если a = M −δ , b = M +δ , то:

(см. пункт 1.8); если положить δ =3σ , то имеет место, так называемое правило трех сигм: с вероятностью, близкой к единице, значения нормальной случайной величины находятся в интервале (M − 3σ, M + 3σ) .

5.4. Понятие закона больших чисел

Нельзя заранее предвидеть, какое из возможных значений примет случайная величина при испытании, так как оно является результатом совместного действия (суммы) многих случайных факторов (величин), которые не только невозможно учесть, но даже и перечислить. Иными словами, это значение случайным образом колеблется при переходе от одной серии испытаний к аналогичным другим, т.е. является случайной величиной.

Из повседневного опыта известно, что среднее арифметическое большого числа случайных величин является случайной величиной, значения которой мало отличаются друг от друга, т.е. она утрачивает случайный характер и становится постоянной величиной. Эта наблюдаемая закономерность подтверждается и теоретически для сравнительно широких условий в виде совокупности теорем, называемой законом больших чисел [1]. Наиболее общей из них является теорема Чебышева, устанавливающая, что среднее арифметическое большого числа случайных величин мало отличается от среднего арифметического их математических ожиданий. Простейшим частным случаем этой теоремы является исторически первая теорема Бернулли, устанавливающая, что при большом числе испытаний относительная частота события близка к его вероятности.

В закон больших чисел входит также теорема Ляпунова, устанавливающая, что сумма большого числа случайных величин имеет распределение, близкое к нормальному. Этим объясняется преобладающая распространенность последнего. Отметим, что имеются и другие теоремы, входящие в закон больших чисел.

Этот закон имеет основополагающее значение в теории и для практики. В частности, он служит научным обоснованием выборочного метода в статистике [2], позволяет приближенно найти вероятность по относительной частоте, истинное значение измеряемой величины как среднее арифметическое произведенных измерений.

Следует отметить, что с увеличением числа измерений нельзя достичь сколь угодно большой точности. Дело в том, что прибор дает показание с определенной погрешностью. Поэтому каждое измерение, а, следовательно, и их среднее арифметическое будут получены лишь с точностью, не превышающей точность прибора.

43

5.5. Примеры

Ниже иллюстрируются теория из пунктов 5.1–5.4.

Пример 1.

Случайная величина X имеет распределение:

Пример 2.

Независимые случайные величины X и Y заданы распределениями:

Составить распределение случайной величины Z = X +Y .

Решение.

Возможные значения Z есть суммы каждого возможного значения X со всеми возможными значениями

Y : z1 =1+3 = 4, z2 =1+ 4 =5 , z3 = 2 +3 =5 , z4 =2 + 4 =6.

Найдем вероятности этих значений. Для Z = z1 достаточно, чтобы

величина X приняла значение x1 =1 и величина Y – значение y1 = 3 , вероятности которых, соответственно, равны 0,4 и 0,2.

44

Так как X и Y независимые величины, то события X =1 и Y = 3 такие же. Следовательно, вероятность их совместного наступления, т.е. ве-

роятность события Z = z1 , являющегося их произведением, равна 0,4 0,2 = 0,08 . Аналогично найдем:

Решение.

45

M (W ) = M (X1 X 2 ) = M (X1 ) M (X 2 ) =5 6 =30 .

Пример 5.

Найти математические ожидания дискретных случайных величин:

а) X ; б) Y = (X −1)2 из примера 1, пункт 5.5.

Решение.

а) Имеем M (X ) = 0 0,1+1 0,4 + 2 0,5 =1,4 .

б) Способ 1. Закон распределения для Y найден в примере 1. Тогда

M (Y ) = 0 0,4 +1 0,6 = 0,6 .

Способ 2. Воспользуемся формулой из пункта 5.2 для математического ожидания функции дискретного случайного аргумента.

3

Тогда M (Y ) = ∑(xi −1)2 pi =

i=1

=(0 −1)2 0,1+(1−1)2 0,4 +(2 −1)2 0,5 =0,1+0,5 =0,6 .

Пример 6.

Непрерывная случайная величина X задана плотностью вероятности:

Итак, M ( X ) = −1.

б) Воспользуемся формулой из пункта 5.2 для математического ожидания функции непрерывного случайного аргумента.

46

Пример 8.

Телефонная станция получает в среднем за одну минуту 2 вызова. Какова вероятность того, что за текущие 5 минут поступит 3 вызова?

Пример 9.

Случайная величина X распределена равномерно в интервале (2;7) . Требуется: 1) записать функции f (x) , F(x) ;

2)найти M (X ) , D(X ) ;

3)вычислить вероятность P(3 < X < 4) .

Решение.

1)Согласно определению равномерного закона распределения a = 2

,b = 7 , b −1 a = 15 = 0,2 . Тогда

47

или P(X 3 < X < 4) = F(4) − F(3) = 4 −5 2 − 3 −5 2 = 0,2 .

Пример 10.

Автобусы некоторого маршрута идут строго по расписанию с интервалом движения 6 мин. Найти вероятность того, что подошедший к остановке пассажир будет ожидать очередной автобус менее 3 мин.

ется нормальной. Ее среднее значение 20, 8 (в % к длине головы), σ =1,73

(по данным А.И. Прибатова). Найти вероятность того, что для исследуемой партии анчоусов диаметр глаза находится в интервале (20,4;21,8) .

Решение.

Воспользуемся формулой а) из пункта 5.3. По условию a = 20,4 ,

b = 21,8 , M = 20,8 , σ =1,73 . Тогда

−Φ(−0,23)=Φ(0,59)+Φ(0,23)=0,2224 +0,0910 ≈0,31.

Пример 12.

По статистическим данным % улова рыбы отклонялось от промыслового (стандартного) размера не более, чем на 3 см. Какой % выловленной рыбы отклоняется от промыслового размера не более, чем на 5 см, если предположить, что размер рыбы имеет нормальное распределение?

Решение.

48

Пример 13.

При изготовлении некоторого изделия его масса X подвержена случайным изменениям по нормальному закону. Проектная масса (или математическое ожидание) изделия составляет 30 г, её среднее квадратическое отклонение равно 0,7 г. Найти вероятность того, что: 1) масса наугад выбранного изделия находится в пределах от 28 г до 31 г; 2) два взятых изделия будут в указанных пределах.

Можно сказать, что 92% изделий по массе находятся в указанных

пределах.

2) По теореме умножения вероятностей независимых событий искомая вероятность P = 0,92 0,92 = 0,85 .

Пример 14.

Станок изготавливает с проектным диаметром, равным 10 мм (т.е. математическое ожидание M =10 ). Диаметр X есть случайная величина, распределенная по нормальному закону, для которого среднее квадратиче-

ское отклонение σ = 0,1 мм. Найти интервал, в котором с вероятностью

0,9973 будут заключены диаметры изготовленных шариков.

Решение.

Здесь требуется та же формула, что и в примере 12. При наших данных

49