Планирование и организация эксперимента. Лабораторный практикум. Учебное пособие

Окончание табл. 40

Содержание отчета

Отчет оформляется так же, как в лабораторной работе № 1.

71

Лабораторная работа № 8. Симплекс-вершинные планы

Цель работы: изучение стандартных планов экспериментов для смесей и приобретение навыков обработки результатов экспериментов для симплекс-вершинных планов.

Краткие теоретические сведения

При исследовании сложных многокомпонентных смесей часто решается задача построения зависимостей свойств от - со става и нахождение оптимального состава, удовлетворяющего заданным свойствам. Особенностью планирования эксперимен-

q

тов для смесей является условие å xi =1 ,

i=1

где xi – концентрация компонента; q – количество компонентов.

Факторное пространство представляет собой(q – 1)- мерный симплекс. При q = 3 правильный симплекс – равносторонний треугольник (рис. 14, 15).

Рис. 14

72

Рис. 15

Каждая точка треугольника соответствует определенному составу смеси – тройной системы. Вершины треугольника соответствуют чистым веществам, стороны – двойным системам.

q

С учетом принятого допущения, что å xi =1 , можно полу-

i=1

чить полином второй степени для тройной системы. Общий вид полинома

ˆy = b0 + b1x1 + b2 x2 + b3 x3 + b12 x1x2 + b13 x1x3 +

+ b23 x2 x3 + b11 x12 + b22 x22 + b33 x32 .

Так как x1 + x2 + x3 =1 , то b0 (x1 + x2 + x3 )= b0 ,

x1(x1 + x2 + x3 )= x1 или x12 = x1 - x1x2 - x1x3 , x2 (x1 + x2 + x3 )= x2 или x22 = x2 - x1x2 - x2 x3 , x3 (x1 + x2 + x3 )= x3 или x32 = x3 - x1x3 - x2 x3 .

Подставив полученные выражения в общий вид полинома, получим

ˆy = (b0 + b1 + b11 )x1 + (b0 + b2 + b22 )x2 + (b0 + b3 + b33 )x3 +

+ (b12 - b11 - b22 )x1x2 + (b13 - b11 - b33 )x1x3 + (b23 - b22 - b33 )x2 x3 .

Введем обозначения

bi = b0 + bi + bii , bij = bij - bii - b jj .

73

Тогда получим приведенный полином второй степени от трех переменных

ˆy = b1x1 + b2 x2 + b3 x3 + b12 x1x2 + b13 x1x3 + b23 x2 x3 .

Очевидно, что число коэффициентов уменьшилось с 10 до 6. Наибольшее применение получили симплекс-вершинные

планы, которые еще называют симплекс-решетчатыми планами Шеффе. Эти планы обеспечивают равномерный разброс экспериментальных точек по (q – 1)-мерному симплексу.

Матрица планирования такого плана приведена в табл. 41, точки, соответствующие условиям проведения экспериментов, на рис. 16.

74

степени свободы для проверки адекватности). Поэтому для проверки адекватности ставят опыты в дополнительных(контрольных) точках.

Пример выполнения задания.

Изучить влагоудерживающую способность мясного фарша. При этом факторами являются массовая доля белков (x1), жиров (x2) и углеводов (x3). Матрица планирования в кодированных значениях факторов записывается в виде табл. 43.

Решение.

Было проведено по 2 параллельных опыта (m = 2) в каждой точке плана. Рассчитаем средние значения

75

Проверку однородности дисперсий выполним при помощи критерия Кохрена

Критическое значение критерия Gкр (0,05; 1; 6) = 0,7808.

Так как Gнабл < Gкр – нет основания отвергнуть гипотезу об однородности дисперсий.

Дисперсия воспроизводимости равна sy2 = 3,11 %2. Рассчитаем коэффициенты приведенного полинома второго порядка

bi = yi ; b1 = 35,50 %; b2 = 34,05 %; b3 = 41,35 %;

bij = 4 yij - 2 yi - 2 y j ; b12 = 173,70 %; b13 = 49,90 %; b23 = 23,40 %.

Получен следующий полином

ˆy = 35,50 x1 + 34,05 x2 + 41,35 x3 + 173,70 x1x2 + 49,90x1x3 +

+ 23,40 x2x3.

Доверительные интервалы для значений функции отклика определяется как

ˆy - D £ y £ ˆy + D ,

a – уровень значимости;

k – число коэффициентов уравнения;

f – число степеней свободы дисперсии воспроизводимости. В данном случае дисперсия предсказанного значенияsˆy 2

определена по закону накопления ошибок. В каждой точке плана

t(a/k, f) = t(0,05/6, 6) = 3,71; D = 5,75 %.

Следовательно, доверительный интервал для значений функции отклика

ˆy - 5,75 £ y £ ˆy + 5,75 .

76

В примере проверку адекватности проводить не будем(в условии отсутствуют результаты экспериментов в контрольных точках).

По полученному уравнению построены графики функции отклика (трехмерный рис. 17 и двумерные рис. 18-19). Анализ представленных графиков позволит выявить рациональное соотношение белков, жиров и углеводов для получения мясного фарша с наибольшей влагоудерживающей способностью. В данном примере это фарш с соотношением белков, жиров и углеводов в (в нормализованных значениях) x1 : x2 : x3 = 0,5 : 0,5 : 0,0.

Рис. 17

Задание

1.По вариантам (табл. 44) получить функцию отклика для влагоудерживающей способности мясного фарша, при этом факторами являются массовая доля белков (x1), жиров (x2) и углеводов (x3), в виде полинома второго порядка.

2.Выбрать график равных линий, соответствующий полученному решению (табл. 45), определить рациональное соотно-

77

шение компонентов, при которых влагоудерживающая способность для принятой факторной области будет наибольшей.

Рис. 18

Рис. 19

78

79

Продолжение табл. 44

80