МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ КУРСА СТУДЕНТАМИ-ЗАОЧНИКАМИ
Основной формой обучения студента-заочника является самостоятельная работа над учебным материалом: по математическим дисциплинам она складывается из чтения учебников, решения задач и выполнения контрольных заданий. В помощь студентам-заочникам вузы организуют чтение лекций и практические занятия, кроме этого студент может обращаться к преподавателю с вопросами для консультаций. Указания студенту по текущей работе даются также в процессе рецензирования контрольных работ. Завершающим этапом изучения каждого из математических курсов является сдача зачётов и экзаменов в соответствии с учебным планом.
Чтение теоретического материала.
1.Изучая теоретический материал по учебнику, следует переходить к следующему вопросу только после правильного понимания предыдущего.
2.Особое внимание следует обращать на определения основных понятий, подробно разбирать примеры, поясняющие эти определения, уметь строить аналогичные примеры самостоятельно.
3.При изучении материала по учебнику полезно вести конспект, в который рекомендуется выписывать определения, формулировки теорем, формулы, уравнения и т.п.
Решение задач.
1.Чтение учебника должно сопровождаться решением задач, для чего рекомендуется завести специальную тетрадь.
2.При решении задач нужно обосновывать каждый этап решения, исходя из теоретических положений курса.
3.Решение задач и примеров следует излагать подробно, вычисления должны располагаться в строгом порядке, при этом рекомендуется отделять вспомогательные вычисления от основных. Чертежи можно выполнять от руки, но аккуратно и в соответствии с данными условиями.
4.Решение каждой задачи должно доводиться до окончательного ответа, которого требует условие. Полученный ответ следует проверять способами, вытекающими из существа данной задачи.
5.Решение задач одного определенного типа нужно продолжать до приобретения твердых навыков в их решении.
Самопроверка.
1.После изучения определенной темы по учебнику и решения достаточного количества задач студенту рекомендуется воспроизвести по памяти определения, выводы формул, формулировки и доказательства теорем, проверяя каждый раз по учебнику.
2.Иногда недостаточность усвоения того или иного вопроса выясняется только при изучении дальнейшего материала. В этом случае надо вернуться назад и повторить плохо усвоенный раздел.
71
3. Важным критерием усвоения теории является умение решать задачи на пройденный материал. Однако здесь следует предостеречь студента от весьма распространенной ошибки, заключающейся в том, что благополучное решение задач воспринимается им как признак усвоения теории. Часто правильное решение задач получается в результате применения механически заученных формул, без понимания существа дела.
Консультации.
1.Если в процессе работы над изучением теоретического материала или при решении задач у студента возникают вопросы, разрешить которые самостоятельно не удается, он может обратиться к преподавателю для получения консультации.
2.Запрос о консультации не должен превращаться в просьбу решить ту или иную задачу из контрольной работы студента.
Контрольные работы.
1.В процессе изучения дисциплины «Теория вероятностей, математическая статистика» студент должен выполнить контрольные работы, главная цель которых – оказать студенту помощь в его учебной работе.
2.Контрольные работы должны выполняться самостоятельно. Несамостоятельное выполнение работ не даст возможность студенту успешно усвоить теорию и закрепить ее практикой, что неизбежно приведет к затруднениям на экзамене.
3.Прорецензированные и зачтенные контрольные работы студент должен представить преподавателю при сдаче экзамена. Лекции и практические занятия. Во время сессий для студентов-заочников организуются лекции и практические занятия. Они носят преимущественно обзорный характер. Их цель – обратить внимание на общую схему построения того или иного раздела курса, подчеркнуть важнейшие факты, указать главные практические приложения.
72
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1.Основные понятия комбинаторики.
2.Классификация событий, операции над ними. Относительная частота. Вероятность, ее свойства.
3.Теоремы умножения и сложения вероятностей.
4.Формулы полной вероятности, Бейеса, Бернулли, Лапласа, Пуассона.
5.Случайная величина, ее виды и их законы распределения вероят-
ностей.
6.Основные числовые характеристики случайных величин: математического ожидания и дисперсия, их свойства.
7.Законы распределения Бернулли и Гаусса. Законы больших чисел.
8.Генеральная и выборочная совокупности. Статистическое распределение выборки. Выборочные средняя и дисперсия. Эмпирическая функция распределения. Полигон и гистограмма.
9.Доверительные вероятность и интервал. Интервальные оценки неизвестного математического ожидания нормального распределения.
10.Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности. Критерий Пирсона.
73
КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
1.1.Найти вероятность того, что из 14 произвольно поставленных книг на полке 6 определенных книг окажутся рядом.
1.2.Студент знает 60 из 70 вопросов программы. Найти вероятность
того, что студент ответит на три вопроса экзаменационного билета и не ответит на один вопрос.
1.3. В классе 10 девочек и 15 мальчиков. Разыгрывается по жребию 7 билетов. Найти вероятность того, что 3 билета достанутся девочкам, а 4 билета – мальчикам.
1.4.Игральная кость подбрасывается 3 раза. Найти вероятность события того, что выпадет сумма 11 очков при трех бросаниях.
1.5.В лотереи 36 билетов из них 11 с выигрышем. Найти вероятность
того, что из 6 взятых произвольно билетов 4 окажутся с выигрышем.
1.6.В коробке 12 художественных книг и 18 технических. Из коробки наудачу берут 3 книги. Найти вероятность, что две из них окажутся техническими.
1.7.В урне находятся 13 шаров, из них 6 белых. Наудачу извлекаются пять шаров. Найти вероятность того, что три из них окажутся белыми.
1.8.В лотерее 100 билетов, из них 10 с выигрышем. Найти вероятность того, что из 4 взятых произвольно билетов 2 окажутся с выигрышем.
1.9.В коробке содержится 27 банок консервов, из них 3 банки с браком. Из коробки случайно извлечены четыре банки. Найти вероятность того, что три из них окажутся без брака.
1.10.В ящике 25 деталей из них 7 бракованных. Найти вероятность
того, что из 4 взятых произвольно деталей 3 окажутся бракованными.
Ответы: 0,003; 0,373; 0,341; 0,125; 0,051.
2.1. Вероятность безотказной работы первого автомата равна 0,82, второго – 0,75, третьего – 0,69, четвертого – 0,91. Найти вероятность того, что в какой-то момент:
а) работают не менее 2 автоматов; б) работают только 4 автомата; в) работает хотя бы один автомат.
