей, причём F(x) ≈ F* (x) .

6.2. Числовые характеристики вариационного ряда

Основными числовыми характеристиками статистического распре-

где di = xi − x .

Из этих формул следует, что выборочная средняя равна среднему арифметическому всех вариант выборки, а выборочная дисперсия есть среднее арифметическое квадратов отклонения вариант от x .

Применяют также следующие характеристики.

Выборочное среднее квадратическое отклонение σx находится по формуле:

σx = Dx .

Модой mo называют варианту с наибольшей частотой.

Медианой me называют варианту, которая делит перечень вариант на

две равные части (по числу вариант).

Коэффициент вариации определяется по формуле:

51

V = σxx 100% .

Он характеризует рассеяние (разброс) вариант относительно x . Чем больше V , тем больше рассеяние.

Начальный и центральный эмпирические моменты M k и mk находятся по формулам:

m

M k = ∑xik Wi , i=1

m

mk = ∑dik Wi , i=1

где k =1,2,3,..., k – порядок момента.

В частности, M1 = x , m2 = Dx .

Асимметрия A и эксцесс E определяются по формулам:

A = σm33 ,

x

E= m4 −3.

σx4

Они используются для оценки отклонения от нормального закона

(для него A = 0, E = 0 ) соответственно в смысле симметрии и формы полигона.

6.3. Примеры

Ниже иллюстрируется теория из пунктов 1.1 и 1.2.

Пример 1.

Дана выборка: 3, 3, 2, 4, 2, 3, 5, 5, 5, 3. Составить статистическое распределение абсолютных частот.

Решение.

Нужно разные варианты расположить в возрастающем порядке и указать их частоты. Имеем:

xi : 2 3 4 5 ni : 2 4 1 3

Пример 2.

Дано статистическое распределение абсолютных частот: xi : 1 2 5

ni : 3 5 2

Найти распределение относительных частот.

52

Решение.

Сначала найдём объём выборки: n = 3 + 5 + 2 =10 . Теперь находим относительные частоты: W1 = nn1 = 103 = 0,3 ;

Пример 3.

Из генеральной совокупности извлечена выборка объёма n =10 , которая представлена в виде эмпирического распределения абсолютных частот:

xi : 1 2 3 4

ni : 2 3 a 1

Найти число a и эмпирическую функцию распределения.

Решение.

Имеем n = 2 + 3 + a +1 =10 . Значит, a = 4 , т.е. n3 = 4 . Находим относительные частоты: W1 = 102 = 0,2 ; W2 = 103 = 0,3 ;

W3 = 104 = 0,4 ; W4 = 101 = 0,1.

Запишем распределение относительных частот:

Теперь находим искомую функцию (рис.10):

0, если x ≤1

0,2, если1 < x ≤ 2

F * (x) = 0,5, если 2 < x ≤ 30,9, если 3 < x ≤ 4

1, если x > 4

53

На оси Ox откладываем интервалы, а на оси Oy – соответствующие им плотности частоты. Искомая гистограмма имеет вид (рис. 13):

Рис. 13

Ломаная линия, соединяющая середины ступеней, есть искомый полигон.

Пример 8.

Дано эмпирическое распределение относительных частот некоторой

Решение.

По условию 0,2 + 0,7 + c = 1, тогда c = 0,1.

По определению x = x1 W1 + x2 W2 + x3 W3 = −1 0,2 +1 0,7 + 3 0,1=0,8.

Пример 9.

Из генеральной совокупности извлечена выборка:

Найти выборочную дисперсию Dx и выборочное среднее квадратиче-

ское отклонение σx .

Решение.

Здесь объём выборки n =100 . Сначала надо найти x . Имеем по определению x = 1001 (2 20 + 3 50 + 4 30)= 3,1. Найдём относительные частоты: W1 = 0,2 ; W2 = 0,5 ; W3 = 0,3 .

56

По определению Dx = x12 W1 + x22 W2 + x32 W3 − x 2 = 4 0,2 +9 0,5 +

+16 0,3 −3,12 = 0,49 .

По определению σ x = Dx = 0,49 = 0,7 .

Пример 10.

Найти моду mo и медиану me выборки:

1, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Решение.

Составим эмпирическое распределение абсолютных частот:

Согласно определению mo = 4 , me = 6 .

Пример 11.

Найти моду и медиану для данного распределения:

Решение.

По определению мода имеет два значения 2 и 7, а медиана при чё т- ном числе вариант равна 6 +2 7 = 6,5 .

Пример 12.

В таблице 1 даны результаты объёма измерений случайного признака X – срока службы электрической батарейки одного типа (в месяцах).

Требуется:

•составить вариационный ряд, считая число m = 9;

•построить гистограмму и полигон (относительных частот), эмпирическую функцию;

•найти характеристики вариационного ряда.

Решение.

57

1) В качестве xmin (xmax )можно взять число несколько меньше (боль-

ше), чем есть в таблице 1, чтобы число h имело не более одного десятичного знака, как и все исходные данные.

таблице 1. Последний столбец заполняется после нахождения x в пункте 3. 2) На оси Ox откладываем интервалы, а на другой оси – числа Whi .

Гистограмма а и полигон б имеют вид (рис. 5):

Рис. 5

Согласно определению F * (x) = 0 при x ≤ 42,3 , F * (x) =1 при x > 54,3 . F * (x) представляет собой неубывающую кусочно-постоянную функцию:

58

Рис. 6

3) Для нахождения числовых характеристик воспользуемся столбцами 5 и 6 таблицы 2:

x =42,3 0,02 + 43,8 0,07 + 45,3 0,10 + 46,8 0,12 + 48,3 0,15 +

+ 49,8 0,20 +51,3 0,16 +52,8 0,12 +54,3 0,06)≈ 49,1.

По данным столбца 3 таблицы 2 теперь можно найти значения столбца 6:

d1 =42,3 −49,1=−6,8 ; d2 =43,8 −49,1=−5,3 и т.д.

Dx = 6,82 0,02 +5,32 0,07 +3,82 0,10 +2,32 0,12 +0,82 0,15 +

+ 0,82 0,20 + 2,32 0,16 +3,82 0,12 +5,32 0,06)≈ 9,46.

A= 3,113 (−6,83 0,02 −5,33 0,07 −3,83 0,10 −2,33 0,12 −0,83 0,15 +

+0,83 0,20 +2,33 0,16 +3,83 0,12 +5,33 0,06)≈ 0,21.

59

E= 3,114 (6,84 0,02 +5,34 0,07 +3,84 0,10 + 2,34 0,12 + 0,84 0,15 +

+0,84 0,20 + 2,34 0,16 +3,84 0,12 +5,34 0,06)−3 ≈ −0,84.

60