ГЛАВА 1. ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

1.1. События, основные понятия

Событием называют всякое явление, связанное с реализацией совокупности условий. Осуществление этих условий называется испытанием. Следовательно, событие допускается рассматривать как резуль-

тат испытания.

Событие обозначают достоверным, если при испытании оно обязательно происходит. Событие обозначают невозможным, если при испытании оно наверняка не происходит. Событие называют случайным, если при испытании оно может произойти, а может и не произойти.

Случайные события называют несовместными, если при испытании появление одного из них исключает появление всех других событий. Случайные события называют совместными, если при испытании появление одного из них не исключает появление всех других событий. Можно сказать, что несовместные события являются попарно несовместными. Можно сказать, что несовместные события являются попарно несовместными.

Случайные события называют равновозможными, если имеются основания считать, что при испытании ни одно из них не является более возможным, чем другое. Случайные события называют неравновозможными, если не имеются основания считать, что при испытании ни одно из них не является более возможным, чем другое.

Говорят, что события образуют полную группу несовместных событий, если в результате испытания обязательно происходит только одно из этих событий, т.е. оно является достоверным событием. Другими словами, для такой группы событий совместное появление любой пары из них невозможно.

Два события, образующие полную группу несовместных событий, называются взаимно противоположными. Другими словами, событие, противоположное случайному событию A , есть событие (обозначают A ), состоящее в том, что событие A не появится.

Два совместных события называют независимыми, если при испытании появление одного из них не влияет на возможность появления другого. Два совместных события называют зависимыми, если при испытании появление одного из них влияет на возможность появления другого. Несколько совместных событий будем называть независимыми, если появление любого из них не влияет на возможность появления всех других событий в одном и том же испытании. В противном случае события считаемзависимыми.

7

Здесь согласно определению знак умножения имеет смысл союза «и»; под совместным появлением событий понимается их одновременное или последовательное появление.

Суммой несовместных событий A1 , A2 , A3 , , An называют событие C , состоящее в появлении A1 или A2 или A3 или An . Сокращенно

C = A1 + A2 + A3 + + An , или

С = ∑n Ak .

k =1

Здесь согласно определению знаком сложения обозначается союз

«или».

Суммой совместных событий A1 и A2 называют событие C , состоящее в появлении хотя бы одного из них (т.е. состоящее в появлении

A1 или A2 , или A1 + A2 ).

Сокращенно C = A1 + A2 . Здесь знак «+» обозначает словосочетание

«хотя бы одного». Аналогично определяется и сумма нескольких совместных событий.

Событие, выражающееся через другие события называетсясложным. Каждый из возможных результатов испытания называют элементарным исходом (событием). При этом те же из исходов, в которых появляется интересующее нас событие A , называют благоприятствующим этому событию. Все элементарные исходы образуют полную группу равновоз-

можных несовместных событий.

Современные строгие курсы теории вероятностей базируются на теории множеств и теории меры. Действительно, все возможные исходы испытания можно считать элементами некоторого множества Ω, подмножеством которого, очевидно, оказывается указанное выше событие A , т.е. A Ω. Геометрически элементы этих множеств можно рассматривать как точки, а сами множества как области SΩ и S A .

Понимая под событиями множества и сравнивая соответствующее определение, получаем, что произведение и сумма событий есть пересечение и объединение множеств. При решении задач удобно обозначать эти множества с помощью кругов Эйлера.

1.2. Элементы комбинаторики

При вычислении вероятности очень часто используется следующие простейшие понятия и формулы теории комбинаторики.

Перестановками называют комбинации (множества), содержащие одни и те же N различных элементов и отличающиеся между собой лишь порядком их следования. Число всех возможных перестановок находится по формуле

∏ N = N!,

8

где N!=1 2 3 N , причём по определению считают 0!=1,1!=1.

Сочетаниями называют комбинации (подмножеств) составленные из N различных элементов по K элементов, которые отличаются между собой хотя бы одним элементом. Число всех возможных сочетаний находится по формуле

порядком расположения, либо их составом элементов. Число всех возможных размещений находится по формуле

1.3. Теория вероятности и относительной частоты, их основные свойства

Вероятность события A обозначим P(A) . По определению полага-

ют

P(A) = mn ,

где n – общее число всех равновозможных элементарных исходов испытания, m – число исходов, благоприятствующих событию A ; предполагается, что n и m – конечные числа.

Из определения вероятности вытекают следующие её свойства:

1.P(A) =1, если A – достоверное событие;

2.P(A) = 0 , если A – невозможное событие;

3.0 < P(A) <1, если A – случайное событие.

Справедливы и обратные утверждения. Например, если P(A) =1, то

A – достоверное событие.

