3.МЕТОД СТАНДАРТНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ

Вэтом методе предполагается, что структура САУ задана,т. е. известен вид передаточной функции замкнутой системы, а определение величин коэффициентов передаточной функции обеспечивает заданное время переходного процесса, устойчивость и оптимальное перерегулирования [3].

Передаточная функция замкнутой системы в виде

W ( p) = B( p) = bm pm +... +b1 p +b0

A( p) an pn +... + a1 p + a0

должна быть приведена к форме Вышнеградского. Разделив числитель и знаменатель на an, получим:

где А1, А2, … – параметры Вышнеградского. Передаточную функцию запишем в виде

При всех кратных корнях коэффициенты характеристического уравнения в форме Вышнеградского являются коэффициентами бинома Ньютона

pn + An−1 pn−1 +... + A1 p +1 = (p +1)n .

29

В табл. 3.1 приведены коэффициенты А1 … А6, переходные функции показаны на рис. 3.1.

Таблица 3.1

Рис. 3.1. Переходные функции для нормированной передаточной функции при кратных корнях (порядок уравнения n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7)

Значения коэффициентов А1 … Аn-1 могут быть рекомендованы для САУ с передаточными функциями, не имеющими нулей.

Нули передаточной функции могут существенно влиять на вид переходного процесса (нули передаточной функции – корни числителя).

Пусть

B(p)= bm pm +... +b1 p +b0 .

Нули передаточной функции при всех положительных b0, b1, …, bm способствуют перерегулированию.

30

Переходная функция h(t) образуется как сумма переходной функции h0(t) и m её производных, где h0(t) – переходная функция при отсутствии нулей, когда В(р) = b0. В качестве примера на рис. 3.2 приводится переходная функция h(t) для астатической системы с передаточной функцией

при одном полюсе шестой кратности.

Рис. 3.2. Влияние нулей передаточной функции на характер переходной функции

В рассматриваемом случае

h(t) = b1 h0′(t) + h0 (t), a0

31

Функция h0(t) не имеет перерегулирования. Однако дополнительное слагаемое обусловило перерегулирование функции h(t). Это перерегулирование тем больше, чем больше b1, т. е. чем меньше абсолютное значение нуля передаточной функции а0/b1. Аналогичное влияние на перерегулирование оказывает большое число нулей передаточной функции.

При порядке n нечётном в табл. 3.2 приведены значения параметров Вышнеградского при В(р) = 1, а на рис. 3.3 – графики квазиоптимальных переходных процессов.

Таблица 3.2

Рис. 3.3. Графики переходных функций при стандартных коэффициентах уравнения, выбранных согласно табл. 3.2 (ξ = 0,75)

32

Распределение корней, близкое к кратному, приведено в табл. 3.3, а графики переходных процессов показаны на рис. 3.4.

Таблица 3.3

Рис. 3.4. Графики переходных функций при стандартных коэффициентах уравнения, выбранных согласно табл. 3.3 (минимальное время регулирования)

33

При передаточной функции с одним нулём рекомендуется располагать корни на вещественной отрицательной полуоси по арифметической прогрессии (табл. 3.4, рис. 3.5).

Таблица 3.4

Рис. 3.5. Графики переходных функций при распределении корней по арифметической прогрессии

34

При наличии двух нулей рекомендуемые параметры Вышнеградского приведены в табл. 3.5, а графики переходных процессов – на рис. 3.6.

Таблица 3.5

Рис. 3.6. Графики переходных функций при распределении корней по геометрической прогрессии

35

Параметры Вышнеградского, приведённые в табл. 3.1–3.5, называются стандартными, они обеспечивают выбор коэффициентов передаточной функции САУ с наперёд заданным качеством переходного процесса.

Приведем алгоритм метода стандартных коэффициентов.

Задано: tp, S0, S1,…, порядок знаменателя n, наличие нулей числителя.

1.Определяем рекомендуемый порядок распределения корней.

2.По графику (по n) находим безразмерное время переходного про-

7. Записываем передаточную функцию с найденными коэффициентами.

Рассмотрим пример определения коэффициентов передаточной функции методом стандартных коэффициентов.

Структурная схема САУ представлена на рис. 3.7.

Задано: tp = 0,45 с, S0 = 0,01.

Необходимо определить коэффициенты а0, а1, а2, а3 методом стандартных коэффициентов:

откуда а0 ≈ 0,01.

36