Планирование и организация эксперимента. Лабораторный практикум. Учебное пособие

этой целью рассчитывают строчные дисперсии(изменчивость серии параллельных опытов)

m

å (yij - yi )2

Если все строчные дисперсии однородны, можно рассчитать дисперсию воспроизводимости(или дисперсию параметра оптимизации)

с числом степеней свободы N(m-1).

Пример выполнения задания.

Пусть имеются результаты полного факторного эксперимента (ПФЭ) 22 (на функцию отклика влияют два фактора, которые изменяются на двух уровнях). Для простоты обработки результатов представим факторы в нормализованном виде (табл. 25).

Найти уравнение регрессии, проверить значимость коэффициентов уравнения и адекватность модели на уровне значимо-

сти 0,05.

Решение.

Рассчитаем дисперсию воспроизводимости, связанную с тем, что существуют ошибки параллельных опытов (m = 2).

Определим построчные дисперсии:

åm (yij - yi )2

41

S12 = (0,8 – 0,7)2 + (0,6 – 0,7)2 = 0,02; S22 = (1,7 – 1,7)2 + (1,7 – 1,7)2 = 0; S32 = (1,3 – 1,4)2 + (1,5 – 1,4)2 = 0,02;

S42 = (2,6 – 2,65)2 + (2,7 – 2,65)2 = 0,005.

Проверим гипотезу об однородности дисперсий при помощи критерия Кохрена на уровне значимости 0,05:

Gнабл = Simax2 = 0,02 / (0,02 + 0 + 0,02 + 0,005) = 0,44.

åS i

Табличное значение критерия (см. прил. 6) Gтабл = 0,91 (количество выборок N = 4; число степеней свободы k = m – 1 = 1), т. к. Gнабл < Gтабл, все дисперсии однородны (их можно усреднять) и можно рассчитать дисперсию воспроизводимостиSвосп2 или

S y 2 следующим образом

Sвосп2 = (0,02 + 0,02 + 0 + 0,005) / 4 = 0,0113.

Для факторов, записанных в нормализованном виде, формулы для вычисления коэффициентов уравнения значительно упрощаются (число опытов N = 4):

b0 = (0,7 + 1,7 + 1,4 + 2,65) / 4 = 1,6125; b1 = (– 0,7 +1,7 – 1,4 + 2,65) / 4 = 0,5625; b2 = (– 0,7 – 1,7 + 1,4 + 2,65) / 4 = 0,4125.

Получено уравнение регрессии

ˆy =1,6125 + 0,5625x1 + 0,4125x2 .

Для проверки значимости коэффициентов уравнения регрессии определим дисперсии оценок коэффициентов, для ПФЭ они равны между собой и равны

42

Sb2 = Sвоспр 2 = 0,0113 / (4 × 2) = 0,0014.

Nm

Коэффициент значим, если его абсолютная величина больше доверительного интервала Db

где t – критерий Стьюдента с числом степеней свободы N(m-1).

В данном примере все коэффициенты уравнения значимы, т. к. все они больше доверительного интервала.

Для того чтобы полученное уравнение регрессии было адекватным, необходимо, чтобы средний разброс в точках(дисперсия воспроизводимости) был такого же порядка, как и разброс относительно линии регрессии (дисперсия адекватности).

Дисперсия адекватности (или остаточная дисперсия) равна

где (с + 1) – число значимых коэффициентов модели.

Анализ адекватности модели производится при помощи критерия Фишера:

Fнабл = 0,0312 / 0,0113 = 2,8,

Табличное значение критерия (см. прил. 5) Fтабл = 5,3, число

степеней свободы для дисперсии воспроизводимост N(m – 1) = 4 × 1 = 4; число степеней свободы для дисперсии адек-

ватности N – (c + 1) = 4 – 3 = 1.

Так как Fнабл < Fтабл, модель адекватно описывает процесс.

43

Задание

Найти уравнение регрессии для ПФЭ22, взяв значения откликов из табл. 26 (число параллельных опытов m = 3). Матрица планирования экспериментов – см. табл. 24. Проверить значимость коэффициентов уравнения и адекватность модели на уровне значимости 0,05.

Таблица 26

44

Содержание отчета

Отчет оформляется так же, как в лабораторной работе № 1.

Лабораторная работа № 4. Дробный факторный эксперимент

Цель работы: изучение метода уменьшения числа опытов при планировании экспериментов и приобретение навыков обработки результатов дробного факторного эксперимента.

Краткие теоретические сведения

Полный факторный эксперимент (ПФЭ) обладает следующими недостатками:

1) количество опытов превышает число определяемых коэффициентов линейной модели, например, число опытов плана ПФЭ 24 (на параметр оптимизации влияют 4 фактора) равно 16, а число коэффициентов линейной модели вида

y = b0 + b1x1 + b2x2 + … + bnxn

45

Планы ДФЭ обозначаются 2n-k, где число опытовN = 2n-k, n – число факторов, k – показатель дробности плана ПФЭ.

При k =1 число опытов в плане ДФЭ в два раза меньше, чем в плане ПФЭ, поэтому такие планы называют полурепликой плана ПФЭ. При k =2 получают план, называемый четвертьрепликой плана ПФЭ. При выборе дробности необходимо учитывать, что

число опытов должно быть больше членов уравнения функции отклика (n + 1 ≤ 2n-k).

Пример выполнения задания.

