Планирование и организация эксперимента. Лабораторный практикум. Учебное пособие

ожидаемое значение параметра оптимизации, для чего данные значения факторов подставим в уравнение функции отклика в натуральных значениях, получим ˆy = 112,25 °С.

Реальный опыт, поставленный в точке № 5, дал результат

у = 98,5 °С.

Условия проведения опыта № 6:

~ = 3,5 – 1,0 = 2,5 усл. ед., x1

~ = 5,5 – 4,5 = 0,5 %. x2

«Мысленный» опыт в данной точке ˆy = 138,75 °С.

Реальный опыт у = 97,5 °С.

Следовательно, мы попали в почти стационарную область и для определения максимального значения функции отклика следует поставить ПФЭ 32 или композиционный план с центом плана в точке № 5.

Задание

Даны результаты ПФЭ 22 для анализа влияния различных факторов на вкусовые показатели крекера. В качестве факторов, определяющих состояние объекта исследования, выбраны следующие (табл. 46):

1) ~ – количество масла пальмового для эмульсии, кг/т го- x1

товой продукции;

2) ~ – количество масла пальмового для отделки поверх- x2

ности крекера, кг/т готовой продукции.

Откликом у выбран вкус готового крекера, измеряемый экспертами органолептически в баллах(наибольший балл соответствует лучшему вкусу) (табл. 47).

91

Необходимо:

а) определить коэффициенты линейного уравнения регрессии в кодированных значениях, проверить адекватность уравнения регрессии;

б) рассчитать составляющие движения по градиенту; в) преобразовать уравнение функции отклика в натураль-

ные значения факторов; г) рассчитать координаты новых точек плана эксперимента

и произвести «мысленные» опыты; д) по результатам данных реальных опытов(табл. 48) сде-

лать вывод об эффективности движения по градиенту.

92

Содержание отчета

Отчет оформляется так же, как в лабораторной работе № 1.

Лабораторная работа № 10. Многопараметрическая оптимизация. Линейное программирование

Цель работы: изучение метода определения оптимального плана или оптимальной программы, по которой из множества возможных вариантов исследуемого процесса выбирают по како- му-либо признаку оптимальный вариант.

Краткие теоретические сведения

Общей задачей линейного программирования называется задача, которая состоит в определении максимального(минимального) значения функции (так называемой целевой функции):

n

F = åc j x j .

j =1

при условиях (называемых ограничениями задачи)

n

åaij x j £ bi (i =1,...,k ),

j =1

åaij x j = bi (i = k +1,...,m),

x j ³ 0 (j =1,...,l , l £ n),

где aij, bi, cj – заданные постоянные величины и k ≤ m.

93

Пример выполнения задания.

Для производства двух видов изделий А и В предприятие использует три вида сырья. Нормы расхода сырья каждого вида на изготовление единицы продукции данного вида приведены в табл. 49. Там же указана прибыль от реализации одного изделия каждого вида и общее количество сырья данного вида, которое может быть использовано предприятием.

Требуется составить такой план выпуска изделий, при котором прибыль предприятия от реализации всех изделий была бы максимальной.

Решение.

Предположим, что изделий А будет изготовлено х1, шт., изделия В – х2, шт. Тогда, для производства такого количества изделий потребуется израсходовать сырья 1 вида 12 х1 + 4 х2.

Так как общее количество данного вида сырья не может превышать 300 кг, то должно выполняться неравенство

12 х1 + 4 х2 ≤ 300.

Аналогично для сырья2 и 3 видов должны выполняться неравенства

4 х1 + 4 х2 ≤ 120,

3 х1 + 12 х2 ≤ 252.

Так как количество используемого сырья не может быть отрицательным, то

х1 ³ 0, х2 ³ 0.

Если будет изготовлено х1 изделий А, х2 изделий В, то прибыть от их реализации составит

F = 30 х1 + 40 х2.

94

Переходим к следующей математической задаче. Дана система неравенств

12 х1 + 4 х2 ≤ 300,

4 х1 + 4 х2 ≤ 120,

3 х1 + 12 х2 ≤ 252

относительно двух переменных и линейная функция относительно этих же переменных

F = 30 х1 + 40 х2.

Требуется найти среди всех неотрицательных решений системы неравенств такое, при котором функция принимает максимальное значение.

Найдем решение задачи, используя ее геометрическую интерпретацию. Сначала определим многоугольник решений. Для этого в неравенствах системы ограничений и условиях неотрицательности переменных знаки неравенств заменим на знаки точных равенств и найдем соответствующие прямые.

12 х1 + 4 х2 = 300,

4 х1 + 4 х2 = 120,

3 х1 + 12 х2 = 252, х1 = 0, х2 = 0.