2.2. Деталь проходит 4 операции обработки. Вероятность получения брака при первой операции равна 0,25, при второй – 0,17, при третьей – 0,31, при четвертой – 0,28. Найти вероятность того, что
а) деталь получит брак при менее трех операциях; б) деталь получит брак при четырех операциях; в) получит брак хотя бы при одной операции.
2.3. Для сигнализации об аварии установлены независимо друг от друга три устройства. Вероятность того, что сработает первое устройство равна 0,87, второе – 0,94, третье – 0,75. Найти вероятность того, что при аварии сработают:
а) только не более двух устройств;
74
б) только три устройства; в) хотя бы одно устройство.
2.4.Изготовленное изделие подвергается четырем видам испытаний. Вероятность того, изделие выдержит первое испытание равна 0,67; второе – 0,74, третье – 0,57, четвертое – 0,62. Найти вероятность того, что изделие выдержит:
а) менее 2 испытаний; б) только 4 испытания;
в) хотя бы одно испытание.
2.5.Вероятность попадания в цель первым стрелком равна 0,56; вторым – 0,77, третьим – 0,68; четвертым – 0,84. Найти вероятность того, что
вцель попадут:
а) не менее трех стрелков; б) четыре стрелка; в) хотя бы один стрелок.
2.6.Рабочий обслуживает 4 станка. Вероятность того, что в течение рабочего дня первый станок не потребует внимание равна 0,89, второй – 0,77, третий – 0,68, четвертый – 0,83. Найти вероятность того, что
а) более двух станков потребуют внимание; б) четыре станка потребуют внимание;
в) хотя бы один станок потребует внимание рабочего.
2.7.Техническое устройство состоит из 4-х узлов. Вероятность безотказной работы в течение определенного времени первого узла равна 0,79; второго – 0,81, третьего – 0,94, четвертого – 0,65. Найти вероятность того, что выйдут из строя:
а) менее трех узлов; б) четыре узла; в) хотя бы один узел.
2.8.В течение часа из аэропорта вылетают 4 самолета. Вероятность своевременного вылета каждого самолета равна 0,84. Найти вероятность того, что
а) не более 3 самолетов вылетят вовремя; б) 4 самолета вылетят вовремя; в) хотя бы один самолет вылетит вовремя.
2.9.Врач обслуживает четырех больных. Вероятность того, что первый больной потребует внимания врача, равна 0,33, второй – 0,28, третий – 0,46, четвертый – 0,52. Найти вероятность того, что потребуется внимание врача:
а) не более двум больным; б) трем больным; в) хотя бы одному больному.
2.10.Вероятность попадания в цель первым стрелком равна 0,76; вторым – 0,67, третьим – 0,88; четвертым – 0,64. Найти вероятность того, что в цель попадут:
75
а) менее двух стрелков; б) четыре стрелка; в) хотя бы один стрелок.
3.1.Имеется 10 одинаковых ящиков, в девяти из которых находится по два белых и два черных шара, а в одном пять белых и один черный. Из ящика, взятого наудачу, был извлечен белый шар. Какова вероятность того, что шар извлечен из ящика, содержащего пять белых шаров?
3.2.Для сигнализации об аварии установлены 3 независимо от работающих устройства. Вероятность того, что при аварии не сработает первое устройство – 0,1; второе – 0,3; третье – 0,5. Найти вероятность того, что при аварии сработает: а) хотя бы одно устройство; б) только дваустройства.
3.3.В ящике лежат 6 новых и 4 старых теннисных мячей. Из ящика для первой игры наудачу вынимается один мяч, а после игры возвращается
вящик. После этого вынимается один мяч для следующей игры. Определить вероятность того, что этот мяч окажется новым.
3.4.Студент озабочен предстоящими экзаменами по физике и математике. По его мнению, вероятность того, что он сдаст хотя бы физику, равна 0,4, вероятность того, что он сдаст хотя бы один предмет 0,6, а вероятность того, что он сдаст оба предмета равна, 0,1. Какова предполагаемая студентом вероятность того, что он сдаст хотя бы экзамен по математике?
3.5.В одной урне I белый и 4 черных шара, а в другой – 2 белых
и 3 черных, в третьей – 3 белых и 2 черных. Из каждой урны вынули по шару. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров будет 1 белый
и2 черных шара.
3.6.Из колоды (36 карт) берутся три карты. Какова вероятность того, что среди взятых карт будет хотя бы два туза?
3.7.На 2-х автоматах производятся одинаковые детали. Производительность первого автомата в три раза больше производительности второго. Первый автомат производит 80 % деталей первого сорта, а второй 90% первого сорта. Найти вероятность того, что наудачу взятая с конвейера деталь будет первого сорта.
3.8.На инструментальный склад поступили восемь новых инструментов. Каждой из трех смен выдается случайным образом один инструмент, который после окончания работы возвращается обратно на склад. Определить вероятность того, что третья смена получит новый инструмент.
3.9.Три стрелка сделали по выстрелу в мишень. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,5, для второго – 0,6 и для третьего – 0,7. Какова вероятность того, что в мишень попало не менее двух пуль.
3.10.Числа 1,2,3,4,5 написаны на 5 карточках. Наугад, последовательно, выбирают 3 карточки и располагают слева направо. Найти вероятность того, что оставленное при этом трехзначное число будет четным.
76
4.1.Коммутатор учреждения обслуживает 100 абонентов. Вероятность того, что в течение минуты абонент позвонит на коммутатор, равна 0,02. Какое из двух событий вероятнее: в течение минуты позвонят 3 абонента или 4 абонента.
4.2.Учебник издан тиражом 100000 экземпляров. Вероятность того, что учебник сброшюрован неправильно 0,0001. Найти вероятность того, что тираж содержит не более 3 бракованных книг?
4.3.Вероятность появления успеха в каждом испытании равна 0,25. Какова вероятность того, что при 300 испытаниях успех наступит:
а) 75 раз; б) не более 85 раз и не менее 75 раз?
4.4.Вероятность того, что каждый из 8 спортсменов выполнит норму мастера спорта 0,6. Какова вероятность того, что норму мастера спорта выполнят не более 2-х человек. Найти наивероятнейшее число спортсменов, получивших мастера спорта и обеспечить это число вероятностью.
4.5.Вероятность хотя бы одного попадания в цель при трех выстрелах, равна 0,992. Найти вероятность 4-х попаданий при пяти выстрелах.
