Планирование и организация эксперимента. Лабораторный практикум. Учебное пособие

Условие выполняется c2лев.кр < c2набл < c2прав.кр, т. к. 12,4 < 24,34 < 39,4, следовательно, нет основания отвергнуть ну-

левую гипотезу, автомат обеспечивает требуемую точность.

Задание.

В результате хронометража времени укладки пищевых продуктов в тару различными работниками установлено, что дисперсия этого времени s02= 2 мин2. Результаты 20 наблюдений

за работой новичка показаны в табл. 8.

Можно ли на уровне значимости 0,05 считать, что новичок работает ритмично, т. е. дисперсия затрачиваемого им времени существенно не отличается от дисперсии времени остальных работников.

Проверка гипотез об однородности дисперсий

1) Сравнение двух дисперсий. По независимым выборкам,

объемы которых п1 и п2, извлеченных из нормальных генеральных совокупностей, определены выборочные дисперсии SX2 и SY2. Требуется сравнить эти дисперсии.

Нулевая гипотеза Н0: D(X) = D(Y). Для ее проверки используется критерий Фишера

21

F = SБ 2 . SМ 2

Проверка нулевой гипотезы в зависимости от вида конкурирующей гипотезы производится следующим образом:

а) конкурирующая гипотеза Н : D(X) > D(Y). Критическую

1

точку Fкр(a; k1; k2) определяют по таблице распределения Фишера по заданному уровню значимостиa и числам степеней свободы k1 = n1 – 1 (число степеней свободы большей выборочной диспер-

сии) и k2 = n2 – 1. Если Fнабл < Fкр – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу;

б) конкурирующая гипотеза Н : D(X) ¹ D(Y). Критическую

2

точку Fкр(a/2; k1; k2) определяют по таблице распределения Фишера по уровню значимости a/2, вдвое меньше заданного, и числам степеней свободы k1 = n1 – 1 (число степеней свободы большей выборочной дисперсии) и k2 = n2 – 1. Если Fнабл < Fкр – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Пример выполнения задания.

По двум независимым выборкам, объемы которых n1 =11 и n2 =14, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены выборочные дисперсии SX2 = 0,76 и SY2 = 0,38. На

Определим критическую точку Fкр с использованием функции FРАСПОБР(вероятность;степени_свободы1;степени_свободы2) по уровню значимостиa = 0,05 и числам степеней свободы

k1 = n1 – 1 = 10 и k2 = n2 – 1 = 13 Fкр(a; k1; k2) = 2,67 (или по табли-

це прил. 5). Так как Fнабл < Fкр – нет оснований отвергнуть нуле-

22

вую гипотезу, другими словами, выборочные дисперсии различаются незначимо.

Задание.

По двум независимым выборкам, объемы которых n1 =9 и n2 =16, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены выборочные дисперсии SX2 и SY2 (табл. 9). На уров-

2) Проверка гипотезы о равенстве нескольких дисперсий нормально распределенных совокупностей по выборкам различ-

ного объема. Пусть генеральные совокупности распределены нормально. Из этих совокупностей извлечены выборки различного объема. По выборкам найдены выборочные дисперсии S12, S22, …, Sl2 (l – количество выборок), требуется на заданном уровне

число ki = ni – 1, т. е. число, на единицу меньшее объема выборки, по которой вычислена выборочная дисперсия. Сумма чисел сте-

l

пеней свободы k = å ki .

i =1

Введем понятие средней арифметической выборочных дисперсий, взвешенной по числам степеней свободы,

ål ki Si 2

23

В качестве критерия проверки об однородности дисперсий используется критерий Бартлетта

B = V , C

зы об однородности дисперсий распределена приближенно как c2 с l – 1 степенями свободы, если объем каждой выборкиni ³ 4. Строят правостороннюю критическую область, критическую точку c2кр(a; l – 1) находят по таблицам распределенияc2. Если Внабл < c2кр – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Пример выполнения задания.

Даны значения массы пачек печенья, полученные по результатам контроля трех независимых выборок, причем упаковка продукции происходила на трех различных фасовочных автоматах (табл. 10). Требуется сравнить точность автоматов на уровне значимости 0,05.

Решение.

Определим выборочные дисперсии

24

Сумма чисел степеней свободы равна

l

k = å ki = 9 + 7 + 4 = 20.

i =1

Средняя арифметическая выборочных дисперсий, взвешенная по числам степеней свободы,

ål ki Si 2

lg S 2 =-0,105,

= 2,7358.