Нанесем на рис. 22 все получившиеся прямые. Заштрихованная область соответствует многоугольнику решений. Координаты любой точки данного пятиугольника удовлетворяют данной системе неравенств. Теперь следует определить точку, принадлежащую пятиугольнику, в которой функция F принимает максимальное значение.

Чтобы найти указанную точку, необходимо провести на графике вектор, который указывает градиент целевой функции. Строим вектор N(30;40) и прямую 30х1 + 40х2 = h. Линия нулевого уровня прибыли 30х1 + 40х2 = 0.

Перемещая уравнение прямой 30х1 + 40х2 = h до границы пятиугольника, получим значение h, соответствующее наибольшей прибыли.

95

Рис. 22

Координаты данной точки определим, решая систему уравнений

4 х1 + 4 х2 = 120,

3 х1 + 12 х2 = 252, получим (рис. 23) х1 = 12, х2 = 18.

96

Задание

1. На швейной фабрике при производстве двух видов изделий может быть использовано 3 вида ткани. Нормы расхода тканей для пошива одного изделия приведены в табл. 50.

Кроме того, здесь указано имеющееся в распоряжении фабрики общее количество всех тканей и цена изделий каждого вида. Определить план выпуска изделий, чтобы стоимость изготовленной продукции была максимальной (варианты № 1, 3, 5, 7, 9, 11).

2. Для перевозок грузов на двух линиях могут быть использованы суда трех типов. Производительность судов при использовании их на различных линиях приведены в табл. 51.

Кроме того, здесь указано общее время, в течение которого суда каждого типа находятся в эксплуатации, необходимые объемы перевозок на каждой линии. Определить план использования судов, чтобы обеспечить их максимальную загрузку(вари-

анты № 2, 4, 6, 8, 10, 12).

Содержание отчета

Отчет оформляется так же, как в лабораторной работе № 1.

97

Библиографический список

Основной

1.ГОСТ Р ИСО/ТО10017-2005. Статистические методы. Руководство по применению в соответствии с ГОСТ Р ИСО 9001

[Текст]. – Введ. 2005-07-01. – М. : Стандартинформ, 2005. – 20 с.

2.ГОСТ Р 50779.21-2004. Статистические методы. Правила определения и методы расчета статистических характеристик по выборочным данным. Часть 1. Нормальное распределение [Текст].

–Введ. 2004-06-01. – М : ИПК Изд-во стандартов, 2004. – 43 с.

3.Афанасьева, Н. Ю. Вычислительные и экспериментальные методы научного эксперимента [Текст] / Н. Ю. Афанасьева. – М. :

Кнорус, 2013. – 330 с.

4.Волосухин, В. А. Планирование научного эксперимента :

[Текст] : учебник / В. А. Волосухин, А. И. Тищенко. – М : РИОР,

Инфра-М, 2014. – 176 с.

Дополнительный

1.Григорьев, Ю. Д. Методы оптимального планирования эксперимента: линейные модели [Электронный ресурс] : учеб. пособие / Ю. Д. Григорьев. – Электрон. дан. – СПб. : Лань, 2015. –

Режим доступа: http://e.lanbook.com/book/65949. – Загл. с экрана.

2.Вершинин, В. И. Планирование и математическая обработка результатов химического эксперимента[Электронный ресурс] : учеб. пособие / В. И. Вершинин, Н. В. Перцев. – Электрон. дан. – СПб. : Лань, 2017. – Режим доступа: http://e.lanbook.com/book/92623. – Загл. с экрана.

3.Васильев, А. Н. Числовые расчеты в Excel [Электронный ресурс] : справ. / А. Н. Васильев. – Электрон. дан. – СПб. : Лань, 2014. –

Режим доступа: http://e.lanbook.com/book/68464. – Загл. с экрана.

4.Петров, А. В. Моделирование процессов и систем [Электронный ресурс] : учеб. пособие / А. В. Петров. – Электрон. дан.

–СПб. : Лань, 2015. – Режим доступа: http://e.lanbook.com/book/68472. – Загл. с экрана.

3.Плотников, А. Н. Элементарная теория анализа и статистическое моделирование временных рядов [Электронный ресурс] : учеб. пособие / А. Н. Плотников. – Электрон. дан. – СПб. : Лань, 2016. –

Режим доступа: http://e.lanbook.com/book/72992. – Загл. с экрана.

98

Приложение 1

Критерий Н. В. Смирнова

Примечание: при n > 25 рекомендуется применять критерий Стьюдента t.

Приложение 2

Интегральная функция нормированного нормального распределения

99

Продолжение прил. 2

100