1.3. ОЦЕНКА КАЧЕСТВА ПО АМПЛИТУДНО-ЧАСТОТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКЕ ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЫ

Характерный вид амплитудно-частотной характеристики приведен на рис. 1.5. Для оценки качества используются следующие величины:

‒ показатель колебательности M = AA(max0) . Обычно считается допусти-

мым, если 1,1≤ М ≤1,5; ‒ частота среза ωср (определяется из равенства А(ωср) = А(0)), которая

косвенно характеризует длительность переходного процесса tp, при этом

можно записать t p ≈ (122) 2π ;

ωср

‒ωр – резонансная частота;

‒0–ω0 – полоса пропускания.

A

Amax

A(0)

0.707A(0)

Рис. 1.5. Амплитудно-частотная характеристика

Связь между tp и ωср можно уточнить в зависимости от величины пе-

11

1.4. ОЦЕНКА КАЧЕСТВА ЗАМКНУТОЙ САУПО ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ АМПЛИТУДНО-ЧАСТОТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКЕ (ЛАЧХ)

РАЗОМКНУТОЙ СИСТЕМЫ

Оценим качество САУ на наглядном примере простой системы 2-го порядка, структурная схема которой представлена на рис. 1.6.

Рис. 1.6. Структурная схема САУ

Для различных значений постоянной времени Т построим ЛАЧХ и соответствующие переходные процессы (рис. 1.7).

Анализ полученных графиков ЛАЧХ и h(t), построенных для различных значений Т, показывает, что наилучший переходный процесс будет в системе, в которой частота среза находится на участке ЛАЧХ с наклоном

–20 дБ/дек, при этом чем шире этот участок, тем ближе переходный процесс приближается к экспоненте.

Исследования, проведенные для САУ выше второго порядка, показали, что этот вывод справедлив и для сложных систем управления.

Пусть ЛАЧХ произвольной САУ имеет вид, изображенный на рис. 1.8.

12

Рис. 1.7. ЛАЧХ и переходные процессы в системе 2-го порядка

13

L(ω)

-20дб/дек(ω)

-20дб/дек(ω)

-60дб/дек(ω)

Рис. 1.8. ЛАЧХ разомкнутой САУ

Обычно область до частоты ω2 называют низкочастотной, диапазон частот ω2–ω3 – среднечастотной областью и область ω ω3 – высокочастотной.

Вид ЛАЧХ в низкочастотной области определяет точность регулирования в установившихся режимах, при этом коэффициент усиления k определяет величину ошибки как для статических, так и для астатических систем.

Среднечастотная область определяет запасы устойчивости по фазе и амплитуде, а также качество переходного процесса (перерегулирование и время регулирования). Для того чтобы запас по фазе составлял не менее 45 % и перерегулирование не более 30 % значения ординат линии, пересекающей ось частот с наклоном –20 дБ/дек, должны быть (рис. 1.9)

L1 = 16 дБ и L2 = –16 дБ.

Высокочастотная область определяет влияние помех. В качестве примера на рис. 1.9 приведена асимптотическая ЛАЧХ следящей системы (см. рис. 1.3) для следующих значений параметров: k = 100, T2 = 0,1,

T32 = 0,01.

14

-80 дБ/дек

Рис. 1.9. ЛАЧХ следящей системы

1.5.ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА

Винтегральных оценках в качестве переменных используются либо ошибки системы, либо отклонения координат от установившихся значений, либо наиболее распространенные линейные и квадратичные оценки.

Линейные оценки вычисляются по зависимостям

а квадратичные обычно по следующим формулам:

Если интегральная оценка имеет существенный для управления физический смысл, то она является прямой оценкой, если нет – косвенной. Например, линейная оценка, равная площади под кривой переходного процесса, может трактоваться как накопленная ошибка за интервал инте-

15

грирования или, если расходуемая в системе мощность пропорциональна х2, то J0 пропорциональна потерям энергии за время переходного процесса.

Линейные оценки вычисляются довольно просто, т. к. они пропорциональны коэффициентам ошибок, но при этом должно быть заранее известно, что x(t) – монотонно убывающая функция времени.

Если положить, что x(t) = h(∞)–h(t), то преобразование Лапласа этой величины при нулевых начальных условиях можно выразить через коэффициенты ошибок:

Для линейных оценок, учитывая преобразование Лапласа, имеем

Откуда следует, что интегральные оценки пропорциональны коэффициентам ошибок

Квадратичная оценка J0 в предположении, что x(t) – это импульсная переходная функция, может быть вычислена по формуле Релея

где W(iω) – комплексный коэффициент усиления САУ.

Интеграл в (1.14) является табличным, и в справочной литературе имеются аналитические выражения для J0 в зависимости от W(p).

Отметим, что оценка J0 может служить относительной мерой быстродействия системы. При решении задачи синтеза САУ с заданным видом передаточной функции по минимуму J0 переходной процесс в полученной системе имеет слишком колебательный характер, поэтому при необходи-

16