Планирование и организация эксперимента. Лабораторный практикум. Учебное пособие

Так как c2набл < c2кр(a; k) – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу, данные подчиняются нормальному закону распре-

деления.

Задание.

Проверить гипотезу о нормальном законе распределения результатов измерения показателя качества – массовой доли влаги сухого молока на уровне значимости0,05 (исходные данные для расчета приведены в табл. 19).

Содержание отчета

1.Отчет должен быть выполнен на листах формата А4 с основной надписью по ГОСТ 2.104-2006.

2.Название и цель работы, исходные данные.

3.Порядок выполнения расчетов и их результаты.

31

Лабораторная работа № 2. Метод наименьших квадратов

Цель работы: приобретение практического навыка обработки результатов экспериментов методом наименьших квадратов.

Краткие теоретические сведения

Одним из наиболее распространенных методов обработки результатов экспериментов является метод наименьших квадратов. Он был разработан немецким математиком . КГауссом в 1794 г. и заключается в определении аналитического выражения связи отклика с факторами, называемого уравнением регрессии. Условия применения метода наименьших квадратов следующие:

а) независимые переменные (факторы) являются неслучайными;

б) отклики (измеряемые зависимые переменные) – это нормально распределенные случайные величины с одинаковыми дисперсиями (если этих величин несколько).

Пример выполнения задания.

Пусть в результате эксперимента получены значениях и у

(табл. 20).

Требуется получить функцию отклика, в виде регрессионного уравнения первого порядка ˆy = b0 + b1x (рис. 3).

Решение.

Для расчета неизвестных коэффициентов прямой линии по методу наименьших квадратов рассчитывают отклонения экспериментальных точек от точек, вычисленных по уравнению регрессии

yi - ˆyi = ei .

32

11

10

y = b0+b1x

9

8

у

7

6

5

4

1 2 3 4 5 6

х

Рис. 3

Сущность метода заключается в следующем: определяют такие значения параметров b0 и b1, при которых сумма отклонений будет минимальна

Для нахождения минимума функции S определяют частные производные

¶S и ¶S . ¶b0 ¶b1

Неизвестные коэффициенты можно рассчитать, приравняв частные производные функции к нулю,

¶S = -2 åN (yi - b0 - b1xi )= 0 ,

¶b0 i=1

¶S = -2 åN (yi - b0 - b1xi )xi = 0 .

¶b1 i=1

После преобразования получим

N N

Nb0 + åb1xi = å yi , i=1 i=1

33

34

= (6 × 179,1 – 46,3 × 21) / (6 × 91 – 212) = 0,9743.

Полученное уравнение регрессии

ˆy = 4,3067 + 0,9743x .

Значения у, предсказанные по уравнению регрессии, отличаются от экспериментальных значений (табл. 22).

i=1

метод наименьших квадратов гарантирует, что эта величина минимально возможная. Проверка адекватности полученного уравнения может быть проведена в том случае, если были использованы повторные опыты.

Задание

Найти уравнение регрессии и построить график по исходным данным, приведенным в табл. 23 по вариантам.

35

Окончание табл. 23

Содержание отчета

Отчет оформляется так же, как в лабораторной работе № 1.

Лабораторная работа № 3. Полный факторный эксперимент

Цель работы: изучение и практическое освоение полного факторного эксперимента.

Краткие теоретические сведения

Полный факторный эксперимент(ПФЭ) – эксперимент, реализующий все возможные неповторяющиеся комбинации уровней независимых факторов. Основной задачей ПФЭ является определение коэффициентов функции отклика.

В результате обработки результатов эксперимента должна быть получена модель процесса или объекта, записанная в виде регрессионного уравнения

y = f (x1, x2, x3, …, xn),

где y – отклик (параметр), наблюдаемая случайная переменная, по предположению, зависящая от факторов;

x1, x2, x3, …, xn – факторы, переменные величины, по предположению влияющие на результаты эксперимента;

36

f – функция отклика, зависимость математического ожидания отклика от факторов.

Фиксированное значение фактора относительно начала отсчета называется уровнем фактора. Для облегчения обработки результатов экспериментов предварительно проводят процедуру нормализации факторов, которая заключается в преобразовании натуральных значений факторов в нормализованные(безразмерные) по следующей зависимости

~ – натуральное значение фактора в центре эксперимента x0

(основной уровень фактора);

I – интервал варьирования фактора, равный половине размаха варьирования (разности между максимальным и минимальным натуральными значениями фактора).

