Тензорные методы в кристаллофизике основы тензорного и симметрийного описания физических свойств кристаллов. Учебное пособие

№ 4720 МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РФ

Университет науки и технологий МИСИС

ИНСТИТУТ НОВЫХ МАТЕРИАЛОВ И НАНОТЕХНОЛОГИЙ

Кафедра материаловедения полупроводников и диэлектриков

А.Н. Забелин

ТЕНЗОРНЫЕ МЕТОДЫ В КРИСТАЛЛОФИЗИКЕ

Основы тензорного и симметрийного описания физических свойств кристаллов

Учебное пособие

Рекомендовано редакционно-издательским советом университета

Москва 2022

УДК 548 З-12

Р е ц е н з е н т канд. техн. наук, доц. М.Н. Орлова

Забелин, Алексей Николаевич.

З-12 Тензорные методы в кристаллофизике : Основы тензорного и симметрийного описания физических свойств кристаллов : учеб. пособие / А.Н. Забелин. – Москва : Издательский Дом НИТУ «МИСиС», 2022. – 115 с.

ISBN 978-5-907560-43-7

В учебном пособии представлены примеры решения типовых задач в системе компьютерной математики Maxima по разделу «Основы тензорного и симметрийного описания физических свойств кристаллов» дисциплины «Тензорные методы в кристаллофизике».

Предназначено для обучающихся в магистратуре по направлению подготовки 22.04.01 «Материаловедение и технологии материалов».

УДК 548

3

ПРЕДИСЛОВИЕ

В учебном пособии представлены теоретические основы тензорного и симметрийного описания физических свойств кристаллов, рассмотрены примеры решения типовых задач в системе компьютерной математики Maxima1. В пособие включены справочные таблицы.

Решение большинства задач, представленных в пособии, основано на матричном представлении операций симметрии. В первом разделе большое внимание уделяется освоению техники расчета матричного представления симметрических операций. Разбираются задачи на определение матричного представления точечных групп симметрии, построение таблиц группового умножения и нахождение подгрупп кристаллографических точечных групп.

Во втором разделе последовательно рассматриваются задачи на определение внешней симметрии тензоров второго ранга и вычисление собственных векторов и собственных значений симметричного тензора второго ранга. Приводится пример расчета и построения указательной поверхности, стереографической проекции, а также сечения указательной поверхности симметричного тензора второго ранга.

Третий раздел посвящен рассмотрению задач на применение методов построения тензоров второго ранга, инвариантных относительно заданной кристаллографической группы симметрии. Разбираются задачи на определение симметрии кристалла под внешним воздействием.

Учебное пособие подготовлено в соответствии с программой дисциплины «Тензорные методы в кристаллофизике».

1 Maxima относится к классу программных продуктов, которые распространяются на основе лицензии GNU GPL. Скачать последнюю версию Maxima можно с сайта https://maxima.sourceforge.io/.

4

ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

Обозначения элементов симметрии приведены в прил.  1. Обозначения кристаллографических классов симметрии (точечных групп) приведены в прил.  2 (символы центросимметричных классов симметрии заключены в рамку).

Символы Миллера плоскости заключаются в круглые скобки (…); символы направлений – в прямые скобки […]. Знак «минус» в символе пишется над цифрой.

Индекс в символе оси симметрии указывает, вдоль какой кристаллографической оси направлена ось симметрии; индекс в символе плоскости симметрии – перпендикулярную к этой плоскости кристаллографическую ось или кристаллографическое направление.

Полярные векторы обозначаются полужирными курсивными строчными буквами латинского алфавита, например a, p, q; аксиальные векторы – полужирными курсивными прописными буквами латинского алфавита, например A, P, Q. Скалярное произведение векторов обозначается точкой ( ), векторное – косым крестом (×).

В фигурных скобках {…} перечисляются элементы, входящие в группу.