4.6.К электросети подключено 36 приборов, каждый мощностью
5 киловатт и потребляет энергию с вероятностью 0,2. Найти вероятность того, что потребляемая в данный момент мощность:
а) составляет ровно 50 киловатт; б) превзойдет 50 киловатт.
4.7. В некотором водоеме карпы составляют 80 %. Найти вероятность того, что из 5 выловленных в этом водоеме рыб окажется: а) ровно 4 карпа; б) не менее 4 карпов.4.8. Вероятность того, что саженец елки приживется и будет успешно расти, равна 0,8. Посажено 400 саженцев. Какова вероятность того, что нормально вырастет не менее 250 деревьев? Ровно
300саженцев?
4.9.Для повышения надежности контроля за ходом технологического процесса установлены 5 однотипных датчиков. Каждый из этих датчиков независимо от остальных может выйти из строя с вероятностью 0,6. Найти вероятность того, что количество датчиков не вышедших из строя, больше одного.
4.10.Вероятность выпуска сверла повышенной хрупкости равна 0,02. Сверла упаковываются в коробки по 100 штук. Чему равна вероятность того, что в данной коробке число сверл повышенной хрупкости окажется не более двух?
5. Рабочий за смену изготовляет n деталей. Вероятность того, что деталь окажется первого сорта равна p. Найти вероятность того, что из n де-
талей первого сорта будет а) ровно m штук; б) не менее m1 штуки и не более m2 штуки.
5.1.n = 400 , p = 0,8, m = 330 , m1 = 200 , m2 = 300 .
5.2.n = 300 , p = 0,75 , m = 240, m1 =150 , m2 = 200 .
77
5.3.n = 600 , p = 0,6 , m = 375 , m1 = 400 , m2 = 500 .
5.4.n = 400 , p = 0,9 , m = 372 , m1 = 250 , m2 = 340 .
5.5. |
n = 650 , |
p = 0,64 , |
m = 370 , |
m1 = 450 , |
|
m2 = 500 . |
|
|
|
5.6.n =192 , p = 0,75 , m =150 , m1 =100 , m2 =150 .
5.7.n = 225, p = 0,8, m =165 , m1 =120 , m2 = 200 .
5.8.n =100 , p = 0,9 , m = 96 , m1 = 70 , m2 = 90 .
5.9.n =150 , p = 0,6 , m = 75 , m1 =100 , m2 =130 .
5.10.n = 625 , p = 0,8, m = 510 , m1 = 520 , m2 = 600 .
6.Дискретная случайная величина X задана законом распределения, где N – номер варианта:
x |
− N |
N |
|
2N |
|
||
p |
p1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2N |
|
||
N |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти: 1) вероятность p1 ;
2)функцию распределения F (x);
3)математическое ожидание M (X ) и дисперсию D(X ).
7. Задан закон распределения дискретной случайной величины Х (в первой строке таблицы даны возможные значения величины Х, а во второй
строке указаны вероятности p =P (X =xi ) этих возможных значений).
Найти: а) функцию распределения F (x);
б) математическое ожидание M (X ); в) дисперсию D (X ).
7.1. |
X |
23 |
25 |
28 |
29 |
31 |
|
p =P (X = xi ) |
0,3 |
0,2 |
0,3 |
0,1 |
0,1 |
7.2. |
X |
10 |
12 |
20 |
25 |
30 |
|
p =P (X = xi ) |
0,1 |
0,2 |
0,1 |
0,2 |
0,4 |
7.3. |
X |
8 |
12 |
18 |
24 |
30 |
|
p =P (X = xi ) |
0,3 |
0,1 |
0,3 |
0,2 |
0,1 |
7.4. |
X |
21 |
25 |
32 |
40 |
50 |
|
p =P (X = xi ) |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,2 |
0,2 |
7.5. |
X |
10,2 |
12,4 |
16,5 |
18,1 |
20,0 |
|
p =P (X = xi ) |
0,2 |
0,2 |
0,4 |
0,1 |
0,1 |
7.6. |
X |
11 |
15 |
20 |
25 |
32 |
|
p =P (X = xi ) |
0,4 |
0,1 |
0,3 |
0,1 |
0,1 |
78
7.7. |
X |
13 |
17 |
22 |
27 |
30 |
|
p =P (X = xi ) |
0,1 |
0,2 |
0,4 |
0,2 |
0,1 |
7.8. |
X |
14 |
18 |
23 |
28 |
30 |
|
p =P (X = xi ) |
0,1 |
0,4 |
0,3 |
0,1 |
0,1 |
7.9. |
X |
15 |
19 |
24 |
29 |
30 |
|
p =P (X = xi ) |
0,1 |
0,2 |
0,2 |
0,2 |
0,3 |
7.10. |
X |
4,6 |
5,2 |
6,8 |
7,2 |
8,4 |
|
p =P (X = xi ) |
0,3 |
0,3 |
0,1 |
0,2 |
0,1 |
8. Задана плотность вероятности случайной |
величины X f (x) . Найти: |
a , функцию распределения F(x) , математическое |
ожидание M (X ) , диспер- |
сию D(X ) .
|
|
|
|
x < 0, |
|
|
|
||
|
0, |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8.1. |
|
|
|
|
≤ x ≤ |
π |
, |
||
f (x) = a cos x, 0 |
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
x > |
. |
|
|
||
|
0, |
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|
|
x < −1, |
||||
|
|
|
, |
|
−1 ≤ x < 0, |
||||
8.2. |
2 |
3 |
|
||||||
f (x) = |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
a(1− x), 0 ≤ x ≤1, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
x < 0. |
|
||
|
0, |
|
|
|
|
||||
8.3.f (x)
8.4.f (x)
8.5.f (x)
8.6.f (x)
0, |
|
|
x < 0, |
|
|
|
|
= a sin x, 0 ≤ x ≤ π, |
|||
|
|
|
x > π. |
0, |
|
|
|
0, |
|
|
x < 0, |
|
|
|
|
= ax + a, −1 ≤ x ≤1, |
|||
|
|
|
x >1. |
0, |
|
|
|
0, |
|
x < 0, |
|
|
|
|
|
= ax2 +a, 0 ≤ x ≤ 2, |
|||
0, |
|
x > 2. |
|
|
|
|
|
0, |
|
x < 0, |
|
|
|
x |
|
|
|
||
= a 1 |
− |
|
, 0 ≤ x ≤ 2, |
|
|||
|
|
2 |
|
0, |
|
x > 2. |
|
|
|
|
|
79
|
0, |
x < 0, |
|
8.8. |
|
|
|
f (x) = ax −a, 0 ≤ x ≤ 2, 8.9. |
|||
|
|
x > 2. |
|
|
0, |
||
|
0, |
|
x < 0, |
|
|
2, 0 ≤ x ≤1, |
|
8.9. |
f (x) = ax + |
||
|
|
|
|
|
0, |
|
x >1. |
|
0, |
x <0, |
|
|
|
x |
|
|
|
||
8.10. |
f (x) = a 1+ |
|
, 0 ≤ x ≤ 2, |
|
|||
|
|
2 |
|
|
0, |
x > 2. |
|
|
|
|
|
9. Случайная величина Х задана дифференциальной функцией f (x), Найти:
1)функцию распределения F (x);
2)математическое ожидание и дисперсию;
3)построить графики дифференциальной и интегральной функций.