По уровню значимости0,05 и числу степеней свободы k = l – 1 = 2 определим критическую точку c2кр(0,05; 2) = 6,0. Так

как V < c2кр, то подавно (поскольку С > 1) Bнабл = V < c2кр.

C

25

Следовательно, отвергнуть нулевую гипотезу об однородности дисперсий нет оснований, т. е. они различаются незначимо (точность работы автоматов одинакова).

Задание.

Производится анализ качества конфет по показателю – массовая доля глазури. По трем независимым выборкам, объемы которых соответственно равны n1 = 10, n2 = 12, n3 = 15, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей(трех партий конфет, произведенных в различных цехах), найдены выборочные дисперсии (табл. 13). На уровне значимости 0,05 проверить гипотезу об однородности дисперсий.

3) Проверка гипотезы о равенстве нескольких дисперсий нормально распределенных совокупностей по выборкам одинако-

вого объема. Пусть генеральные совокупности распределены нормально. Из этих совокупностей извлечены выборки одинакового объема. По выборкам найдены выборочные дисперсииS12, S22, …, Sl2 (l – количество выборок), все с одинаковым числом степеней свободы k = n – 1.

Требуется на заданном уровне значимости проверить нуле-

вую гипотезу Н: D(X ) = D(X ) = … = D(X ),. Другими словами,

0 1 2 l

требуется проверить, значимо или незначимо различаются выборочные дисперсии. В качестве проверки нулевой гипотезы -ис пользуется критерий Кохрена

26

Распределение этой случайной величины зависит только от числа степеней свободы k = n – 1 и количества выборок l.

Строят правостороннюю критическую область, исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия в эту область в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости

P[G > Gкр(a; k; l)] = a.

Если Gнабл < Gкр – нет основания отвергнуть нулевую гипотезу.

Пример выполнения задания.

По четырем независимым выборкам одинакового объема n = 17, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей, найдены выборочные дисперсии: 0,26; 0,36; 0,40; 0,42. Требуется на уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу об однородности дисперсий и оценить генеральную дисперсию.

Решение.

Рассчитаем наблюдаемое значение критерия Кохрена

= 0,2917.

По таблице прил. 6 по уровню значимости 0,05, числу степеней свободы k = n – 1 = 16 и количеству выборок l = 4 определим критическую точку Gкр(a; k; l) = 0,4366.

Так как Gнабл < Gкр – нет основания отвергнуть нулевую гипотезу об однородности дисперсий, другими словами они различаются незначимо.

Поскольку нулевая гипотеза справедлива, в качестве оценки генеральной дисперсии примем среднюю арифметическую выборочных дисперсий

s2 = (0,26 + 0,36 + 0,40 + 0,42) / 4 = 0,36.

Задание.

27

Каждая из трех лабораторий произвела анализ 10 проб колбасы для определения массовой доли нитрита натрия. Найдены выборочные дисперсии (табл. 14). Предполагается, что массовая доля нитрита натрия в колбасе распределена нормально. Требуется на уровне значимости0,01 проверить гипотезу об однородности дисперсий.

Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности

Проверка гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения производится при помощи специально подобранной случайной величины – критерия согласия.

Наиболее часто требуется проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины. Если объем выборки достаточно велик (не менее 50), для проверки гипотезы может быть использован критерий c2 Пирсона. Пусть по выборке объемаn получено эмпирическое распределение(табл. 15) и в предположении нормального распределения генеральной совокупности вычислены теоретические частоты ni¢.

Для того чтобы на заданном уровне значимости проверить гипотезу Н0: генеральная совокупность распределена нормально, используют случайную величину

28

которая при n®¥ стремится к распределениюc2 с k степенями свободы, k = s – 1 – r, s – число групп (частичных интервалов), r – число параметров предполагаемого закона распределения, для нормального распределения r = 2, т. е. k = s – 3. Если c2набл < c2кр(a; k) – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Пример выполнения задания.

Результаты измерения расхода газа представлены в табл. 16.

Необходимо на уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о нормальном законе распределения результатов измерения.

Решение.

Определим середины интервалов(табл. 17) и рассчитаем выборочное среднее и выборочное стандартное отклонение

x= 1 ås xi ni = 200,185 м3/ч, n i=1

Решение.

Для расчета теоретических частот введем новую переменную z, которая будет являться нормированной случайной величи-

29

ной z = (xi - X ) со средним значением, равным 0, и стандартным

S

отклонением, равным 1. Определим значение функций нормаль-

По расчетным данным построим гистограмму распределения с нанесенной кривой нормального распределения (рис. 2).

Рис. 2

30