Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Планирование и организация эксперимента. Лабораторный практикум. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

856 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 112 3 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Проверить гипотезу о наличии грубых погрешностей на уровне значимости 0,05.

Решение.

Рассчитаем среднее значение и выборочную дисперсию, для чего воспользуемся функциями табличного процессораMi-

crosoft Excel СРЗНАЧ(число1;[число2];…)	и	ДИС-
П(значение1;[значение2];...)

		1	n
X	=	1	å x	= 12,79 %,
X	=		å x	= 12,79 %,
			i
		n i=1

ån (xi - X )2

S X	2 =	i=1		= 0,61 %2.

			n -1

Наиболее удаленным от среднего является результат измерения № 5. Проверим гипотезу о том, является ли данное наблюдение аномальным. Рассчитаем наблюдаемое значение критерия Н. В. Смирнова

uнабл = X - x * = (12,79 – 11) / 0,78 = 2,29.
Sx	2

По таблице прил. 1 определяем критическое значение кри-

терия uкр = 2,18.

Так как инабл > икр, нулевую гипотезу отвергаем, следовательно, результат измерения 11 % является грубой погрешностью. Данный результат исключают из рассмотрения, а выборочные характеристики пересчитывают.

Задание.

Определить, имеются ли на уровне значимости 0,05 грубые погрешности в ряду значений – результатов измерений массовой доли влаги вареной колбасы. Данные взять из табл. 2 в соответствии с вариантом.

						Таблица 2

Номер	Вариант	Вариант	Вариант	Вариант	Вариант	Вариант
измере-	№ 1	№ 2	№ 3	№ 4	№ 5	№ 6
ния
1	2	3	4	5	6	7
1	58,7	54,7	53,7	55,2	56,3	56,2
2	57,7	56,7	52,8	54,8	56,1	53,9
3	59,2	54,3	53,3	53,2	54,0	54,2

Окончание табл. 2

1	2	3	4	5	6	7
4	60,3	52,9	54,4	54,6	55,1	54,6
5	60,2	54,7	54,6	56,3	54,9	54,8
6	60,7	54,5	57,0	55,9	57,4	54,3
7	56,8	56,7	53,4	55,5	55,9	56,9
8	58,8	54,9	54,5	55,7	54,6	55,8
9	60,1	53,6	54,2	53,5	54,6	55,0
10	57,9	55,0	54,7	57,2	53,3	54,3
11	58,3	52,4	56,4	53,7	54,3	55,8
12	57,3	55,5	55,9	55,6	53,6	53,9
Номер	Вариант	Вариант	Вариант	Вариант	Вариант	Вариант
измере-	№ 7	№ 8	№ 9	№ 10	№ 11	№ 12
ния
1	54,64	53,47	55,29	56,53	56,44	58,08
2	50,38	54,72	56,31	53,70	54,17	52,97
3	52,78	53,83	54,07	52,46	54,32	54,52
4	55,16	54,56	54,61	54,56	56,61	54,90
5	54,78	54,38	57,37	56,04	57,85	54,21
6	56,99	53,07	55,65	56,08	57,30	54,90
7	54,37	55,81	54,54	55,91	53,27	53,98
8	53,17	54,56	54,96	55,03	54,61	57,63
9	52,91	54,12	50,91	57,74	53,46	54,22
10	55,91	56,56	56,05	55,71	52,35	53,66
11	55,83	55,39	53,87	54,71	55,16	55,67
12	55,17	53,91	57,26	55,58	55,09	56,00

Проверка гипотезы о равенстве средних (математических ожиданий) двух нормально распределенных величин с известными дисперсиями

Важное практическое применение имеет критерий проверки гипотезы о равенстве средних(математических ожиданий) двух нормальных распределений с известными дисперсиями(известными из предшествующего опыта или найденными теоретически). Подобная задача возникает, например, при сравнении качества изделий, изготовленных на разных установках.

Пусть генеральные совокупности X и Y распределены нормально, по независимым выборкам, объемы которых соответст-

венно равны n и m, извлеченным из этих совокупностей, определены выборочные средние X и Y .