|
|
0, |
|
|
при |
x ≤ 0 |
|
|
||
9.1. f |
(x)= |
2x , |
|
при |
0 < x ≤1 |
|||||
|
|
0, |
|
|
при |
x >1. |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
0, |
|
|
при |
x ≤1 |
|
|
|||
9.2. f |
|
|
1 |
, |
при |
1 < x ≤ 2 |
||||
(x)= x − |
2 |
|||||||||
|
|
0, |
|
при |
x > 2. |
|
||||
|
|
|
|
|
||||||
|
0, |
|
|
при |
x ≤ 0 |
|
|
|||
9.3. f |
(x)= |
3x2 , |
|
при |
0 < x ≤1 |
|||||
|
|
0, |
|
|
при |
x >1. |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|
при |
x ≤ 0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
1 |
|||||
9.4. f |
(x)= |
6x + 2, |
при |
0 < x ≤ |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
3 |
|
|
0, |
|
|
при |
x > |
. |
|
||
|
|
|
|
3 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
80
|
|
0, |
|
|
|
при |
x ≤ 0 |
|
|
|
|
|
||||||||
9.5. |
f |
|
1 |
|
x, |
|
при |
0 < x ≤ 2 |
|
|
|
|||||||||
(x)= |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
при |
x > 2. |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
0, |
|
|
|
при |
x ≤ 0 |
|
|
|
|
|
||||||||
9.6. |
f |
|
2 |
|
x, |
|
при |
0 < x ≤ 3 |
|
|
|
|||||||||
(x)= |
9 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
при |
x > 3. |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
0, |
|
|
|
при |
x ≤ 0 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
9.7. |
f |
(x)= |
|
|
|
|
|
|
|
x, |
|
при |
0 < x ≤ 6 |
|
|
|
||||
18 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
при |
x > 6. |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
0, |
|
|
|
при |
x ≤ 0 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
9.8. |
f |
(x)= |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
, |
при |
0 < x ≤ 5 |
|
|
||||
25 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
при |
x > 5. |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
0, |
|
|
|
при |
x ≤ 0 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
9.9. |
f |
(x)= |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
, |
при |
0 < x ≤ 7 |
|
|
||||
49 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
при |
x > 7. |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
0, |
|
|
|
при |
x ≤ 0 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
9.10. |
f |
(x)= |
|
|
|
|
|
|
x, |
при |
0 < x ≤ 9 |
|
|
|||||||
81 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
при |
x > 9. |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
10. Непрерывная случайная величина X задана интегральной функ- |
||||||||||||||||||||
цией F(x) . Требуется: а) |
найти дифференциальную функцию f (x) ; б) найти |
|||||||||||||||||||
математическое ожидание М(X ) и дисперсию D(X ) ; в) построить графики |
||||||||||||||||||||
F(x), f (x) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
при |
x < − |
π |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
π |
|
|
π |
|
π |
||||||||
10.1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
F(x) = |
|
|
|
|
|
|
x + |
, |
при |
− |
4 |
≤ x ≤ |
4 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
π |
|
|
|
|
4 |
|
|
π |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, |
при |
x > |
. |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
при |
x ≤ 0 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
10.2. |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
F(x) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
при |
0 < x ≤10 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1, |
|
при |
x >10. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
81
10.3.F(x)
10.4.F(x)
10.5.F(x)
10.6.F(x)
10.7.F(x)
10.8.F(x)
10.9.F(x)
|
|
|
|
|
0, |
|
|
при |
x ≤ 0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x |
|
, |
|
при |
|
0 < x ≤ 7 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
49 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
1, |
|
|
при |
x > 7. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|
при |
|
x < − |
π |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
π |
|
π |
||||||||||
|
|
|
|
, |
при |
|
|
|
|
||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
x |
+ |
6 |
|
|
− |
|
6 |
≤ x ≤ |
6 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1, |
|
|
при |
|
x > |
. |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
0, |
|
при |
x <1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x −1 |
, |
|
при |
1 ≤ x ≤ 3 |
|
|
|||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
1, |
|
|
при |
x > 3. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
0, |
|
при |
x ≤ 2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x − 2 |
, |
|
при |
2 < x ≤ 5 |
|
|
|||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
1, |
|
при |
x > 5. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
0, |
|
|
при |
x ≤ 0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x |
|
|
, |
|
при |
|
0 < x ≤ 8 |
|
|
|
|
||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
64 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
1, |
|
|
при |
x > 8. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
0, |
|
при |
|
x ≤ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x |
, |
|
|
|
при |
|
0 < x ≤π |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1, |
при |
x >π. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
0, |
|
|
при |
x < 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|||||
2x |
|
, |
при |
0 ≤ x ≤ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
= |
π |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1, |
|
при |
|
x > |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
82
|
|
|
|
0, |
|
при |
x ≤ −1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
1 |
10.10. |
|
x + |
, |
при |
−1 |
≤ x ≤ |
||||
F(x) = |
4 |
4 |
3 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||
|
|
|
|
1, |
|
при |
x > |
. |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11. Известно, что детали выпускаемые цехом, по размеру диаметра распределены по нормальному закону. Стандартная длина диаметра детали (математическое ожидание) равна aмм , среднее квадратическое отклонение –
σмм. Найти: 1) вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали будет больше α мм и меньше βмм; 2) вероятность того, что диаметр детали
отклонится от стандартной длины не более чем на δмм. Значения a,σ,α,β,δ даны
11.1.a = 50, σ = 5, α = 45, β = 52, δ = 3 .
11.2.a = 20, σ = 3, α =17, β = 26, δ =1,5 .
