ГЛАВА 4. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ, ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ

4.1. Основные понятия

Переменная величина, которая в результате испытания принимает то или иное наперед неизвестное значение, называется случайной величиной.

Случайные величины бывают дискретные и непрерывные. Дискретной называют случайную величину, возможные значения

которой образуют конечную или бесконечную последовательность чисел. Непрерывной называют случайную величину, возможные значения

которой составляют конечный или бесконечный промежуток. Постоянную величину можно рассматривать как случайную величи-

ну с одним возможным значением.

Пусть X – некоторая дискретная случайная величина, возможные значения которой x1, x2 , , xn ; n ≤ ∞. Обозначим X = x – событие, состоящее в том, что при испытании случайная величина X примет значение x ; x = xi , i =1, n . Вероятность этого события P(X = x) , или короче P(x) зависит

от x , является функцией от x .

Функцию P(x) называют законом (или рядом) распределения вероят-

ностей дискретной случайной величины (слово “вероятностей” для краткости всего опускают). Этот закон задается обычно в виде таблицы:

Для наглядности в прямоугольной системе координат строят ломаную линию, соединяющие точки (xi , pi ) . Такой график называют много-

угольником распределения.

Отметим, что закон распределения дискретной случайной величины можно задать просто как перечень её значений и соответствующих их вероятностей.

Такой способ задания не подходит для непрерывной случайной величины, в частности из-за невозможности перечислить все её значения. Здесь применяется другой подход, рассмотренный ниже.

Пусть X – некоторая непрерывная случайная величина. Обозначим X < x – событие, состоящее в том, что при испытании случайная величина X примет значение из промежутка (−∞, x) , т.е. окажется левее своего зна-

чения x . Вероятность этого события P(X < x) является непрерывной функцией от x , обозначим её F(x). Таким образом,

31

F (x) = P(X < х).

Эта функция называется законом распределения вероятностей непрерывной случайной величины. Для краткости её называют функцией распределения, а также интегральной функцией. Функция F(x) пригодна и

для дискретной случайной величины и является разрывной.

Дифференциальной функцией (или плотностью) распределения не-

прерывной случайной величины X называют производную: f (x) = F′(x).

Отметим, что функция f (x) не имеет смысла для дискретной случай-

ной величины.

Можно сказать, что закон распределения дискретной и непрерывной случайных величин имеет две формы:

•таблицу и функцию F(x) для первой,

•функции F(x) и f (x) для второй.

4.2.Свойства интегральной и дифференциальной функций распределения вероятностей

Отметим, что здесь и ниже в формулах 3 принадлежность промежутку его концов не имеет значения в случае непрерывной случайной величины, так как для неё согласно теории вероятность принять какое-то одно значение равна нулю, что согласуется с практикой. Однако неверно думать, что это значение является невозможным событием.

Свойства дифференциальной функции f (x) :

1.f (x) ≥ 0 ;

2.+∞∫ f (x)dx =1;

−∞

3. P(a ≤ X < b) = ∫b f (x)dx .

a

32

4.3. Нахождение функции распределение вероятностей случайной величины

Для дискретной случайной величины X функция распределения находится по формуле:

Для непрерывной случайной величины X функция распределения находится по формуле:

F(x) = ∫x f (x)dx .

−∞

4.4. Примеры

Ниже иллюстрируются теория из пунктов 4.1–4.3.

Пример 1.

Обозначим через X – число появлений герба при трёх бросаниях монеты. X – дискретная случайная величина. Множество всех её значений: 0,

1, 2, 3.

Пример 2.

Расстояние, которое пролетит снаряд, выпущенный из орудия – непрерывная случайная величина. Она принимает любые значения из некоторого промежутка.

Пример 3.

1)Найти закон распределения для X из примера 1;

2)построить его график;

3)указать наивероятнейшее число.

Решение.

1) Значения pi находятся по формуле Бернулли:

33

мере 6, пункт 3.3.

Ряд распределения имеет вид:

2) График имеет вид (рис. 3):

Рис. 3

3) Из полученной таблицы видим, что искомое число не одно: k0 =1,

k0 = 2 .

Пример 4.

1)Найти функцию F(X ) из примера 3;

2)построить его график;

3)вычислить вероятность P(1 ≤ X < 3) .

Окончательно:

34

Отметим, что для нахождения функции F(X ) целесообразно сразу

использовать готовую формулу из пункта 4.3, которая здесь сопровождается обоснованием.

2) График F(X ) имеет СТУПЕНЧАТЫЙ вид (рис. 4):

Рис. 4

3) Вероятность P(1 ≤ X < 3) = F(3) − F(1) = 78 − 18 = 34 .

Пример 5.

В коробке 7 карандашей, из которых 4 – красные. Из этой коробки наудачу извлекаются 2 карандаша. Найти: 1) ряд распределения случайной величины X – числа красных карандашей среди взятых; 2) функцию

F(X ) .

Решение.

1) Очевидно, что возможные значения для X : x1 = 0 , x2 =1, x3 = 2 .

35

Контроль: p1 + p2 + p3 =1.

2) Воспользуемся формулой из пункта 4.3:

0, если x ≤ 0

1 , если 0 < x ≤1

F(x) = 75

7 , если1 < x ≤ 2

1, если x > 2.

Пример 6.

Вероятность того, что стрелок попадет в мишень при каждом выстреле равна 0,8. Стрелок делает выстрелы до тех пор, пока он не промахнётся. Требуется составить закон распределения случайной величины X – числа использованных патронов из 3 имеющихся у него.

Решение.

Возможные значения для X : x1 =1, x2 = 2, x3 = 3 . Найдем их вероятности. Событие x1 =1 означает, что при первом выстреле был промах, тогда

P(x1 ) = 1 − 0,8 = 0,2 . Событие x2 = 2 означает, что при первом выстреле было попадание и при втором – промах, тогда P(x2 ) = 0,8 0,2 = 0,16. Событие

x3 = 3 означает, что при первом и втором выстрелах было попадание и при третьем — промах или при всех трех выстрелах было попадание, тогда

P(x2 ) =0,8 0,8 0,2 +0,8 0,8 0,8 =0,64.

Искомый закон:

X 1 2 3

P 0,2 0,16 0,64

Контроль: p1 + p2 + p3 =1.

Пример 7.

Непрерывная случайная величина X задана функцией:

0 при x < 2

x

F(x) = 2 −1 при 2 < x ≤ 4

1 при x > 4.

1)Найти функцию f (x) ;

2)вычислить вероятность P(−1 ≤ X < 3) ;

3)построить графики F(X ) , f (x) .

Решение.

36

Отметим, что функция F(X ) является НЕПРЕРЫВНОЙ.

Пример 8.

Случайная величина X задана функцией:

ax, если x [1;5] f (x) = 0, если x [1;5]

a – число (параметр). Найти: 1) a; 2) F(X ) .

Решение.

1) Согласно свойству функции f (x) имеем

37

Пример 9.

Задана плотность распределения непрерывной случайной величины X :

38