G – множество элементов группы;

G – матричное представление группы; N – порядок конечной группы;

– символ включения подгруппы в группу;– символ принадлежности к группе; ∩ – символ пересечения групп;

– символ нестрогого включения в группу; δij – символ Кронекера;

δijk – символ Леви – Чивита;

e1, e2, e3 – орты декартовой системы координат;

X, Y, Z – оси кристаллографической системы координат; X1, X2, Х3 – оси кристаллофизической системы координат; C или (Сij) – матрица преобразования кристаллофизиче-

ской системы координат (матрица направляющих косинусов); D – определитель матрицы направляющих косинусов;

k – единичный вектор, задающий ось поворота;

5

[aik] – полярный тензор второго ранга;

[Aik] – аксиальный тензор второго ранга (псевдотензор); [Tik] – тензор второго ранга (полярный или аксиальный); l – собственное значение симметричного тензора второго

ранга;

u – собственный вектор симметричного тензора второго ранга.

Индексы i, j, k, l = 1, 2, 3 соответствуют декартовой системе координат.

6

1.  Матричное представление кристаллографических групп симметрии. Построение таблицы группового умножения

Конечные операции и элементы симметрии кристаллов

Геометрической симметрией кристаллического пространства или идеального кристаллического многогранника называется свойство пространства (кристаллического многогранника) совмещаться с самим собой путем некоторых симметрических преобразований. Операции, или преобразования симметрии, – это отражения, повороты, переносы, приводящие пространство (кристаллический многогранник) в совмещение с самим собой.

Элементы симметрии – это вспомогательные образы (точки, прямые линии, плоскости), с помощью которых обнаруживается симметрия кристаллического пространства или идеального кристаллического многогранника.

Симметрические преобразования можно разделить на два типа: конечные, или точечные, при которых хотя бы одна точка геометрического объекта остается на месте, и бесконечные, или пространственные, при которых не остается на месте ни одна точка. При всех симметрических преобразованиях расстояния между точками остаются неизменными. Конечные симметрические преобразования описывают симметрию кристаллических многогранников, бесконечные – симметрию кристаллического пространства.

Простые конечные операции симметрии – это повороты и отражения, которые описываются следующими элементами симметрии: осями симметрии, центром симметрии, плоскостью симметрии.

Осью симметрии порядка п называется прямая линия, при повороте вокруг которой кристаллический многогранник совмещается сам с собой. Число п показывает, сколько раз кристаллический многогранник самосовмещается при полном обо-

7

роте вокруг оси. Наименьший (элементарный) угол поворота, приводящий кристаллический многогранник в самосовмещение, a = 360°/n. Сама поворотная ось порядка n также обозначается символом п. Симметрия кристаллических многогранников описывается осями симметрии 1, 2, 3, 4 и 6 порядка. При этом оси 1 и 2 порядка принято считать осями низшего порядка, оси порядка выше 2 – осями высшего порядка.

Очевидно, что всякая прямая в любом кристаллическом многограннике является поворотной осью первого порядка. Это

тривиальный элемент симметрии, и его присутствие обычно не отмечается.

Каждая ось симметрии кристаллического многогранника порождает некоторую совокупность операций симметрии. Например, ось 4 порождает повороты многогранника на 90°, 180°

и270°. Все повороты, порождаемые осью симметрии, можно

рассматривать как результат повторения элементарного поворота: для оси 2 это поворот на 180°, для оси 3 – на 120°, для оси 4 – на 90°, для оси 6 – на 60°.

Всоответствии с международной символикой элементарный

поворот кристаллического многогранника вокруг оси порядка n по часовой стрелке обозначается как п1 (или просто n). Например, поворот на 120° обозначается как 31, поворот на 90° – как 41

ит.п. Поворот на 360° (единичная операция, или отождествле-

ние) обозначается символом 1. Повороты в противоположную сторону (обратные операции) обозначаются как п–1. Например, поворот на –120° обозначается как 3–1, на –90° – 4–1 и т.д. Результат повторения нескольких элементарных поворотов рас-

сматривается как соответствующая степень элементарного поворота. Поскольку степень n поворота на угол 360°/n всегда есть полный оборот вокруг оси симметрии, различных степеней по-

ворота, представляющих собой разные операции, может быть только п. Например, 41, 42, 43, 44 = 1.