11.3.a = 36, σ = 4, α = 30, β = 40, δ = 2 .
11.4.a = 60, σ = 5, α = 54, β = 70, δ = 8 .
11.5.a = 48, σ = 4, α = 45, β = 56, δ = 3 .
11.6.a = 30, σ = 3, α = 24, β = 33, δ =1,5 .
11.7.a = 35, σ = 4, α = 27, β = 37, δ = 2 .
11.8.a = 50, σ = 5, α = 40, β = 48, δ = 3.
11.9.a = 40, σ = 3, α = 34, β = 43, δ =1,5 .
11.10.a = 25, σ = 2, α = 20, β = 27, δ =1.
12.1.Средний диаметр стволов деревьев на некоторой делянке равен 25 см, среднее квадратическое отклонение равно 5 см. Считая, что диаметр ствола – случайная величина, распределенная нормально, определить размер, который не превзойдет средний диаметр ствола с вероятностью 0,96.
12.2.Известно, что некоторый размер детали имеет нормальное распределение со средним квадратическим отклонением 0,5 мм и математическим ожиданием 240 мм. Годными считаются детали, размер которых заключен между 239,5 мм и 240,5 мм. Определить вероятность изготовления годной детали.
12.3.Валики, изготовляемые автоматом, считаются стандартными, если отклонение диаметра валика от проектного размера не превышает 2 мм. Случайные отклонения диаметра валиков подчиняются нормальному закону со среднеквадратическим отклонением 1,6 мм. Определить, сколько процентов стандартных валиков изготавливает автомат.
12.4.Детали, выпускаемые цехом, по размеру диаметра распределяются по нормальному закону с математическим ожиданием, равным 10 см,
83
и дисперсией – 49 см2. Найти вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали отличается от математического ожидания не более, чем на 2 см.
12.5.Диаметр деталей, изготовленных цехом, является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Дисперсия ее равна 0,0001 см2, а математическое ожидание 2,5 см. в каких границах можно практически гарантировать диаметр деталей (за достоверное принимается событие, вероятность которого 0,9973)?
12.6.Производится взвешивание некоторого вещества без систематических (одного знака) погрешностей. Случайные погрешности взвешивания подчинены нормальному закону со среднеквадратическим отклонением 20 г. Найти вероятность того, что взвешивание будет произведено с погрешностью, не превышающей по абсолютной величине 10 г.
12.7.Изделие считается стандартным, если отклонение некоторого его размера от номинала находится в интервале (−1,8мм; 2 мм) . Случайные
отклонения размера от номинала распределены нормально со среднеквадратическим отклонением 0,7 мм. Найти число стандартных деталей в партии из 100 штук.
12.8.Детали, выпускаемые цехом, по размерам распределяются по нормальному закону с параметрами: математическое ожидание равно 5 см, среднеквадратическое отклонение 0,9 см. Найти, в каких границах следует ожидать размер детали, чтобы вероятность невыхода за эти границы была равна 0,95.
12.9.Случайная величина X распределена по нормальному закону со среднеквадратическим отклонением 5 мм и математическим ожиданием 0 мм. Найти длину интервала, симметричного относительно математического ожидания, в который с вероятностью 0,9973 попадет X в результате испытания.
12.10.По статистическим данным 80% улова рыбы отклонялось от промыслового (стандартного) размера менее, чем на 3 см. Какой процент выловленной рыбы отклоняется от промыслового размера не более, чем на 5 см, если предположить, что размер рыбы имеет нормальный закон распределения.
13. Заданы среднеквадратическое отклонение σ нормально распреде-
ленной случайной величины X , выборочная средняя x , объем выборки n . Требуется найти доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания (с надежностью γ = 0,95 ).
13.1. σ = 2 |
|
|
|
|
|
=12,45 |
n =64 . |
||||
x |
|||||||||||
13.2. σ =3 |
|
|
|
|
=12,47 |
n =36 . |
|||||
|
x |
||||||||||
13.3. σ = 7 |
|
|
|
=12,49 |
n = 49 . |
||||||
x |
|||||||||||
13.4. σ =5 |
|
|
|
=12,51 |
n =16 . |
||||||
|
x |
||||||||||
13.5. σ = 2 |
|
|
|
|
=12,53 |
n = 25 . |
|||||
|
|
x |
|||||||||
13.6. σ =9 |
|
|
=12,55 |
n =81. |
|||||||
|
x |
||||||||||
84
13.7. σ =5 |
|
|
|
=12,57 |
n =100 . |
||||
x |
|||||||||
13.8. σ =9 |
|
|
|
=12,59 |
n =36 . |
||||
|
x |
||||||||
13.9. σ =10 |
|
|
|
|
|
=12,61 |
n = 49. |
||
|
|
|
x |
||||||
13.10. σ = 6 |
|
|
|
|
|
|
=12,63 |
n =16 . |
|
|
|
|
|
|
x |
||||
14. В таблице даны результаты объёма n =100 измерений случайного признака X – вес человека -го возраста (в килограммах).
Требуется:
•составить вариационный ряд, считая число m = 9 ;
•построить гистограмму и полигон (относительных частот),
•эмпирическую функцию;
•найти характеристики вариационного ряда.
