Средства и методы контроля и управления качеством. Лабораторный практикум. Учебное пособие

считываются значения Pr (X = x), например, в ячейке Е2 записана следующая формула =ФАКТР2)/(ВФАКТР(D2)*ФАКТР(В2- D2))*СТЕПЕНЬ(A2;D2)*СТЕПЕНЬ(1-A2;B2-D2). Здесь исполь-

зованы следующие функции из библиотеки функций табличного процессора Microsoft Excel:

1)ФАКТР (число) – рассчитывает факториал числа;

2)СТЕПЕНЬ (число; степень) – рассчитывает результат

Рис. 2. Биномиальное распределение с параметрамиp = 0,005 и n = 100

Распределение Пуассона играет важную роль везде, где в течение определенного времени может происходить случайное число каких-то событий (отказов оборудования, несчастных случаев и т.п.) или событий, происходящих на постоянной площади или в постоянном объеме (числодефектов на одинаковых образцах вещества, количество бактерий на предметном стекле нескольких микроскопов и т.п.). Законраспределения Пуассона можно применять для совокупностей, достаточно больших по

объему (n ³ 100) и имеющих достаточно малую долю единиц,

11

обладающих данным признаком (p £ 0,1) (распределение редких событий).

Распределение Пуассона – пределениерас вероятностей дискретной случайной величины X, такое что

Pr[X = x =]mx!x e-m

при x = 0, 1, 2, …, и параметре m > 0.

В данном распределении используется допущение, чтоn × p

постоянно, а именно n × p = m.

Основные характеристики распределения Пуассона: среднее m; дисперсия m;

асимметрия 1m ; эксцесс m1 .

Распределение Пуассона широко используется на практике, например, в картахконтроля качества как распределение редких событий. График распределения Пуассона с параметромm = 6 представлен на рис. 3.

12

Пример использования распределения Пуассона

На ткацком станке нить обрывается в среднем 1 раз за 4 часа работы станка. Требуется найти вероятность того, что за смену

ПУАССОН рассчитывает интегральную функцию распределения. Если аргумент интегральная = 0, то рассчитывается дифференциальная функцию распределения.

Впримере интенсивность обрывов нити за смену постоянна

иравна m = n × p = 8 × ¼ = 2. Если искомую вероятность рассчитывать через плотность распределения (аргумент интегральная = 0), то формула для ее нахождения будет иметь следующий вид:

=ПУАССОН(0; 2; 0)+ПУАССОН(1;2; 0)+ПУАССОН(2; 2; 0)+ +ПУАССОН(3; 2; 0)+ПУАССОН(4; 2; 0).

Данная формула рассчитает значение

0,9473 = 0,1353 + 0,2707 + 0,2707 + 0,1804 + 0,0902.

Если искомую вероятность вычислять через интегральную функцию распределения (аргумент интегральная = 1), то формула для ее нахождения будет иметь следующий вид:

=ПУАССОН (4; 2; 1).

Данная функция рассчитает значение 0,9473.

По полученным данным можно построить график распределения Пуассона (рис. 4).

Гипергеометрическое распределение является основным в практикеи теории контроля качества продукции, когда решение о принятии или отбраковке партии принимается в зависимости от числа дефектных изделий среди отобранных для проверки. Оно возникает как распределение вероятностей числа «успехов» в вы-

13

При уменьшении отношения Nn (n < 0,1 N) гипергеометрическое распределение стремится к биномиальному распределению с параметрами n и p = MN .

Пример использования гипергеометрического распределения

Из партии, содержащей 30 специальных электронных ламп, случайным образом выбираются и подвергаются испытаниям на долговечность 6 ламп. Если впроцессе испытаний ни одна лампа не выйдет из строя или выйдет из строя только одна лампа, то партия принимается. В противном случае вся партия бракуется. Какова вероятность того, что партия будет принята, если из 30 ламп 4 являются дефектными?

Для расчета используем функцию ГИПЕРГЕОМЕТ табличного процессора Microsoft Excel. Аргументами функции являются:

а) число_успехов_в_выборке – число успешных испытаний в выборке;

б) размер_выборки – размер выборки;

в) число_успехов_в_совокупности – число успешных испы-

таний в генеральной совокупности; г) размер_совокупности – размер генеральной совокупности.

