ГЛАВА 5. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

ОСЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИНАХ

5.1.Функции случайных величин, основные понятия

Случайную величину Y называют функцией случайной величины X , если каждому значению x величины X ставится в соответствие по некоторому правилу ψ одно значение y величины Y . Кратко пишут Y =ψ (X ) .

X называется независимой случайной величиной (или случайным аргументом), Y – зависимой случайной величиной.

Если X – дискретная случайная величина, то очевидно, Y –также дискретная случайная величина, значения которой находятся по формуле y =ψ (x) , при этом одинаковые значения y принимаются за одно значение.

Согласно теории его вероятность равна сумме вероятностей соответствующих значений x , а вероятности не повторяющихся значений y равны ве-

роятностям своих значений x . Таким образом, оказывается найденным за-

кон распределения для Y .

Случайную величину Z называют функцией случайных величин (или аргументов) X и Y , если каждой паре x и y значений этих величин ставит-

ся в соответствие по некоторому правилуψ одно значение z величины Z . Кратко пишут Z =ψ (X ,Y ) .

Пусть X и Y – дискретные независимые случайные величины. Для составления закона распределения функции Z находим её значения по формуле z =ψ (x, y) и их вероятности. Согласно теории вероятности непо-

вторяющихся значений z равны произведению вероятностей соответствующих значений x и y, а для одинаковых значений z произведения

складывают.

По аналогии с функцией двух случайных аргументов определяют и функции большего числа случайных величин.

5.2. Числовые характеристики случайных величин, их свойства

Числовыми характеристиками случайной величины называют числа, описывающие её свойства. Основными среди них являются математическое ожидание и дисперсия.

Математическим ожиданием случайной величины X называют её среднее значение; обозначим M (X ) .

Если X – дискретная случайная величина, то:

39

M (X ) = x1 p1 + x2 p2 + + xn pn , n ≤ ∞, где значения x1 , x2 , , xn – величины X , а p1 , p2 , , pn – их вероятности;

n

M (ψ(X )) = ∑ψ(xi ) pi .

i=1

Если X – непрерывная случайная величина, то:

M (X ) = +∞∫x f (x)dx ,

−∞

где f (x) – дифференциальная функция распределения;

+∞

M (ψ (X )) = ∫ψ (x) f (x)dx .

−∞

Свойства математического ожидания: 1. M (C) = C , где C – постоянная величина;

2. M (C X ) = C M (X ) ;

3. M (X ±Y ) = M (X ) + M (Y ) ; 4. M (X Y ) = M (X ) M (Y ) .

В формуле 4 случайные величины X и Y считаются независимыми; формула 3 верна для любого конечного числа слагаемых; свойства справедливы как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин.

Дисперсией случайной величины X называют среднее значение (или математическое ожидание) величины Y = (X − M (X ))2 ; обозначим D(X ) .

Если X – дискретная случайная величина, то

n

D(X ) = ∑(xi − M (X ))2 pi .

i=1

Если X – непрерывная случайная величина, то

+∞

D(X ) = ∫(x − M (X ))2 f (x)dx .

−∞

Для вычислений более удобны соответственно формулы:

D(X ) = x12 p1 + x22 p2 + + x2n pn ;

D(X ) = +∞∫x2 f (x)dx − (M (X ))2 .

−∞

Свойства дисперсии:

1. D(C) = 0 ;

2. D(X ) ≥ 0 ;

3.D(C X ) = C 2 D(X ) ;

4.D(X ±Y ) = D(X ) + D(Y ) .

В формуле 4 случайные величины независимые, их число может быть больше двух, но конечным; свойства справедливы для дискретных и непрерывных случайных величин.

40

Отметим, что вместо дисперсии D(X ) часто используется так назы-

ваемое среднее квадратическое отклонение случайной величины X ; обо-

значают σ(X ) . По определению полагают

σ(X ) = D(X ) .

Встречаются также такие характеристики как начальный νk и центральный µk моменты, равные математическому ожиданию соответ-

ственно величины xk и величины (x − M (X ))k , где k – порядок момента,

k=1,2, .

Вчастности, ν1 = M (X ) , µ2 = D(X ) .

5.3. Некоторые основные распределения случайных величин

Рассмотрим некоторые распределения, которые часто встречаются на практике.

1. Говорят, что дискретная случайная величина X распределена по биномиальному закону, если вероятности ее значений находятся по формуле Бернулли (см. пункт 1.8). При этом оказывается, что M (X ) = N p ,

D(X ) = N p q .

2.Распределение дискретной случайной величины X называют пуассоновским, если для вычисления ее значений требуется формула Пуассона (см. пункт 1.8), в которой теперь параметр λ = M (X ) .

3.Закон распределения непрерывной случайной величины X называется равномерным, если ее дифференциальная функция имеет вид (рис. 7):

Рис. 7

41

Интегральная функция распределения равна (рис. 8):

0, если x ≤ a

x − a

F(x) = b − a , если a < x ≤b

1, если x >b.

4. Говорят, что непрерывная случайная величина X распределена по

нормальному закону (или закону Гаусса), если ее дифференциальная функ-

ция имеет вид (рис. 9):

где M (X ) = a +2 b , σ =σ(X ) .

Рис. 9

Вероятность попадания X в заданный интервал находится по форму-

ле:

42