Нулевая гипотеза, которую требуется проверить по выборочным средним при заданном уровне значимостиa, запишется следующим образом:

H0: M(X) = M(Y),

т. е. генеральные средние (математические ожидания) рассматриваемых совокупностей равны между собой. Конкурирующая ги-

потеза H1: M(X) ≠ M(Y).

Если окажется, что нулевая гипотеза справедлива, т. е. генеральные средние одинаковы, то различие выборочных средних незначимо и объясняется случайными причинами. Например, если физические величины А и В имеют одинаковые истинные раз-

меры, а средние арифметические X и Y результатов измерений этих величин различны, то это различие незначимое. Если нулевая гипотеза отвергнута, т.е. генеральные средние неодинаковы, то различие выборочных средних значимо и не может быть объяснено случайными причинами, а объясняется тем, что сами ге-

неральные

средние (математические ожидания) различны. На-

пример, если среднее арифметическое

результатов измерений

физической величины А значимо отличается от среднего арифме-

результатов измерений физической величиныВ, то

тического Y

это означает, что истинные размеры (математические ожидания)

этих величин различны.

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы принима-

ют случайную величину

Z =

-Y

2 + S

Если нулевая гипотеза выполняется, то критерий Z – нор-
мированная случайная величина, т. е. ее математическое ожида-
ние М(Z) = 0 и стандартное отклонение s(Z) = 1.
Определяем	двустороннюю	критическую	область

(т. к. конкурирующая гипотеза H1: M(X) ≠ M(Y)) из равенства F(zкр) = (1 – a) / 2 по таблице функции Лапласа (прил. 2).

Если Zнабл < zкр – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Пример выполнения задания.

Даны две совокупности нормально распределенных -слу чайных величин, представляющих собой содержание вредных примесей в двух партиях химикатов (табл. 3). Требуется на уров-

не	значимости 0,01	проверить	нулевую	гипотезу
H0 : M (X )= M (Y )		при	конкурирующей		гип
H1 : M (X )¹ M (Y ).			Таблица 3
			Таблица 3

	Номер измерения	xi, %	yi, %
	1	0,047	0,060
	2	0,037	0,047
	3	0,052	0,050
	4	0,063	0,048
	5	0,062	0,041
	6	0,067	0,040
	7	0,028	0,055
	8	0,048	0,035
	9	0,061	0,055
	10	0,039
	11	0,043
	12	0,033
	13	0,032
	14	0,040
	Дисперсия	Sx2 = 0,012 %2	S y 2 = 0,008 %2

Решение.

Определим выборочные средние для двух совокупностей данных

		1	n		1	n
X	=		å x = 0,047 %; Y	=		å y = 0,048 %.

			i			i
		n i=1			n i =1

Найдем наблюдаемое значение критерия


Zнабл =		X - Y					= (0,047 – 0,048) / (0,012 / 14 + 0,008 / 9)	1/2	=
Zнабл =		2		S		2	= (0,047 – 0,048) / (0,012 / 14 + 0,008 / 9)		=
	S	2		S		2
		X	+			Y
		n	+		m
		n			m

=- 0,0264.

Определим двустороннюю критическую область(т. к. конкурирующая гипотеза H1 : M (X )¹ M (Y )) из равенства

F(zкр) = (1 – a) / 2 = (1 – 0,01) / 2 = 0,495

По таблице прил. 2 zкр = 2,58.

Если Zнабл < zкр – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. В данной задаче - 0,0264 < 2,58 , следовательно, средние величины равны.

Задание.

Проверить гипотезу о равенстве средних значений кислотности в двух партиях ряженки классической на уровне значимости 0,05. Результаты контроля кислотности, °Т, в выборках из партий представлены в табл. 4.