14.1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9,4 |
11,3 |
9,4 |
8,5 |
10,4 |
11,4 |
9,7 |
10,3 |
12,0 |
8,8 |
||||
|
9,3 |
8,2 |
12,4 |
12,9 |
9,3 |
9,5 |
10,5 |
9,2 |
8,4 |
14,0 |
|||
|
8,1 |
10,2 |
10,7 |
7,6 |
10,9 |
9,7 |
12,9 |
10,0 |
10,2 |
11,6 |
|||
|
12,8 |
11,3 |
10,0 |
13,5 |
12,8 |
10,8 |
11,8 |
11,7 |
10,9 |
9,4 |
|||
|
9,8 |
9,7 |
11,6 |
9,7 |
8,7 |
11,2 |
10,5 |
10,8 |
11,9 |
12,3 |
|||
|
10,7 |
9,7 |
10,6 |
10,7 |
11,8 |
11,2 |
10,0 |
11,7 |
11,8 |
11,9 |
|||
|
10,9 |
10,3 |
10,2 |
11,7 |
10,1 |
11,7 |
10,8 |
10,5 |
11,7 |
10,5 |
|||
|
9,8 |
11,7 |
11,2 |
10,8 |
11,8 |
9,7 |
44,0 |
47,8 |
47,9 |
46,7 |
|||
|
10,6 |
10,0 |
11,8 |
9,3 |
10,6 |
9,9 |
9,9 |
11,8 |
10,7 |
10,0 |
|||
|
10,7 |
10,8 |
9,7 |
12,8 |
12,5 |
11,3 |
13,4 |
12,8 |
9,0 |
11,0 |
|||
14.2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
59,4 |
81,3 |
79,4 |
58,5 |
70,4 |
48,4 |
52,7 |
|
51,3 |
|
50,0 |
|
48,8 |
|
|
66,3 |
48,2 |
52,4 |
52,9 |
69,3 |
49,5 |
50,5 |
|
69,2 |
|
68,4 |
|
64,0 |
|
68,1 |
50,2 |
50,7 |
67,6 |
50,9 |
69,7 |
53,9 |
|
54,0 |
|
53,2 |
|
45,6 |
|
54,8 |
64,3 |
74,0 |
63,5 |
52,8 |
63,8 |
62,8 |
|
63,7 |
|
52,9 |
|
61,4 |
|
69,8 |
49,7 |
77,6 |
76,7 |
63,7 |
64,2 |
63,5 |
|
53,8 |
|
41,9 |
|
66,3 |
|
64,7 |
79,7 |
77,6 |
78,7 |
52,8 |
51,2 |
50,0 |
|
52,7 |
|
45,8 |
|
64,9 |
|
70,9 |
79,3 |
50,2 |
71,7 |
64,1 |
68,7 |
49,8 |
|
60,5 |
|
61,7 |
|
53,5 |
|
75,8 |
51,7 |
45,2 |
64,8 |
53,8 |
74,7 |
64,0 |
|
67,8 |
|
77,9 |
|
66,7 |
|
79,6 |
54,0 |
52,8 |
67,3 |
78,6 |
69,9 |
53,9 |
|
81,8 |
|
60,7 |
|
74,0 |
|
78,7 |
80,8 |
99,7 |
92,8 |
52,5 |
61,3 |
53,4 |
|
69,8 |
|
75,0 |
|
77,0 |
14.3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
94,4 |
91,3 |
94,4 |
84,5 |
90,4 |
84,4 |
92,7 |
|
91,3 |
|
90,0 |
|
88,4 |
|
|
86,3 |
84,2 |
92,4 |
92,5 |
94,3 |
94,5 |
90,5 |
|
94,2 |
|
84,4 |
|
84,0 |
|
84,1 |
90,2 |
90,7 |
87,6 |
90,9 |
94,7 |
95,3 |
|
84,0 |
|
88,2 |
|
90,6 |
|
94,8 |
94,3 |
94,0 |
93,5 |
92,8 |
93,8 |
92,8 |
|
93,7 |
|
92,5 |
|
91,4 |
|
94,8 |
94,7 |
87,6 |
89,7 |
90,7 |
91,2 |
93,5 |
|
93,8 |
|
91,9 |
|
86,3 |
|
84,7 |
89,7 |
87,6 |
88,7 |
92,8 |
91,2 |
90,0 |
|
92,7 |
|
85,8 |
|
94,9 |
|
90,9 |
89,3 |
90,2 |
91,7 |
94,1 |
88,7 |
89,8 |
|
90,5 |
|
91,7 |
|
93,5 |
85
|
85,8 |
91,7 |
85,2 |
94,8 |
93,8 |
94,7 |
94,0 |
87,8 |
87,9 |
86,7 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
89,6 |
94,0 |
92,8 |
87,3 |
88,6 |
89,9 |
93,9 |
91,8 |
90,7 |
94,0 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
14.4. |
88,7 |
90,8 |
89,7 |
92,8 |
92,5 |
91,3 |
93,4 |
89,8 |
95,0 |
87,0 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
49,7 |
51,6 |
49,6 |
48,1 |
50,4 |
|
48,9 |
|
52,0 |
|
51,8 |
|
50,0 |
|
48,0 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
46,7 |
48,8 |
52,7 |
52,8 |
49,5 |
|
49,1 |
|
50,7 |
|
49,0 |
|
48,9 |
|
44,0 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
48,8 |
50,7 |
50,8 |
47,7 |
50,6 |
|
49,3 |
|
53,8 |
|
54,2 |
|
53,9 |
|
45,7 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
44,1 |
44,9 |
54,1 |
53,8 |
52,1 |
|
43,7 |
|
42,9 |
|
53,8 |
|
52,7 |
|
51,5 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
49,0 |
49,5 |
47,2 |
46,5 |
43,9 |
|
44,8 |
|
43,4 |
|
53,7 |
|
41,8 |
|
46,9 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
44,3 |
49,7 |
47,3 |
48,6 |
52,2 |
|
51,4 |
|
50,5 |
|
52,5 |
|
45,9 |
|
44,3 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
50,2 |
49,8 |
50,2 |
51,2 |
54,8 |
|
48,2 |
|
49,6 |
|
50,7 |
|
51,9 |
|
53,4 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
