ГЛАВА 8. КОРРЕЛЯЦИЯ
8.1. Виды связи двух случайных величин
Пусть X , Y – случайные величины, значения x, y которых появляются в одном и том же испытании. Возможны следующие случаи:
1)величины X , Y – независимые, т.е. когда вероятности значений одной не зависят от того, какие значения принимает другая;
2)между величинами X и Y имеется функциональная зависимость (однозначная), т.е. когда каждому значению одной соответствует (по определённому правилу) одно значение другой;
3)между величинами X и Y существует статистическая зависимость (многозначная), т.е. когда каждому значению одной соответствует несколько значений другой.
Если последние заменить их средним арифметическим значением, то получится функциональная зависимость, которую называют корреляционной
(или регрессионной). График этой функции называют линией регрессии.
8.2. Линейная корреляция
Возникает задача приближённого представления (точное выражение, вообще говоря, невозможно) таблично заданной функции в аналитическом виде. В простейшем случае линейной корреляции имеем:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yx |
= ax + b , |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
σ |
y |
|
|
|
|
|
|
1 |
∑xynxy − x y |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
a = r |
|
|
b = y − ax ; |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||||||
где |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
r |
= |
|
|
|
|
|
; |
σ |
x |
2 = |
∑x2 nx − x 2 |
; |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
σx |
|
|
n |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
σ x σ y |
|
|
|
|
|
|||||||||
σ |
y 2 = |
1 |
∑y 2 ny − y 2 ; |
x = |
∑xnx ; |
y = |
∑yny . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь в суммах для краткости и простоты опущены индексы суммирования. В примере 4 из пункта 8.3 показано применение этих формул.
Отметим, что при данных коэффициентах a и b обеспечивается минимум суммы квадратов разностей значений табличной и аналитической функций для yx . Последняя является наилучшей (в указанном смысле) из
всех линейных функций. Процедура её построения называется методом наименьших квадратов. При необходимости прибегают к нелинейной, например квадратичной корреляции.
8.3. Примеры
Ниже иллюстрируется теория из пунктов 8.1, 8.2.
Пример 1.
67
Бросают один раз два игральных кубика. X и Y – число выпавших очков соответственно на первом и втором кубиках – это независимые случайные величины.
Пример 2.
Дан закон распределения вероятностей случайной величины X :
|
|
x1 = 0 |
|
|
|
|
x2 |
=1 |
|
|
x3 =2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p1 = 0,3 |
|
|
|
|
p1 = 0,6 |
|
|
p1 = 0,1 |
||
|
Требуется |
составить закон |
распределения случайной величины |
|||||||||
Y =(X −1)2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Значения величины Y вычисляются по формуле y = (x −1)2 |
и равны |
||||||||||
y1 |
=1, |
y2 =0, |
а |
их |
вероятности |
соответственно |
равны |
|||||
g1 = p1 + p3 = 0,3+0,1 = 0,4 , |
|
так |
как |
y1 |
получается за |
счёт x1 |
или x3 ; |
|||||
g2 |
= p3 = 0,6 , так как y2 |
получается за счёт |
x2 . Закон распределения для |
|||||||||
Y имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y1 =1 |
|
|
|
|
|
|
y2 |
= 0 |
|
|
|
g1 = 0,4 |
|
|
|
|
|
|
g2 |
= 0,6 |
|
|
Пример 3.
Дана корреляционная таблица 3 (или выборка значений x и y , абсолютных частот их пар случайных величин X и Y ).
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 3 |
Y \ X |
4 |
9 |
14 |
19 |
24 |
29 |
ny |
30 |
3 |
3 |
|
|
|
|
6 |
40 |
|
5 |
4 |
|
|
|
9 |
50 |
|
|
40 |
2 |
8 |
|
50 |
60 |
|
|
5 |
10 |
6 |
|
21 |
1470 |
|
|
|
4 |
7 |
3 |
14 |
nx |
3 |
8 |
49 |
16 |
21 |
3 |
n =100 |
Требуется найти корреляционную зависимость (в табличном виде)
Y от X .
Решение.