						Таблица 4
Номер	Вариант	Вариант	Вариант	Вариант	Вариант	Вариант
измере-	№ 1	№ 2	№ 3	№ 4	№ 5	№ 6
ния
1	2	3	4	5	6	7
		Первая выборка
1	72	84	85	89	79	82
2	71	61	85	77	98	86
3	90	92	84	79	73	97
4	73	80	105	65	87	71
5	98	66	75	73	93	76
6	74	67	100	72	89	94
7	97	78	81	96	94	84
8	75	66	87	93	89	90
9	101	100	79	98	82	108
10	96	87	90	92	75	76
11	71	101	92	88	102	95
1	2	3	4	5	7	8
12	83	71	90	89	91	74
Диспер-	146,8	185,2	71,0	112,5	79,1	123,9
сия

Окончание табл. 4

1	2	3	4	5	6	7
		Вторая выборка
1	87	58	68	73	79	78
2	77	91	81	92	102	112
3	75	90	91	97	74	77
4	77	114	91	96	63	74
5	96	64	75	109	94	98
6	75	78	68	88	90	104
7	99	97	67	102	84	67
8	83	86	95	92	73	98
Диспер-	91,1	323,3	133,3	109,9	161,3	275,2
сия
Номер	Вариант	Вариант	Вариант	Вариант	Вариант	Вариант
измере-	№ 7	№ 8	№ 9	№ 10	№ 11	№ 12
ния
		Первая выборка
1	81	71	86	97	96	101
2	62	82	95	73	77	67
3	66	74	76	63	78	80
4	85	80	81	80	97	83
5	82	79	104	93	108	77
6	101	68	89	93	103	83
7	79	91	80	92	70	76
8	69	80	84	84	81	106
9	67	77	58	98	71	77
10	92	89	93	90	70	73
11	91	87	75	82	85	90
12	85	75	103	89	85	92
Диспер-	143,3	48,9	163,0	107,1	172,2	133,4
сия	143,3	48,9	163,0	107,1	172,2	133,4
		Вторая выборка
1	84	89	84	73	66	92
2	88	90	86	74	96	81
3	76	76	80	79	79	92
4	89	78	97	66	90	83
5	84	77	79	92	92	89
6	91	100	87	90	103	81
7	94	85	95	83	76	95
8	78	89	89	81	80	70
Диспер-	40,7	68,8	44,9	75,5	143,3	67,4
сия	40,7	68,8	44,9	75,5	143,3	67,4

Проверка гипотезы о равенстве выборочной средней заданному значению, дисперсия генеральной совокупности неизвестна

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы Н0: М(x)=а принимается случайная величина t, которая имеет распределение Стьюдента с k = n – 1 степенями свободы

t = X - a или t = (X - a) n .

	2	S X

S X

Если конкурирующая гипотеза Н1: М(x) ¹ а, то определяют двустороннюю критическую область. Если Тнабл < tдв.крит (a;k ) – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Пример выполнения задания.

Упаковочный автомат настроен на упаковывание продукции массой 100 г. Измерения 10 случайно отобранных упаковок дали следующие результаты (табл. 5).

Таблица 5

Масса	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
упа-
ковки
xi, г	99,5	98,7	101,1	99,3	101,1	99,3	99,2	99,8	99,4	98,5

Требуется на уровне значимости0,05 проверить нулевую гипотезу Н0: М(x)=а при конкурирующей гипотезе Н1: М(x)¹а.

Решение.

Определим среднее значение массы упаковки(используя функцию СРЗНАЧ(99,5; 98,7; 101,1; …; 98,5))

1 n

X = å xi = 99,6 г. n i=1

Рассчитаем выборочную дисперсию(с помощью функции

Microsoft Excel ДИСП(99,5; 98,7; 101,1; …; 98,5))

ån (xi - X )2

S X	2 =	i=1		= 0,762 г2.

			n -1

Определим наблюдаемое значение критерия

Tнабл = X - a = (99,6 – 100) / (0,762 / 10)1/2 = - 1,47.

SX 2

Для определения двусторонней критической области находим критическое значение критерия с использованием функции СТЬЮДРАСПОБР(вероятность; степени_свободы) (или по таблице значений критерия Стьюдента в прил. 3), для уровня значимости 0,05 и числа степеней свободы k = n – 1 = 9 tкр = 2,26.

Так как 1,47 < 2,26, нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу, автомат настроен верно.

Задание.

Даны значения времени изготовления детали (табл. 6), мин.