45,4 |
51,3 |
45,5 |
44,4 |
53,3 |
|
44,6 |
|
44,3 |
|
47,6 |
|
47,2 |
|
46,6 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
49,5 |
54,9 |
52,7 |
47,7 |
48,7 |
|
49,0 |
|
53,2 |
|
51,6 |
|
50,4 |
|
54,0 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
48,2 |
50,2 |
49,8 |
52,1 |
52,0 |
|
51,1 |
|
53,1 |
|
49,3 |
|
45,0 |
|
47,8 |
|
|
|
|||||||||||||||
14.5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
69,4 |
51,3 |
|
69,4 |
|
68,5 |
|
50,4 |
|
68,4 |
|
52,7 |
|
51,3 |
|
50,0 |
|
68,8 |
|
|
|
|||||||||||||
|
66,3 |
68,2 |
|
62,4 |
|
52,9 |
|
69,3 |
|
69,5 |
|
|
50,5 |
|
69,2 |
|
68,4 |
|
64,0 |
|
|
|
|||||||||||
|
68,1 |
50,2 |
|
50,7 |
|
67,6 |
|
50,9 |
|
|
69,7 |
|
|
53,9 |
|
|
54,0 |
|
|
53,2 |
|
|
65,6 |
|
|
|
|||||||
|
64,8 |
64,3 |
|
54,0 |
|
53,5 |
|
52,8 |
|
|
63,8 |
|
|
62,8 |
|
|
53,7 |
|
|
52,9 |
|
|
61,4 |
|
|
|
|||||||
|
69,8 |
69,7 |
|
67,6 |
|
66,7 |
|
63,7 |
|
|
64,2 |
|
|
63,5 |
|
|
53,8 |
|
|
61,9 |
|
|
66,3 |
|
|
|
|||||||
|
64,7 |
69,7 |
|
67,6 |
|
68,7 |
|
52,8 |
|
|
51,2 |
|
|
50,0 |
|
|
52,7 |
|
|
65,8 |
|
|
64,9 |
|
|
|
|||||||
|
50,9 |
69,3 |
|
60,2 |
|
51,7 |
|
54,1 |
|
|
68,7 |
|
|
69,8 |
|
|
50,5 |
|
|
51,7 |
|
|
53,5 |
|
|
|
|||||||
|
65,8 |
51,7 |
|
65,2 |
|
64,8 |
|
53,8 |
|
|
64,7 |
|
|
64,0 |
|
|
67,8 |
|
|
67,9 |
|
|
66,7 |
|
|
|
|||||||
|
69,6 |
54,0 |
|
62,8 |
|
67,3 |
|
68,6 |
|
|
69,9 |
|
|
53,9 |
|
|
51,8 |
|
|
50,7 |
|
|
54,0 |
|
|
|
|||||||
|
68,7 |
50,8 |
|
69,7 |
|
52,8 |
|
52,5 |
|
|
51,3 |
|
|
53,4 |
|
|
69,8 |
|
|
65,0 |
|
|
67,0 |
|
|
|
|||||||
14.6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
41,4 |
54,3 |
|
45,4 |
|
40,5 |
|
51,4 |
|
48,4 |
|
57,7 |
|
58,3 |
|
57,0 |
|
46,8 |
|
|
|
|||||||||||||
|
42,3 |
43,2 |
|
56,4 |
|
59,9 |
|
42,3 |
|
49,5 |
|
|
56,5 |
|
49,2 |
|
48,4 |
|
45,0 |
|
|
|
|||||||||||
|
43,1 |
50,2 |
|
57,7 |
|
48,6 |
|
53,9 |
|
|
44,7 |
|
|
55,9 |
|
|
50,0 |
|
|
59,2 |
|
|
44,6 |
|
|
|
|||||||
|
41,8 |
49,3 |
|
52,0 |
|
51,5 |
|
51,8 |
|
|
48,8 |
|
|
48,8 |
|
|
51,7 |
|
|
50,9 |
|
|
50,4 |
|
|
|
|||||||
|
42,8 |
48,7 |
|
48,6 |
|
47,7 |
|
48,7 |
|
|
49,2 |
|
|
47,5 |
|
|
50,8 |
|
|
49,9 |
|
|
48,3 |
|
|
|
|||||||
|
43,7 |
47,7 |
|
49,6 |
|
49,7 |
|
53,8 |
|
|
50,2 |
|
|
53,0 |
|
|
51,7 |
|
|
48,8 |
|
|
47,9 |
|
|
|
|||||||
|
51,9 |
48,3 |
|
52,2 |
|
50,7 |
|
52,1 |
|
|
47,7 |
|
|
46,8 |
|
|
52,5 |
|
|
50,7 |
|
|
52,5 |
|
|
|
|||||||
|
46,8 |
53,7 |
|
47,2 |
|
46,8 |
|
54,8 |
|
|
49,7 |
|
|
47,0 |
|
|
48,8 |
|
|
49,9 |
|
|
49,7 |
|
|
|
|||||||
|
47,6 |
52,0 |
|
50,8 |
|
48,3 |
|
47,6 |
|
|
47,9 |
|
|
50,9 |
|
|
50,8 |
|
|
53,7 |
|
|
50,0 |
|
|
|
|||||||
|
48,7 |
51,8 |
|
48,7 |
|
51,8 |
|
50,5 |
|
|
52,3 |
|
|
51,4 |
|
|
47,8 |
|
|
47,0 |
|
|
48,0 |
|
|
|
|||||||
14.7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
99,9 |
91,3 |
|
79,4 |
|
78,5 |
|
70,4 |
|
78,4 |
|
62,7 |
|
51,3 |
|
60,0 |
|
58,8 |
|
|
|
|||||||||||||
|
86,3 |
88,2 |
|
82,4 |
|
72,9 |
|
79,3 |
|
79,5 |
|
90,5 |
|
69,2 |
|
78,4 |
|
84,0 |
|
|
|
||||||||||||
|
78,1 |
70,2 |
|
90,7 |
|
|
87,6 |
|
|
80,9 |
|
|
|
79,7 |
|
|
|
83,9 |
|
|
|
64,0 |
|
|
|
53,2 |
|
|
|
75,6 |
|
|
|
|
74,8 |
74,3 |
|
84,0 |
|
|
83,5 |
|
|
82,8 |
|
|
|
73,8 |
|
|
|
72,8 |
|
|
|
83,7 |
|
|
|
52,9 |
|
|
|
51,4 |
|
|
|
|
79,8 |
69,7 |
|
87,6 |
|
|
86,7 |
|
|
83,7 |
|
|
|
64,2 |
|
|
|
73,5 |
|
|
|
73,8 |
|
|
|
81,9 |
|
|
|
66,3 |
|
|
|
|
84,7 |
69,7 |
|
77,6 |
|
|
78,7 |
|
|
82,8 |
|
|
|
61,2 |
|
|
|
70,0 |
|
|
|
52,7 |
|
|
|
95,8 |
|
|
|
64,9 |
|
|
|
|
60,9 |
79,3 |
|
70,2 |
|
|
61,7 |
|
|
64,1 |
|
|
|
88,7 |
|
|
|