Пример выбора уровней факторов при планировании эксперимента. Изучается процесс получения раствора некоторого химического элемента. В качестве отклика принята случайная величина у – содержание химического элемента в получаемом растворе, % масс.

Считают, что на процесс влияют два фактора:

х1 – концентрация химического элемента в исходном растворе, % масс.;

х2 – рН исходного раствора.

Известно, что 3 % масс. – это максимальный предел растворимости данного элемента в исходном растворе при нормальной температуре. Кроме того, считают, что скорость протекания реакции будет удовлетворительной, если концентрация химического элемента в исходном растворе не будет меньше 0,5 % масс.

Для второго фактора были проведены специальные опыты, в ходе которых установили, химическое вещество существует при рН от 3 до 8.

37

Найдем область определения факторов, интервалы варьирования и основные уровни факторов в натуральном и нормализованном виде.

По условию х1max = 3 % масс., х1min = 0,5 % масс.; х2max = 8, х2min = 3 – это область определения факторов (рис. 4).

Интервалы варьирования факторов в натуральном виде:

I1 = (x1max – x1min) / 2 = (3 – 0,5) / 2 = 1,25 % масс. I2 = (x2max – x2min) / 2 = (8 – 3) / 2 = 2,5.

Для фактора х1:

основной уровень х01 = (x1max + x1min) / 2 = 1,75 % масс.; в нормализованном виде 0.

Для фактора х2:

основной уровень х02 = (x2max + x2min) / 2 = 5,5; в нормализованном виде 0.

Рис. 4

При планировании экспериментов чаще всего применяются планы 1-го и 2-го порядков. Планы более высоких порядков применяются редко из-за их большой вычислительной сложности.

Планы 1-го порядка – это планы, которые позволяют провести эксперимент для отыскания уравнения регрессии, содержащего только первые степени факторов и их произведения

i ¹u

38

Планы 2-го порядка – это планы, которые позволяют провести эксперимент для отыскания уравнения регрессии, содержащие вторые степени факторов,

i ¹u

Вид модели определяет план эксперимента, используемый при планировании экспериментов. Условия проведения экспериментов записываются в виде матрицы. Матрица представления эксперимента должна обладать следующими свойствами:

1) симметричности относительно центра эксперимента– алгебраическая сумма элементов вектор-столбца каждого фактора равна нулю (за исключением столбца, соответствующего свободному члену):

n

å xij = 0,

j =1

где i – номер фактора; j – номер опыта;

2) нормирования – сумма квадратов элементов каждого столбца равна числу опытов:

n x 2 = N ,

å ij j =1

где N – число экспериментов;

3) ортогональности – скалярное произведение всех векторстолбцов (сумма почленных произведений элементов любых вектор столбцов) равно нулю:

n

å xij xuj = 0, i ¹ u ;

j =1

4) ротатабельности – точки в матрице планирования подбираются так, что точность предсказаний значений параметра оптимизации одинакова на равных расстояниях от центра эксперимента и не зависит от направления.

39

Полный факторный эксперимент (ПФЭ) для получения линейной модели – эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания n факторов на двух уровнях.

Количество всех сочетаний на двух уровнях для факторов равно N = 2n (количество опытных данных).

Полный факторный эксперимент предназначен для получения линейных моделей двух видов:

1)модель включает только линейные эффекты;

2)помимо линейных эффектов модель содержит эффекты взаимодействия факторов. При этом в матрицу плана вводится столбец произведения факторов.

Чтобы исключить влияние систематических ошибок, вызванных внешними условиями (изменением температуры, сырья, исполнителей и т. д.), рекомендуется случайная последовательность при постановке опытов, запланированных матрицей, т. е. рандомизация опытов необходимово времени. Например, для получения модели

y = b0 + b1x1 + b2x2 + b12x1x2

необходимо провести N = 2n = 22 = 4 опыта.

Построим план ПФЭ (табл. 24), используя правило чередования знаков (в первом столбце знаки меняются поочередно, во втором – через 2, в третьем – через 4 и т. п. по степеням 2).

В табл. 24 приведено по два значения отклика в каждой точке плана, это означает, что опыт повторяют 2 раза, т. е. число параллельных опытов m = 2. Среднее значение отклика в каждой строке матрицы по двум параллельным опытам yi .

Обработка экспериментальных данных начинается с оценки ошибки эксперимента по результатам параллельных опытов, с

40