Один и тот же поворот можно обозначить разными способами. Например, операция 62 есть поворот на 120° и ее можно записать и как 31. Вместе с тем эта операция приводит к тому же результату, что и поворот на 240° в противоположную сторо-

ну, следовательно, операция 62 может быть записана и как 6–4 или 3–2.

8

Центром симметрии, или центром инверсии, называется особая точка внутри кристаллического многогранника, характеризующаяся тем, что любая проведенная через нее прямая встречает одинаковые точки кристаллического многогранни-

ка по обе стороны от нее и на равных расстояниях. Центр сим-

–

метрии обозначается символом 1.

Плоскостью симметрии называется плоскость, которая делит кристаллический многогранник на две зеркально равные части. Плоскость симметрии обозначается символом m.

Операция отражения в плоскости симметрии m обознача-

ние в центре симметрии 1, обозначается символом 1.

Сложные конечные операции симметрии включают в себя одновременно поворот и инверсию в точке, лежащей на оси поворота, и описываются инверсионными осями симметрии. Эти две операции – поворот и инверсию в точке – нельзя разделить, поэтому наличие в кристалле инверсионной оси симметрии не означает, что в кристалле есть центр симметрии.

Инверсионной осью порядка n называется прямая, несущая на себе центр симметрии, при повороте вокруг которой на угол a = 360°/n и отражении в центре симметрии, осуществляемых совместно, кристаллический многогранник совме-

щается сам с собой. Инверсионная ось симметрии порядка n

–

обозначается символом n. Центр инверсии и инверсионная ось

–

первого порядка обозначаются одним и тем же символом 1, по-

скольку результат их действия одинаков. Как и поворотные оси, инверсионные оси в кристаллических многогранниках могут быть только 1, 2, 3, 4 и 6 порядка.

Для обозначения инверсионных поворотов в международ-

этой операции смысл отражения в плоскости, перпендикуляр-

–

ной оси 2. Результат повторения нескольких элементарных инверсионных поворотов рассматривается как соответствующая степень элементарного инверсионного поворота. Поскольку проведение инверсии четное число раз эквивалентно единич-

9

единичной операции, поэтому существует 2п различных степе-

–1 –2 –3 –4 ней инверсионного поворота. Например, 4 , 4 , 4 , 4 = 1, тогда

как –31, –32, –33, –34, –35, –36 = 1. Отрицательные показатели степе-

Поскольку действие плоскости симметрии можно заменить

–

действием инверсионной оси 2, симметрия любого кристаллического многогранника может быть описана только с использованием поворотных и инверсионных осей симметрии.

В прил.  1 приведены обозначения элементов симметрии идеального кристаллического многогранника на стереографической проекции.

Кристаллографичесие точечные группы (классы) симметрии

Множество операций симметрии идеального кристаллического многогранника, т.е. множество преобразований, в результате действия которых этот многогранник совмещается с собой, образует его точечную группу симметрии, или класс симметрии. Возможные сочетания операций симметрии кристаллических многогранников образуют 32 точечные группы симметрии. Стереографические проекции элементов симметрии 32 классов симметрии, а также обозначения каждого класса приведены в прил.  2.

Точечные группы симметрии – одна из возможных реализаций математических групп. Группой в математике называется множество G элементов g1, g2, g3, …, удовлетворяющих следующим аксиомам:

1)  определено групповое умножение, т.е. каждым двум не обязательно различным элементам данной совокупности gi G и gj G поставлен в соответствие некоторый третий элемент этой же совокупности gk G, который называется их произведением:

10