Пусть на функцию отклика влияют 4 фактора. Для минимизации числа опытов принято решение использовать дробный

Решение.

Пусть тройные и четверные эффекты взаимодействия факторов пренебрежимо малы. Тогда функция отклика будет иметь вид

y = b0 + b1x1 + b2x2 + b3x3 + b4x4 +

+ b12x1x2 + b13x1x3 + b14x1x4 + b23x2x3 + b24x2x4 +b34x3x4.

Следовательно, необходимо определить 11 неизвестных коэффициентов уравнения. Данный план является ненасыщенным.

Матрица планирования эксперимента представлена в табл. 28. План является ортогональным, содержащим 3 пары одинаковых столбцов.

46

Таблица 28

Смешанные эффекты определим при помощи определяющего контраста +1 = x1 x2 x3 x4 (умножением фактора на обе части

выражения для определяющего контраста):

x1 = x12 x2 x3 x4 = x2 x3 x4; x2 = x1 x22 x3 x4 = x1 x3 x4; x3 = x1 x2 x32 x4 = x1 x2 x4; x4 = x1 x2 x3 x42 = x1 x2 x3;

x1 x2 = x12 x22 x3 x4 или x1 x2 = x3 x4; x1 x3 = x12 x2 x32 x4 или x1 x3 = x2 x4;

x1 x4 = x12 x2 x3 x42 или x1 x4 = x2 x3 (т.к. всегда xi2 = 1).

Следовательно, совместные оценки линейных факторов и взаимодействий выглядят следующим образом:

b1 ® b1 + b234; b2 ® b2 + b134; b3 ® b3 + b124; b4 ® b4 + b123; b12 ® b12 + b34; b13 ® b13 + b24; b14 ® b14 + b23.

Поскольку тройными взаимодействиями пренебрегли, то получим

b1 ® b1; b2 ® b2; b3 ® b3; b4 ® b4.

Матрицу планирования эксперимента можно переписать следующим образом (табл. 29).

47

Таблица 29

В результате проведения экспериментов при использовании двух параллельных опытовm = 2 получены значения функции отклика и вычислены средние значения (табл. 30).

Определим дисперсию воспроизводимости, для чего рассчитаем построчные дисперсии:

S12 = 0,18; S22 = 0,18; S32 = 0,02; S42 = 0,02; S52 = 0,125; S62 = 0,08; S72 = 0,08; S82 = 0,125.

Проверим гипотезу об однородности дисперсий при помощи критерия Кохрена на уровне значимости 0,05 (количество выборок N = 8; число степеней свободы k = m – 1 = 1):

+ 0,08 + 0,08 + 0,125) = 0,222, Gтабл = 0,6798.

Так как Gнабл < Gтабл, все дисперсии однородны (их можно усреднять) и можно рассчитать дисперсию воспроизводимости

Sвосп2 или S y 2 следующим образом:

48

Sвосп2 = (0,18 + 0,18 + 0,02 + 0,02 + 0,125 + 0,08 + 0,08 + 0,125) / 8 = = 0,101.

Определим коэффициенты модели

b0 = (11,5 + 9,2 + 15 + 25 + 26 + 14,1 + 5 + 20,15) / 8 = 15,37, b1 = (- 11,5 + 9,2 - 15 + 25 - 26 + 14,1 - 5 + 20,15) / 8 = 1,74, b2 = (- 11,5 – 9,2 + 15 + 25 - 26 – 14,1 + 5 + 20,15) / 8 = 0,17, b3 = (- 11,5 – 9,2 - 15 - 25 + 26 + 14,1 + 5 + 20,15) / 8 = 0,19, b4 = (- 11,5 + 9,2 + 15 - 25 + 26 – 14,1 - 5 + 20,15) / 8 = 2,22, b12 + b34 = (11,5 – 9,2 - 15 + 25 + 26 – 14,1 - 5 + 20,15) / 8 =

= 5,29,

b13 + b24 = (11,5 – 9,2 + 15 - 25 - 26 + 14,1 - 5 + 20,15) / 8 = = -0,18,

b14 + b23 = (11,5 + 9,2 - 15 - 25 - 26 – 14,1 + 5 + 20,15) / 8 = = -4,66.

Будем считать, что коэффициенты смешанных оценок сопоставимы, т. е.

b12 = b34 = 5,29 / 2 = 2,65, b13 = b24 = -0,18 / 2 = -0,09, b14 = b23 = -4,66 / 2 = -2,33.

Уравнение регрессии получено в виде

y = 15,37 + 1,74x1 + 0,17x2 + 0,19x3 + 2,22x4 +

+ 2,65x1x2 - 0,09x1x3 - 2,33x1x4 - 2,33x2x3 - 0,09x2x4 +2,65x3x4.

Для проверки значимости коэффициентов уравнения регрессии определим дисперсии оценок коэффициентов

Sb2 = Sвоспр 2 = 0,101 / (8 × 2) = 0,006.

Nm

Коэффициент значим, если его абсолютная величина больше доверительного интервала Db

49

Fнабл = 0,264 / 0,101 = 2,60.

Fтабл = 4,07, число степеней свободы для дисперсии воспроизводимости N (m – 1) = 8×1 = 8; число степеней свободы для дисперсии адекватности N – (c + 1) = 8 - 5 = 3.

Так как Fнабл < Fтабл, модель адекватна.

50