Планирование и организация эксперимента. Лабораторный практикум. Учебное пособие

Решение.

Составим матрицы, определяющие условия задачи (решение будем осуществлять в Microsoft Excel) (рис. 6).

Рис. 6

Транспонируем матрицу Х, при этом столбцы исходной матрицы преобразовываются в строки транспонированной матрицы при сохранении их последовательности. Для выполнения данной операции используется функция ТРАНСП(массив), важно помнить, что для получения ответа необходимо выделить ячейки будущей матрицы (в примере – 3 строки и 12 столбцов), ввести функцию ТРАНСП, выделив исходную матрицу, затем необходимо одновременно нажать клавиши Ctrl+Shift+Enter (рис. 7).

Рис. 7

61

Произведем операцию умножения матриц ХТХ и ХТY с использованием функции МУМНОЖ(массив1; массив2) (рис. 8).

Рис. 8

Получим обратную матрицу (ХТХ)-1 с использование функции МОБР(массив) (рис. 9).

Рис. 9

В результате умножения матриц (ХТХ)-1 и ХТY получим искомый столбец коэффициентов регрессии (рис. 10).

Рис. 10

Таким образом, получено уравнение регрессии

у = - 4084,6 + 17,2 х1 + 43,4 х2.

Задание

Построить уравнение множественной регрессии, используя матричный подход, по исходным данным табл. 37.

62

Таблица 37

63

Окончание табл. 37

Содержание отчета

Отчет оформляется так же, как в лабораторной работе № 1.

Лабораторная работа № 7. Планирование второго порядка

Цель работы: изучение особенностей планирования экспериментов при описании области высокой кривизны(почти стационарной области).

Краткие теоретические сведения

При планировании экспериментов по методу ПФЭ или ДФЭ может возникнуть ситуация, когда линейная модель оказывается неадекватной. Это означает, что исследователь оказывается в области, близкой к экстремуму, так называемой почти стационарной области (или области высокой кривизны).

64

В данной ситуации для описания поверхности отклика необходимо использовать полиномы второй степени, при этом независимые факторы при планировании экспериментов должны принимать не менее трех разных значений.

Эксперимент, в котором фактор варьируется на трех уровнях, является планом ПФЭ типа 3n. Область варьирования факторов показана на рис. 11.

x2

+1

x1

-1

Рис. 11

Однако число опытов данного плана N = 3n значительно превышает число определяемых коэффициентов полинома (рис. 12).

65

Сократить число опытов возможно путем добавления к «ядру» (области планирования для получения линейной модели) специально подобранных точек. Такие планы называют композиционными (последовательными), позволяющими использовать информацию, полученную в результате реализации плана для получения линейной модели.

Для сокращения числа опытов используются композиционные или последовательные планы, предложенные Дж. Боксом и К. Уилсоном. «Ядро» таких планов составляет ПФЭ 2k при k < 5, N0 = 2k или полуреплика от него (ДФЭ 2k-1) при k ³ 5, N0 = 2k-1.

Если линейное уравнение регрессии оказалось неадекватным, необходимо:

1) добавить 2 k звездных точек, расположенных на координатных осях факторного пространства. Звездные точки расположены на расстоянии a от центра плана, где a – звездное плечо

(рис. 13);

2) увеличить число экспериментов в центре плана Nц. Общее число опытов

66

Пример выполнения задания.

Исследовать химический процесс разложения минералов (табл. 38). Функция отклика y – степень извлечения компонента в жидкую фазу, % масс. На процесс влияют факторы: x1 – температура процесса, °С; x2 – продолжительность взаимодействия, мин;

x3 – доля кислоты, % масс.; x4 – концентрация кислоты, % масс.

Решение.

Число опытов N = 28, N0 = 24 = 16, Nц = 4, N* = 2×4 = 8,

67

По результатам опыта формируется полином

y = b0¢ + b1x1 + b2 x2 + b3 x3 + b4 x4 + b12 x1x2 +b13 x1x3 +

+b14 x1x4 + b23 x2 x3 + b24 x2 x4 + b34 x3 x4 + b11 (x12 - a)+

+b22 (x22 - a)+ b33 (x32 - a)+ b44 (x42 - a).

Чтобы перейти к обычной записи, b0 определяют как

b0 = b0¢ - b11a - b22 a - b33a - b44 a .

Благодаря ортогональности матрицы все коэффициенты определяются независимо друг от друга следующим образом

i=1

Получим

b0¢ = 81,79; b1 = 9,54; b2 = 2,59; b3 = 4,35; b4 = -0,95; b12 = -0,97; b13 = 0,59; b14 =-0,57; b23 = 0,55; b24 = -0,44;

b34 = 0,32; b11 = -2,55; b22 = -1,96; b33 = -2,30; b44 = -2,99; b0 = 89,21.

Дисперсии коэффициентов равны

Дисперсии коэффициентов

sb02 = 0,29; sb(1-4)2 = 0,38; sb(12-34)2 = 0,50; sb(11-44)2 = 0,60.

68

sb0 = 0,53; sb(1-4) = 0,61; sb(12-34) = 0,71; sb(11-44) = 0,77.

Коэффициент значим, если tj > tкр(fвоспр), fвоспр – число степеней свободы дисперсии воспроизводимости, fвоспр = Nц – 1 = 3.

Для уровня значимости 0,05 tкр = 3,18;

t0 = 166,9; t1 = 15,5; t2 = 4,2; t3 = 7,1; t4 = 1,5;

t12 = 1,4; t13 = 0,8; t14 = 0,8; t23 = 0,8; t24 = 0,6; t34 = 0,5; t11 = 3,3; t22 = 3,2; t33 = 3,2; t44 = 3,9.

Незначимыми являются следующие коэффициенты: b4, b12, b13, b14, b23, b24, b34. После их исключения получено уравнение

y = 89,21 + 9,54 x1 + 2,59 x2 + 4,35 x3 –

– 2,55 x12 – 1,96 x22 – 2,30 x32 – 2,99 x42.

Предсказанные по модели значения (табл. 39).

где с + 1 = 8 – число значимых коэффициентов уравнения.

69

Fнабл = 16,3 / 8,0 = 2,04. Fтабл = 3,10,

число степеней свободы для дисперсии воспроизводимости3; число степеней свободы для дисперсии адекватности 20.

Так как Fнабл < Fтабл, модель адекватно описывает процесс.

Задание

На процесс влияет 4 фактора, записанные в нормированных значениях. Был использован композиционный план -Бокса Уилсона. «Ядро» плана содержит N0 = 24 = 16 опытов, количество опытов в центре планаNц = 4, количество опытов в «звездных» точках N* = 2×4 = 8 (см. табл. 38). Результаты эксперимента представлены в табл. 40. Получить уравнение для функции отклика и проверить его адекватность на уровне значимости 0,05.

70