Таким образом, вероятность любого события удовлетворяет усло-

вию:

0 ≤ P(A) ≤1,

которое называют основным свойством вероятности.

Данное определение вероятности в литературе называют классическим. Оно имеет ряд недостатков, ограничивающих его применение. В частности, исключается случай бесконечного числа исходов при испытании, который весьма часто встречается на практике.

В упомянутом случае используют геометрическое определение вероятности P(A) . Оно основано на геометрической интерпретации испыта-

ния и события A как областей SΩ и S A (см. пункт 1.1). При этом предполагается, что все их точки равновозможны. По определению имеем

9

P(A) = mn ,

где n и m – мера (длина, площадь, объём) областей SΩ и S A .

Наиболее общим и логически совершенным является аксиоматическое определение вероятности. Приведём систему аксиом, разработанную академиком АН СССР А.Н. Колмогоровым (1903-1987 гг.):

1) любому событию A приписывается неотрицательное число P(A) , называемое вероятностью события A ;

2)вероятность достоверного события принимается, равной единице;

3)вероятность появления одного из несовместных событий равна

сумме их вероятностей.

C вероятностью события A тесно связана его относительная частота, обозначим её W (A) . По определению полагают

W (A) = mn ,

где n – число всех произведенных испытаний, m – число испытаний, в которых произошло событие A .

Отметим, что относительная частота обладает свойствами как у вероятности, перечисленными выше.

Отметим, что классическое определение вероятности и определение относительной частоты хотя и созвучны, но принципиально разнятся. В первом из них речь идет об исходах испытания, во втором – об испытаниях. Вероятность – величина теоретическая, находится до опыта. Относительная частота – величина, которая находится опытным путем. При достаточно большом числе испытаний справедливо приближенное равенство

P(A) ≈W (A) .

В этом случае относительную частоту называют статистической вероятностью.

1.4. Примеры

Ниже иллюстрируются теория из пунктов 1.1–1.3.

Пример 1.

Монету бросили 1 раз. Бросание монеты – это испытание, выпадание герба – это событие, выпадание числа – это событие. Выходит, событие можно рассматривать как результат испытания. Описанные события случайные, независимые, несовместные, образуют полную группу, взаимно противоположные, равновозможные, а также являются элементарными исходами испытания.

Пример 2.

При одном подбрасывании игральной кости, т.е. кубика, на гранях которого поставлены цифры (очки) от 1 до 6, выпадение положительного

10

числа очков – достоверное событие, а выпадение отрицательного числа – невозможное событие.

Обозначим wi – выпадение числа i , i =1,6 . События w1 − w6 случай-

ные, независимые, несовместные, образуют полную группу, составляют множество Ω всех равновозможных элементарных исходов испытания,

состоящего в бросании один раз игральной кости. Исходы w2 , w4 , w6 яв-

ляются благоприятствующими событию A – выпадению четного числа очков. Таким образом, событие A можно рассматривать как подмножество множества Ω, т.е. A Ω . Обозначим C – выпало число 1 или 2. Это

событие является суммой несовместных событий w1 и w2 , т.е. C = w1 + w2 .

Пример 3.

Пусть монета выкинута два раза. Рассмотрим события Ai и Ai , (i =1,2) , выпадение, соответственно, герба и решки при i –том бросании. События

C4 = A1 A2 и D противоположные. События C1 − C4 составляют множество

всех равновозможных несовместных исходов испытания, состоящего в бросании монеты два раза. Если B = C1 + C2 , то B – событие, состоящее в

том, что герб выпал один раз. События B , C1 − C4 , D являются сложными.

Пример 4.

Пусть событие A – студент знает случайно выбранный экзаменационный билет, событие B – студент получит отличную оценку. Здесь событие B зависит от события A . Предполагается, что для осуществления B достаточно выполнения A .

Пример 5.

Перечислить все перестановки из цифр 1, 2, 3.

Решение.

Имеем комбинации (множества):

{1,2,3}, {2,1,3}, {1,3,2}, {3,1,2}, {2,3,1}, {3,2,1},

всего 6 перестановок. По формуле для числа перестановок из N =3 элементов имеем

∏3 =3!=1 2 3 = 6 .

11

Пример 6.

В пассажирском поезде 8 вагонов. Сколькими способами можно разместить вагоны при составлении поезда?

Решение.

Здесь речь идет о перестановках из 8 элементов–вагонов. Тогда искомое число перестановок равно

∏8 =8!=1 2 3 4 5 6 7 8 = 40320 .

Пример 7.

Все четырехзначные числа, образованные из цифр 0, 1, 2, 3 помещены на отдельные карточки. Найти количество этих чисел.

Решение.