В таблице 4 представлена статистическая зависимость X и Y . Поясним эту таблицу. На пересечении строк и столбцов указаны частоты nxy
пар чисел (x; y) . Например, пара (9; 30) встречается три раза, т.е. nxy =3. Для пар (9; 40) и (9; 50) соответственно nxy =5 и nxy =0 и т.д. В нижней строке указаны суммы частот значений x. Например, x = 4 встречается три раза, т.е. nx =3. Для x =9 и x =14 соответственно nx =8 и nx =49 . Аналогично для
68
значений |
|
y |
служит |
последний |
столбец. |
Например, |
y = 30 |
встречается |
|||||
шесть раз, т.е. |
ny = 6 и т.д. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Для каждого x найдём среднее арифметическое (или условную сред- |
|||||||||||||
нюю) yx значений y : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
30 3 |
= 30 |
; 30 3 + 40 5 ≈ 36 ; 40 4 + 50 40 + 60 5 ≈ 50 ; |
|
|
|
||||||||
3 |
|
|
8 |
|
|
|
49 |
|
|
|
|
|
|
50 2 + 60 10 + 70 4 ≈ 61; 50 8 + 60 6 + 70 7 ≈ 60 ; 70 3 |
= 70 . |
|
|
||||||||||
|
16 |
|
|
|
21 |
|
3 |
|
|
|
|
||
Составим таблицу 4 по результатам вычислений. |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 4 |
x |
|
|
4 |
|
9 |
|
14 |
|
19 |
|
24 |
|
29 |
yx |
|
|
30 |
|
36 |
|
50 |
|
61 |
|
60 |
|
70 |
Таким образом, |
yx есть функция от |
x, другими словами, это корре- |
|||||||||||
ляционная зависимость Y от X . Её график (или линия регрессии) в данном случае состоит из шести точек.
Рис. 7
Это множество точек можно аппроксимировать прямой линией (она отыскивается ниже в примере 4).
Пример 4.
Найти выборочное уравнение прямой регрессии Y на X по корреляционной таблице 3.
Решение.
Последовательно находим:
x = 1001 (4 3 + 9 8 +14 49 +19 16 + 24 21+ 29 3)=16,65 ;
σx2 =1001 (42 3 +92 8 +142 49 +192 16 + 242 21+ 292 3)−16,652 ≈ 29,73;
σx = 
29,73 ≈5,45;
69
y = 1001 (30 6 + 40 9 + 50 50 + 60 21 + 70 14)= 52,80 ;
σ y2 = 1001 (302 6 + 402 9 + 502 50 + 602 21+ 702 14)−52,802 ≈102,16 ;
σ y = 
102,16 ≈10,11;
числитель выражения для r :
1001 (30 4 3 +30 9 3 + 40 4 14 +50 14 40 + 40 14 4 +50 19 2 +50 24 8 +60 14 5 +
+ 60 19 10 + 60 24 6 + 70 19 4 + 70 24 7 + 70 29 3)−16,65 52,80 = 42,08 ;
r |
= |
42,08 |
|
≈ 0,76 ; |
a =0,76 |
10,11 |
≈1,41; |
|
5,45 |
||||||||
5,45 10,11 |
||||||||
|
|
|
|
|
||||
b =52,80 −1,41 16,65 = 29,33 .
Искомое уравнение имеет вид:
yx =1,41x + 29,33, или Y =1,41X + 29,33 .
Прямая, соответствующая этому уравнению, изображена на графике в примере 3.
Отметим, что число r , называемое выборочным коэффициентом корреляции, является точечной оценкой неизвестного коэффициента корреляции r , служащего для характеристики связи между X и Y . Он облада-
ет свойством: r ≤1.
Если r = ±1 , то X и Y связаны линейной зависимостью. Поскольку в нашем случае r близко к 1, то есть основание считать, что Y линейно зависит от X . Если r ≠ 0 , то X и Y зависимы. Обратное утверждение не всегда верно, т.е. если X и Y зависимы, то r ≠ 0 или r = 0 .
Если r = 0 , то из этого не следует, что X и Y независимы. Обратное утверждениевсегда верно, т.е. если X и Y независимы, то r = 0 . Если r = 0 , то это не означает, что и r = 0 . Для r можно найти интервальную оценку.
70