					Таблица 6
Вариант	Вариант	Вариант	Вариант	Вариант	Вариант
№ 1	№ 2	№ 3	№ 4	№ 5	№ 6
44	52	48	53	46	48
48	51	44	48	54	53
50	50	50	51	52	53
46	52	49	54	51	49
50	50	55	50	50	49
46	51	53	46	48	51
47	50	50	50	50	53
51	48	51	56	50	51
50	49	47	49	54	54
Вариант	Вариант	Вариант	Вариант	Вариант	Вариант
№ 7	№ 8	№ 9	№ 10	№ 11	№ 12
50	51	49	48	51	48
52	48	47	50	50	52
50	52	46	54	50	49
50	49	51	48	49	47
51	49	48	48	50	49
52	50	51	50	50	48
53	48	50	49	52	51
49	50	52	48	49	51
51	50	49	53	49	50

Предполагается, что время изготовления– нормально распределенная случайная величина. На уровне значимости 0,05 требуется определить, можно ли принять 50 мин в качест-

ве нормативного времени(математического ожидания) изготовления детали.

Проверка гипотезы о равенстве дисперсии предполагаемому (гипотетическому) значению

Обозначим через n объем выборки, по которой найдена выборочная дисперсия S2 с k = n – 1 степенями свободы.

Требуется по выборочной дисперсии проверить гипотезу о том, что генеральная дисперсия рассматриваемой совокупности равна предполагаемому (гипотетическому) значению s02. Другими словами, требуется установить, значимо или незначимо различаются выборочная и предполагаемая генеральная дисперсии.

На практике такая гипотеза проверяется, если нужно проверить точность средств измерения, работы оборудования. В качестве критерия проверки нулевой гипотезы используется случайная величина

c 2 = (n -1)S 2 , s02

которая в случае правильности гипотезы имеет распределениеc2 с k = n – 1 степенями свободы.

Для того чтобы на заданном уровне значимостиa проверить гипотезу о равенстве неизвестной генеральной дисперсии

нормальной совокупности предполагаемому значению Н0: s2 = s02 при конкурирующей гипотезе Н1: s2 ¹ s02, необходи-

мо построить двустороннюю критическую область, исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия в эту область в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости a.

Критические точки – левую и правую границы критической области – определяют, требуя, чтобы вероятность попадания критерия в каждый их двух интервалов критической области была

равна a/2:

P[c2 < c2лев.кр(a/2; k)] = a/2, P[c2 > c2прав.кр(a/2; k)] = a/2.

В таблице критических точекc2 указаны лишь«правые» критические точки, для нахождения «левой» критической точки исходят из требования, чтобы вероятность попадания критерия в интервал, расположенный правее этой точки, была равна 1 – a/2.

Если c2лев.кр < c2набл < c2прав.кр – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Пример выполнения задания.

Точность работы дозирующего автомата проверяется по дисперсии контролируемого объема бутылки подсолнечного масла, которая должна составлять10 мл2. Результаты контроля 25 бутылок представлены в табл. 7.

					Таблица 7
Объем, мл	989	992	994	997	1000
Частота	4	6	10	3	2

Требуется на уровне значимости 0,05 проверить, обеспечивает ли автомат требуемую точность.

Решение.

Определим среднее значение и выборочную дисперсию (с использованием функций СРЗНАЧ и ДИСП)

				1		n
	X	=		1	å x n = 994 мл.
	X	=			å x n = 994 мл.
						i	i
				n i=1
						ån (xi -			)2 ni
			2 =			ån (xi -		X	)2 ni
S X						i=1				= 10,1 мл2.
S X										= 10,1 мл2.
							n -1

Рассчитаем наблюдаемое значение критерия

2		(n -1)S 2		= (24 × 10,1) / 10 = 24,34.
cнабл	=
		s0	2

Конкурирующая гипотеза имеет вид s2 ¹ s02, поэтому критическая область двусторонняя. При помощи функции ХИ2ОБР (вероятность; степени_свободы) (или по таблице прил. 4) определим критические точки

c2лев.кр(1 – a/2; k)] = c2лев.кр(0,975; 24) = 12,4; c2прав.кр(a/2; k)] = c2прав.кр(0,025; 24)] =39,4.

<<< < Предыдущая 12 / 112 3 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]