Цифры 0, 1, 2, 3 – это элементы, всякое четырехзначное число – перестановка. Следовательно, количество искомых чисел равно

∏4 −∏3 =4!−3!=18 ,

поскольку перестановки, начинающие с нуля не являются четырехзначными числами.

Пример 8.

Перечислить все сочетания из букв a,b ,c по две буквы в каждом сочетании.

Решение. Имеем комбинации (подмножества):

{a,b}, {a,c}, {b,c},

всего 3 сочетания. По формуле для числа сочетаний при N =3 , K =2 имеем

Пример 9.

Деканат должен отправить на субботник звено из 5 человек. Сколько таких звеньев можно составить из 12 студентов группы?

Решение.

Здесь речь идет о сочетаниях, N =12 , K =5 . Имеем

Пример 10.

Всего в роте 80 курсантов и 3 лейтенанта. Сколькими способами можно составить патруль из трех курсантов и двух лейтенантов?

Решение.

Здесь нужно воспользоваться сочетаниями. Патруль состоит из 5 человек. Каждая тройка курсантов из 80 может оказаться с любой парой лейтенантов из 3. Искомое число равно

12

P(Б) = 208 = 52 , P(B) = 207 , P(Г) = 1320 , P( Д) = 2020 =1, P(Е) = 200 = 0 .

Отметим, что A , Б , В, Г – случайные, причем первые три несовместные, образующие полную группу, Д – достоверное, Е – невозмож-

ное события.

Пример 15.

Монету выбросили 1 раз. Найти вероятности событий: выпадение герба и выпадение числа.

Решение.

Для обоих событий m = 1, n = 2 , т.е. их вероятности равны 12 .

Пример 16.

Пусть монета брошена два раза. Найти вероятность события C – оба раза выпала решка.

Решение.

Очевидно, что m =1, n = 4 . Искомая вероятность равна

P = 14 = 0,25 .

Пример 17.

Курсанты произвели 100 выстрелов по цели, при этом было зарегистрировано 77 попаданий. Найти относительную частоту события A – попадания в цель.

Решение.

Здесь m = 77 , n =100 . Следовательно,

W (A) = 10077 = 0,77 .

Пример 18.

Пусть в примере 14 наудачу взяли одновременно: а) 2 камня; б) 3 камня. Какова вероятность того, что они будут рубиновые?

Решение.

а) Все 20 камней – это элементы, любая пара из них – сочетание (см.

Пример 19.

14

Набирая номер телефона, состоящий из девяти цифр, абонент забыл 3 последние цифры и, помня лишь, что эти цифры различные, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

Решение.

Цифры от 0 до 9 – это все элементы.

Поскольку имеет значение порядок их набора, то любая тройка из них

– размещение, являющееся исходом испытания. Имеем: N =10 , K = 3 , m =1, n = A103 = 103!! = 720 . Искомая вероятность

P = 7201 .

Пример 20.

Найти вероятность максимального выигрыша на одну карточку в игре «Спортлото 5 из 36».

Решение.

Для указанного выигрыша надо угадать 5 чисел из списка 1–36, при этом неважно в какой последовательности они зачеркнуты на карточке.

Значит, речь идет о сочетаниях. Очевидно, что m =1, n =C365 . Искомая вероятность

P = C15 ≈ 0 .

Пример 21.

36

Наудачу взят телефонный номер, состоящий из девяти цифр. Чему равна вероятность того, что все цифры этого номера разные?

Решение.

Пусть событие A – все цифры взятого номера различные. Здесь, как и в примере 19, нужно применять размещения для подсчета числа благо-

приятствующих исходов события A , т.е. m = 9 A108 = (109 −108!)! = 9 210! ! . Каждая

цифра произвольного номера может быть любой цифрой из списка 0, 1, 2,

..., 9, первую цифру номера считаем ненулевым значением. Поэтому общее число всех исходов испытания n = 9 108 . Искомая вероятность

Пример 22.

В коробе 20 кубиков с номерами 1, 2, ..., 20. Наудачу берут одновременно 6 кубиков. Найти вероятность того, что среди них есть кубики с номерами 1 и 2.

15

Благоприятствующие исходы состоят из цифр 1, 2 и любых четырех чисел из набора 3, 4, ..., 20, т.е. из 18 чисел.

Искомая вероятность

p = 15 4 17 3 ≈ 0,08. 15 8 17 19

Пример 23.

Из 12 лотерейных билетов, среди которых есть 4 выигрышные, наудачу одновременно берут 6 штук. Какова вероятность того, что хотя бы один из них выигрышный?

Решение.

События «среди 6 взятых билетов хотя бы один с выигрышем» и «среди них нет с выигрышем» – взаимно противоположные. Поскольку без выигрыша всего 8 билетов, то вероятность второго события равна

Пример 24.

