ГЛАВА 7. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ

7.1. Оценки неизвестных параметров распределения

Распределение вероятностей (или теоретическое распределение)

случайной величины X обычно бывает неизвестным, либо есть основания предполагать, что оно того или иного вида. Определяющие параметры и другие числовые характеристики теоретического распределения находятся приближённо с помощью соответствующего эмпирического распределения.

Приближённое значение a* некоторого оцениваемого параметра a , истинное значение которого неизвестно, называют точечной оценкой этого параметра.

Таким образом, она выражается приближённым равенством:

a ≈ a* .

Оценка a* изменяется при переходе от одной выборки к другим того же объёма n , т.е. она является случайной величиной.

Точечная оценка a* называется несмещённой (смещённой), если её математическое ожидание M (a* ) равно (не равно) оцениваемому параметру a . Согласно теории несмещённая оценка является более точной по срав-

нению со смещённой оценкой (для одной и той же выборки). Ещё лучше эффективная оценка, при которой выборка имеет наименьшую дисперсию. Наилучшей является состоятельная оценка, которая при n → ∞ стремится

(по вероятности) к оцениваемому параметру, т.е. lim P(a − a* < ε )=1, где ε –

n→∞

сколь угодно малое положительное число.

Отметим, что средняя выборочная x есть несмещённая оценка математического ожидания M (x) , а выборочная дисперсия Dx есть смещённая оценка дисперсии D(x) . Несмещённой оценкой для D(x) является так

называемая исправленная дисперсия (обозначают S 2 ), равная

S 2 = n n−1 Dx .

Для оценки среднего квадратического отклонения σ используют исправленное среднее квадратическое отклонение S , которое не является несмещённой оценкой. Относительная частота W события есть несмещённая и состоятельная оценка вероятности P этого события.

Отметим, что и другие соответствующие эмпирические и теоретические характеристики также связаны приближённым равенством.

Точечная оценка не позволяет судить о величине погрешности приближения. Поэтому вводят в рассмотрение интервальную оценку:

a − a* <δ ,

или, что то же самое,

61

a* −δ < a < a* +δ .

Очевидно, что чем меньше число δ > 0 , тем точечная оценка a* точнее. В статистике можно говорить только о вероятности j осуществления

этого неравенства. Она задаётся наперёд близко к единице и называется доверительной вероятностью (или надёжностью), а сам интервал называют доверительным.

Часто требуется найти доверительный интервал с надёжностью j для

математического ожидания a нормальной случайной величины. При известном значении σ этот интервал имеет вид:

x −δ < a < x +δ ,

где δ = t σn , число t находится из условия j = 2Φ(t) , Φ(t) – интегральная

функция Лапласа (см. [1], приложение 2).

При неизвестном значении σ интервальная оценка имеет вид:

j = 2Φ(t j ) , при n < 30 число t j берут из таблицы (см. [1], приложение 3) по заданным n и j .

7.2. Проверка гипотезы о нормальном распределении

Вариационный ряд даёт (не всегда) основание выдвинуть гипотезу о том, что данное изучаемое распределение относится к одному из известных в теории распределений. Для проверки этой гипотезы о виде распределения имеются различные критерии, в частности критерий Пирсона. Он имеет то достоинство, что аналогично применяется для различных распределений.

Его суть состоит в сравнении двух чисел, обозначим их ν и µ . Соот-

ветствующим образом первое вычисляется, а второе выбирается по таблице. Если ν < µ , то гипотеза считается верной с вероятностью (или надёж-

ностью) 1 −α , где α – заданная малая величина. Её называют уровнем значимости. Если ν ≥ µ , то гипотеза отвергается.

Числа ν и µ применительно к рассматриваемому распределению с

учётом принятых ранее обозначений определяются так. 1. Находим числа (теоретические частоты)

ni′ = nσxh ϕ(zi ) ,

62

(см. [1], приложение 1). 2. Находим числа

ci = (ni′ −′ni )2 . ni

3. Находим результирующее число

m

ν = ∑ci .

i=1

4. Число µ – это значение случайной величины χ2 (читается «хи-

квадрат»), берётся из таблицы (см. [1], приложение 5) при заданных параметрах α и k = m −3 .

7.3. Примеры

Ниже иллюстрируется теория из пунктов 2.1, 2.2.

Пример 1.

В результате измерений некоторой физической величины X получены следующие результаты: 4, 5, 8, 9, 11. Найти несмещённую оценку её математического ожидания.

Решение.

Запишем данную выборку в виде вариационного ряда:

Найдём выборочную среднюю, которая и есть искомая оценка. Име-

ем x = 15 (1 4 +5 1+8 1+9 1+11 1)= 7,4. Значит, M (x) ≈ 7,4 .

Пример 2.

Проведено три измерения некоторой случайной величины X : 11, 13, 15. Найти смещённую и несмещённую оценки её дисперсии.

Решение.

Найдём выборочную и исправленную дисперсии, которые соответ-

63

Пример 3.

Дано эмпирическое распределение:

закону Пуассона. Найти точечную оценку его параметра λ .

Решение.

Известно, что M (X ) = λ и M (X ) ≈ x . Значит, λ ≈ x .

Объём выборки n = 200 . Имеем x = 2001 (0 132 +1 43 + 2 20 + 3 3 + 4 2)= 0,5 .

Итак, λ ≈0,5 .

Пример 5.

Найти доверительный интервал для оценки (с надёжностью j = 0,92)

неизвестного математического ожидания a нормально распределённой случайной величины X , если её среднее квадратическое отклонение

выборочная средняя x =10,6, объём выборки n =16 .

Решение.

64

Имеем Φ(t) = 2j = 0,292 = 0,46 . По таблице находим t =1,75 ; вычисляем

δ = 1,75164 =1,75.

Искомое неравенство:

10,2 −1,75 <a <10,2 +1,75, т.е. 8,45 < a <11,95 .

Пример 6.

Найти минимальный объём выборки, при котором с надёжностью j = 0,92 точность δ оценки математического ожидания нормальной слу-

чайной величины равна 0,3, если среднее квадратическое отклонение этой величины равно 4.

Решение.

Воспользуемся тем, что δ = t σn .

Отсюда

n = t 2 σ 2 δ 2 .

Из предыдущего примера t =1,75 . Тогда

n = 1,752 2 42 = 544 . 0,3

Пример 7. Найти интервальную оценку с надёжностью j = 0,95 для a = M (x) нормального распределения из примера 2.

Решение. В данном случае можно воспользоваться формулой:

δ =1,96 310,12 ≈ 0,6 ; искомый доверительный интервал:

49,1−0,6 < a < 49,1+0,6 , или 48,5 < a < 49,7 .

Пример 8. Проверить статистическую гипотезу о нормальном распределении для X при уровне значимости α = 0,05 из примера 11.

Решение. Пусть имеется вариационный ряд относительных частот (столбцы 3 и 5 из таблицы 2). Его полигон напоминает график нормального распределения. Для более строгого вывода о верности данной гипотезы

65

делают расчёты, которые при использовании критерия Пирсона состоят в следующем.

µ = χ2 (α;m −3) = χ2 (0,05;6) =12,6 .

Видим, что ν < µ . Значит, гипотеза о нормальном распределении

случайной величины X , представленной выборкой (таблица 1), является верной с надёжностью 0,95 .

66