Основы теории игр. Учебное пособие

§ 11. Игры с природой

Во всех примерах, рассмотренных в предыдущих параграфах, оба игрока принимают решения, то есть выбирают свои стратегии осознанно, с целью получения наибольшего выигрыша или наименьшего проигрыша. Но так бывает не всегда. В экономической практике при принятии решений можно столкнуться с неопределенными силами. Эта неопределенность не связана с сознательным целенаправленным противодействием противника. Часто встречается ситуация, в которой лицо, принимающее решение, недостаточно информировано об объективных внешних условиях. Неопределенность такого вида может порождаться различными причинами: нестабильностью экономической ситуации, рыночной конъюнктурой, курсом валют, уровнем инфляции, изменяющимся покупательским спросом, природными условиями и т. д. В таких играх только один из игроков действует осознанно. Другим игроком является незаинтересованная объективная действительность: покупательский спрос, стихийные природные условия, сложившаяся стихийно экономическая обстановка и т. д. Эта вторая сторона не противодействует первому игроку как противник, а действует случайным образом. Такие игры принято называть играми с природой. Пусть у игрока A имеется m стратегий: A1, A2,…, Am. У игрока П (природы) имеется n возможностей находиться в одном из состояний: П1, П2,…, Пn, которые можно назвать стратегиями природы. Матрица выигрышей игры с природой состоит из элементов cij , со-

стороны, можно считать частным случаем антагонистической игры. С другой стороны, отличие состоит в том, что величины cij не яв-

ляются проигрышами природы. За эти проигрыши платить будет какая-то третья сторона, например жители данной местности, работники конкретной фирмы и т. д.

В играх с природой по-другому дело обстоит и с отношением доминирования. Именно, принципом доминирования можно пользоваться только по отношению к игроку A, который действует осознанно. Но по отношению ко второму игроку (природе) этот прин-

61

цип неприменим, поскольку свои стратегии природа «выбирает» случайно.

Далее будем считать, что доминируемые строки из матрицы выигрышей удалены. Требуется выбрать такую стратегию игрока A, которая является предпочтительной по сравнению с другими стратегиями. Возникает вопрос, как оценить удачность выбора какой-

либо стратегии Ai, i 1,m, игроком A при состоянии природы Пj, j 1,n , в условиях полной неопределенности. Надо ввести показатель степени этой удачности. Для этого вводится понятие «риск».

Определение. Риском rij игрока A при применении стратегии Ai в условиях состояния природы Пj называется разность между

выигрышем, которую он получил бы, если бы знал состояние природы Пj, и выигрышем, который он получит в тех же условиях, применяя стратегию Ai:

ность, что и матрица выигрышей C (cij ). Риск rij выражает упу-

щенную возможность максимального выигрыша при данном состоянии природы. Величина риска – это плата за неинформированность о действительном состоянии объективной реальности.

Пример 11.1. Планируется застройка нового микрорайона при неизвестных условиях рыночного спроса, о котором можно сделать три предположения: П1, П2, П3. Ожидаемая прибыль от застройки при этих условиях выражается матрицей выигрышей

Построим матрицу рисков для этой игры. Для этого вычтем каждый элемент матрицы cij из максимального значения каждого из столб-

цов матрицы C. Например, в первом столбце максимальным является элемент c21 9. Вычитая поочередно из этого значения эле-

62

менты первого столбца, получим 4, 0,5 . Поступая аналогично со вторым и третьим столбцами, получим матрицу рисков

Эта матрица хорошо иллюстрирует суть игры с природой. При выборе первой стратегии игроком A величины выигрышей: c11 c13 5, то есть одинаковы. Но эти выигрыши не являются рав-

ноценными, так как величины рисков, то есть упущенные возможности, у них существенно отличаются. Из матрицы (11.2) находим: r11 4, r13 0. Это означает, что при состоянии П1 игрок A мог бы

выиграть 9 условных единиц (у. е.), а выиграл всего 5 у. е. или, что то же самое, проиграл r11 4 у. е. При состоянии природы П3 риск

r13 0, то есть игрок A выиграл по максимуму и не упустил своих

возможностей. Таким образом, выбор стратегии A1 по отношению к состоянию П3 более предпочтителен, чем по отношению к состоянию П1.

Поставим задачу выбрать чистую или смешанную стратегию, которая была бы наиболее выгодной по сравнению с другими. Если неизвестны вероятности состояний природы Пj, то мы имеем дело с условиями полной неопределенности. Если же эти вероятности даны априорно, то возникает ситуация принятия решения в условиях риска.

Рассмотрим сначала условия полной неопределенности. В таких моделях при выборе оптимальной стратегии используется ряд критериев.

1. Критерий максимакса

Это критерий крайнего оптимизма, максимизирующий максимальные выигрыши игрока A при различных состояниях природы. При этом наилучшей считается стратегия, при которой достигается максимальный выигрыш,

Mmaxmaxcij .

ij

63

Например, для матрицы (11.1) этот принцип дает M max 5;9; 4 9, что соответствует стратегии A2. Этот критерий

ориентирует игрока A на наилучшее состояние природы. Таким критерием в экономике пользуются либо безоглядные оптимисты, либо лица, поставленные в безвыходное положение, у которых только и остается, что «поставить на карту все».