В ящике 2 белых и 4 черных шара. Один за другим вынимаются все эти шары. Найти вероятность того, что последний шар будет чёрным.

Решение.

Все шары представляют собой 6 разных тел. Число всех исходов испытания равно по условию числу всех перестановок из 6, т.е. n = 6!. Среди них находятся перестановки, которые заканчиваются чёрным шаром, а их 4. Значит, число благоприятствующих исходов равно m = 5!4 . Итак, искомая вероятность равна

p = 56!!4 = 23 .

Пример 25.

В ящике 10 голубых и 6 алых шаров. Наудачу вынимают последовательно 2 шара. Какова вероятность того, что шары будут разного цвета?

Решение.

Здесь любой голубой шар может оказаться в паре с любым алым шаром; тогда число пар шаров разного цвета, т.е. m =10 6 = 60 . Число всех

пар, т.е. n = A162 =1614!! =15 16 . Искомая вероятность

p =156016 =0,25 .

Пример 26.

16

Ребенок играет с четырьмя буквами разрезной азбуки A, A, Л, Л . Ка-

кова вероятность того, что при случайном расположении букв в ряд он получит слово " АЛЛA"?

Решение.

Названные буквы представляют собой отдельные разные предметы. Число всех возможных комбинаций из четырех букв равно числу перестановок 4!. Первая буква из списка (как и вторая) может занимать в указанном слове первую или четвертую позиции. Аналогично, третья буква (как и четвертая) может занимать в этом слове вторую или третью позиции. Поэтому число благоприятствующих исходов равно 4. Искомая вероятность

p = 44! = 16 .

Пример 27.

В лифт семнадцатиэтажного дома на первом этаже вошли 3 человека. Каждый из них с одинаковой вероятностью выходит на любом из этажей, начиная со второго. Найти вероятность следующих событий A – все пассажиры выходят на четвертом этаже, B – все выходят на одном и том же этаже, C – все выходят на разных этажах.

Решение.

По условию число этажей, где выходят пассажиры, равно 16. Поэтому число всех исходов n =16 16 16 = 4096 . Событию A отвечает, очевидно, один исход, т.е. m =1. Поэтому

Пример 28.

За круглый стол на 21 стул в случайном порядке располагаются 19 мальчиков и 2 девочки. Найдите вероятность того, что между девочками будет сидеть один мальчик.

Решение.

Всего исходов размещения на 21 стул 21 детей равно 21!. Из всех

исходов благоприятным является исход, когда на «первом» стуле располагается девочка (этому соответствует две позиции), через один стул справа от неё сидит девочка (одна позиция), а на остальных девятнадцати стульях

произвольно рассажены мальчики (19! случаев). Всего 2 1 19 ! благоприятных исхода. Так как «первым» стулом может быть любой из двадцати

17

одного стула (так как стулья стоят по кругу), количество благоприятных исходов нужно умножить на 21. Отсюда следует, что вероятность события

– «между двумя девочками будет сидеть один мальчик» равна p = 21 2 211 19! ! = 202 = 0,1.

Пример 29.

Отрезок разделен на две части в отношении 1:3. Найти вероятность того, что точка, наудачу поставленная на него, попадет на меньшую часть.

Решение.

Здесь и ниже требуется применение геометрической вероятности,

Пример 30.

Квадрат вписан в круг, куда наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что она попадет в квадрат.

Решение.

Обозначим a – сторона квадрата, его площадь m = a2 ; R – радиус круга, его площадь n =πR 2 . Диагональ квадрата равна 2R .

По теореме Пифагора (2R)2 = a2 + a2 , т.е. 4R2 = 2a2 , или a2 = 2R2 , т.е. m = 2R2 . Искомая вероятность

p = 2R2 = 2 .

πR2 π

Пример 31.

Круг вписан в квадрат, куда наудачу поставлена точка. Найти вероятность того, что она окажется вне круга.

Решение.

Пример 32.

18

В квадрате с вершинами O(0;0), A(0;2), B(2;2), C(2;0), наудачу взята точка M (x; y). Найти вероятность того, что ее координаты удовлетворяют нера-

p = 34 .

Пример 33.

Два юноши в данный момент времени договорились о встрече в течение двух часов, начиная с этого момента. При этом в это время каждый приходит, когда хочет и ждет другого не более одного часа. Найти вероятность того, что они встретятся.

Решение.

ству удовлетворяет область между верхней и нижней прямыми y = x +1 и y = x −1, рис. 1б). Ее площадь m = 22 −121 2 = 3 . Площадь квадрата n = 4 .

Искомая вероятность

p = 43 .

Рис. 1

19