Партия будет принята, есливзятая выборка не содержит дефектных ламп или содержит одну дефектную лампу. Соответствующая вероятность определится формулой:

=ГИПЕРГЕОМЕТ(0; 6; 4; 30)+ГИПЕРГЕОМЕТ(1; 6; 4; 30).

Функция рассчитает следующее значение

0,8309 = 0,3877 + 0,4431.

Таким образам, с вероятностью 0,831 данная партия будет принята. По полученным данным можно построить график гипергеометрического распределения (рис. 5).

15

Рис. 5. Гипергеометрическое распределение с параметрами

N = 30, М = 4 и n = 6

Нормальное распределение – распределение вероятностей непрерывной случайной величиныX такое, что плотность распределения вероятностей при -∞ <x< +∞ принимает действительное значение

где m – математическое ожидание;s – стандартное отклонение нормального распределения.

Нормальное распределение является наиболее распространенным распределением непрерывной случайной величины, оно часто используется для приближенного описания многих случайных явлений, например, для случайного отклонения фактического размера изделия от номинального, во многих других ситуациях, когда на результат измерения показателя качества воздействует большое количество независимых случайных факторов, среди которых нет сильно выделяющихся.

На нормальном распределении базируется основной инструмент статистического контроля и управления качеством – контрольные карты Шухарта, используемые для управления процес-

сами. Два параметра m и s, определяющие нормальное распреде-

16

ление, характеризуют состояние технологического процессаm: определяет центр настройки процесса в данное время, аs – раз-

брос индивидуальных значений вокруг центра [3].

Как правило, в качестве оценки математического ожидания используют среднее значение наблюдаемой характеристики

mˆ = x , а в качестве оценки стандартного отклонения – выбороч-

ное стандартное отклонение sˆ = s [2].

Для серии изn наблюдений x1, x2, …, xn со средним ариф-

При анализе способности технологического процесса обеспечить допуск и оценке (предсказании) возможного брака используется следующее свойство распределения вероятностей – вероятность того, что оказательп качества примет значение,

принадлежащее интервалу [x1; x2], равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью Оx, кривой распределения f(x) и прямыми x = x1, x = x2 (рис. 6), т. е. величине

Pr[x1 £ x £ x2 = xò2]f (x )dx. x1

Для определения площади заштрихованной фигуры необходимо перейти к стандартному нормальному распределению

Для перехода используется преобразование z = x- m . s

Тогда

Pr[z1 £ z £ z2]=F(z2)-F(z1),

где F(z) – функция Лапласа.

17

0,5

Рис. 6. Кривая нормального распределения вероятностей случайной величины с параметрами m = 2, s = 1

Пример использования нормального распределения

Определить возможную долю брака при производстве колбасы полукопченой по данным измерений в табл. 2 для следующих условий:

1)в колбасе допускается неменее 13 % массовой доли белка;

2)границы допустимых значений массовой доли белка в колбасе – от 12 до 14 %.

18

Среди измеренных значений выберем наименьшее и наибольшее: xmin = 11 %, xmax = 13,8 %. Для построения гистограммы сгруппируем все данные в 5 интервалах(количество интервалов определяем по правилу Стерджесаk = 1 + 3,322 lnN = 5). Подсчитаем частоты попадания данных в интервалыni, а также частости (относительныечастоты) ni/n (табл. 3).

Среднее арифметическое значение x массовой доли белка

равно

x = 1 åk xini ,

n i=1

где k – число интервалов размеров;xi – середина интервала; ni – частота попадания показателя качества в данный интервалn; – число проведенных измерений.

Получим x = 12,41 %.

Определим выборочное стандартное отклонение s, равное

Для нанесения на гистограмму распределения теоретических частостей, построенных в предположении нормального закона распределения массовой доли белка в колбасе, определим

вероятности попадания значений (частости) в интервалы [4]:

19

Рис. 7. Гистограмма распределения массовой доли белка в колбасе

20