89,8 |
|
|
|
50,5 |
|
|
|
61,7 |
|
|
|
52,5 |
|
|
|
86
|
65,8 |
81,7 |
75,2 |
64,8 |
63,8 |
84,7 |
64,0 |
87,8 |
87,9 |
56,7 |
|
|||||||||||||||||
|
69,6 |
64,0 |
62,8 |
67,3 |
68,6 |
79,9 |
63,9 |
51,8 |
70,7 |
94,0 |
|
|||||||||||||||||
14.8. |
68,7 |
70,8 |
69,7 |
52,8 |
62,5 |
71,3 |
63,4 |
79,8 |
85,0 |
49,9 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32,4 |
29,1 |
28,5 |
28,5 |
30,5 |
33,4 |
|
34,8 |
|
31,7 |
|
34,5 |
|
29,8 |
|
||||||||||||||
|
34,1 |
28,2 |
32,4 |
32,9 |
29,3 |
29,5 |
|
30,5 |
|
29,2 |
|
28,4 |
|
34,0 |
|
|||||||||||||
|
28,1 |
30,2 |
30,7 |
37,6 |
30,9 |
29,7 |
|
33,9 |
|
34,0 |
|
33,2 |
|
31,4 |
|
|||||||||||||
|
34,8 |
34,3 |
34,0 |
33,5 |
32,8 |
33,8 |
|
32,8 |
|
33,7 |
|
32,9 |
|
31,4 |
|
|||||||||||||
|
29,8 |
29,7 |
31,6 |
30,7 |
33,7 |
34,2 |
|
33,5 |
|
33,8 |
|
31,9 |
|
26,3 |
|
|||||||||||||
|
34,7 |
29,7 |
27,6 |
28,7 |
32,8 |
31,2 |
|
30,0 |
|
32,7 |
|
35,8 |
|
34,2 |
|
|||||||||||||
|
30,9 |
29,3 |
30,2 |
31,7 |
34,1 |
28,7 |
|
29,8 |
|
30,5 |
|
31,7 |
|
31,2 |
|
|||||||||||||
|
35,8 |
31,7 |
35,2 |
34,8 |
23,8 |
34,7 |
|
34,0 |
|
27,8 |
|
27,9 |
|
29,4 |
|
|||||||||||||
|
29,6 |
34,0 |
32,8 |
27,3 |
28,6 |
29,9 |
|
33,9 |
|
31,8 |
|
30,7 |
|
30,7 |
|
|||||||||||||
|
28,7 |
30,8 |
29,7 |
32,8 |
32,5 |
31,3 |
|
33,4 |
|
29,8 |
|
33,4 |
|
29,0 |
|
|||||||||||||
14.9. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
19,3 |
21,3 |
19,4 |
|
20,5 |
|
20,4 |
|
18,4 |
|
22,7 |
|
21,3 |
|
20,0 |
|
18,8 |
|
|||||||||||
|
19,3 |
19,2 |
20,4 |
|
20,9 |
|
19,3 |
|
19,5 |
|
20,5 |
|
19,2 |
|
19,4 |
|
20,0 |
|
||||||||||
|
19,1 |
20,2 |
20,7 |
|
19,6 |
|
20,9 |
|
19,7 |
|
|
21,9 |
|
|
20,0 |
|
|
20,2 |
|
19,6 |
|
|||||||
|
21,8 |
19,3 |
21,0 |
|
20,5 |
|
20,8 |
|
19,8 |
|
|
19,8 |
|
|
20,3 |
|
|
22,9 |
|
21,4 |
|
|||||||
|
19,8 |
19,7 |
19,6 |
|
19,7 |
|
19,7 |
|
19,2 |
|
|
19,5 |
|
|
20,8 |
|
|
21,9 |
|
19,3 |
|
|||||||
|
18,7 |
19,7 |
19,6 |
|
19,7 |
|
21,8 |
|
21,2 |
|
|
20,0 |
|
|
22,7 |
|
|
19,8 |
|
19,9 |
|
|||||||
|
20,9 |
19,3 |
20,2 |
|
21,7 |
|
21,1 |
|
18,7 |
|
|
19,8 |
|
|
20,5 |
|
|
21,7 |
|
20,5 |
|
|||||||
|
19,8 |
21,7 |
19,2 |
|
19,8 |
|
22,8 |
|
20,7 |
|
|
19,0 |
|
|
20,8 |
|
|
19,9 |
|
19,7 |
|
|||||||
|
19,6 |
20,0 |
22,8 |
|
17,3 |
|
19,6 |
|
19,9 |
|
|
20,9 |
|
|
21,8 |
|
|
20,7 |
|
20,0 |
|
|||||||
|
19,7 |
20,8 |
19,7 |
|
22,8 |
|
20,5 |
|
21,3 |
|
|
20,4 |
|
|
19,8 |
|
|
19,0 |
|
19,0 |
|
|||||||
14.10. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
79,4 |
|
81,3 |
|
79,4 |
|
78,5 |
|
80,4 |
|
88,4 |
|
82,7 |
|
81,3 |
|
80,0 |
|
78,8 |
|
|||||||||
|
|
76,3 |
|
78,2 |
|
82,4 |
|
82,9 |
|
79,3 |
|
79,5 |
|
80,5 |
|
79,2 |
|
78,4 |
|
74,0 |
|
|||||||
|
|
78,1 |
|
80,2 |
|
80,7 |
|
|
77,6 |
|
|
80,9 |
|
|
79,7 |
|
|
|
83,9 |
|
|
84,0 |
|
|
83,2 |
|
75,6 |
|
|
|
74,8 |
|
74,3 |
|
84,0 |
|
|
83,5 |
|
|
82,8 |
|
|
83,8 |
|
|
|
72,8 |
|
|
83,7 |
|
|
82,9 |
|
81,4 |
|
|
|
79,8 |
|
79,7 |
|
87,6 |
|
|
76,7 |
|
|
73,7 |
|
|
84,2 |
|
|
|
73,5 |
|
|
83,8 |
|
|
71,9 |
|
76,3 |
|
|
|
74,7 |
|
79,7 |
|
77,6 |
|
|
78,7 |
|
|
82,8 |
|
|
81,2 |
|
|
|
80,0 |
|
|
82,7 |
|
|
75,8 |
|
74,9 |
|
|
|
80,9 |
|
79,3 |
|
80,2 |
|
|
81,7 |
|
|
84,1 |
|
|
88,7 |
|
|
|
89,8 |
|
|
80,5 |
|
|
81,7 |
|
83,5 |
|
|
|
75,8 |
|
81,7 |
|
75,2 |
|
|
74,8 |
|
|
83,8 |
|
|
74,7 |
|
|
|
74,0 |
|
|
77,8 |
|
|
77,9 |
|
76,7 |
|
|
|
79,6 |
|
84,0 |
|
82,8 |
|
|
77,3 |
|
|
78,6 |
|
|
79,9 |
|
|
|
83,9 |
|
|
81,8 |
|
|
80,7 |
|
84,0 |
|
|
|
78,7 |
|
80,8 |
|
79,7 |
|
|
82,8 |
|
|
82,5 |
|
|
81,3 |
|
|
|
83,4 |
|
|
79,8 |
|
|
75,0 |
|
77,0 |
|
87