2. Максиминный критерий Вальда

В этом случае оптимальной считается такая стратегия, которая обеспечивает максимум минимального выигрыша при различных состояниях природы, то есть стратегия, гарантирующая при любых условиях выигрыш, не меньший, чем максимин:

Mmaxmincij .

ij

При этом критерии природа рассматривается как агрессивно настроенный противник и предполагается самое неблагоприятное ее состояние. В частности, для матрицы (11.1) получим M max 1;1; 2 2, что соответствует выбору стратегии A3. Такую

позицию можно назвать позицией крайнего пессимизма. Часто в экономике ее используют те, кто руководствуется поговоркой: «Береженого бог бережет». Такое решение практически исключает риск, поэтому критерий Вальда является одним из основных критериев при решении экономических или технических задач.

3. Критерий Гурвица

Этот критерий рекомендует «не впадать в крайности», то есть не вдаваться в крайний оптимизм или крайний пессимизм, а выбрать ту стратегию, которая дает промежуточный результат:

где числовой параметр [0;1] можно назвать степенью песси-

мизма.

При 1 получим пессимистический критерий Вальда, а при0 – максимаксный критерий крайнего оптимизма.

Выбор конкретного значения параметра определяется субъективными факторами и конкретной ситуацией. Если необходимо

64

сильнее подстраховаться, то надо выбирать значение 0,5. Если предпочтений нет, то можно выбрать «золотую середину»: 0,5.

Найдем в примере 11.1 оптимальную стратегию по критерию Гурвица при 0,7.

max 0,7 1 0,3 5;0,7 1 0,3 9;0,7 2 0,3 4

max 2,2;3,4; 2,6 3,4.

Этот элемент соответствует второй стратегии, то есть оптимальной является стратегия A2.

4. Критерий Сэвиджа

Это критерий минимального риска, который тоже можно отнести к критериям полного пессимизма. Выбирается такая стратегия, при которой величина риска в наихудшем случае минимальна:

Mminmaxrij .

ij

В примере 11.1 из матрицы (11.2) получим: M min 7; 4;5 4, поэтому наилучшей считается стратегия A2.

Замечания. 1. Несмотря на то, что критерии Вальда и Сэвиджа считаются критериями крайнего пессимизма, они могут приводить

квыбору разных стратегий. Это хорошо видно на примере 11.1.

2.Конкретных рекомендаций по применению того или иного критерия не существует. Лицо, принимающее решение, должно оценивать степень риска в конкретной ситуации. Можно выбирать разные критерии поочередно, а потом сделать окончательный выбор в пользу той или иной стратегии. Если различные критерии приводят к выбору одной и той же стратегии, то именно ее можно выбрать в качестве оптимальной в неопределенных условиях природы.

Рассмотрим теперь ситуацию частичной или неполной информированности игрока A, то есть случай принятия решения в условиях риска.

65

Предположим, что игрок A имеет сведения о вероятности наступления состояний природы П:

n

p j p(П Пj ), j 1,n , p j 1.

j 1

Рассмотрим несколько критериев принятия решений в игре с природой в условиях риска.

5. Критерий Байеса

Согласно этому критерию, показателем эффективности стратегии Ai, i 1,m, является математическое ожидание (среднее значение) выигрыша с учетом вероятностей всех возможных состояний природы Пj:

n

Mi p jcij , i 1,m. j 1

При этом оптимальной среди чистых стратегий считается стратегия с максимальным показателем эффективности

M max Mi .

1 i m

Пример 11.2. На промышленном предприятии выпуск новых видов продукции A1, A2, A3 зависит от степени обеспеченности производства материальными ресурсами: П1, П2, П3. Каждой паре

(Ai , Пj ), i 1,3, j 1,3, соответствует определенный выигрыш –

эффективность выпуска новых видов продукции. Возможные выигрыши выражаются численно матрицей

Необходимо найти оптимальную стратегию по критерию Байеса, если известны вероятности состояний природы: p1 0,2; p2 0,3;

p3 0,5.

Решение. Вычислим средние выигрыши, то есть показатели эффективности каждой из стратегий:

66

M1 0,2 70 0,3 20 0,5 30 35;

M 2 0,2 35 0,3 85 0,5 20 42,5;

M3 0,2 80 0,3 10 0,5 35 36,5.

Тогда M maxMi max 35; 42,5;36,5 42,5. Отсюда делаем вы-

1 i 3

вод, что оптимальной является стратегия A2.

6. Критерий Лапласа

Это частный случай предыдущего критерия. В некоторых условиях можно считать, что все n состояний природы Пj равновероятны, то есть

p j p(П Пj ) 1n .

Тогда критерий Лапласа рекомендует выбрать такую стратегию, при которой достигается максимум:

Вычислим это значение для матрицы (11.3) из примера 11.2. Имеем

Следовательно, по критерию Лапласа рекомендуется выбрать стратегию A2.

7. Критерий Гермейера

По этому критерию считается, что так как природа может оказаться в одном из состояний с вероятностью p j , j 1,n , то игрок A,

применив стратегию Ai, получит свой выигрыш cij только с этой вероятностью, то есть рассматривают элементы Гермейера cij p j . Матрица Гермейера имеет вид

67

При выборе стратегий игрок A предполагает, что природа будет находиться в самом неблагоприятном для него состоянии, при котором элемент Гермейера будет минимальным при выбранной стратегии. Таким образом, максимальным показателем эффективности служит число

M max Mi ,

1 i m

где

Mi 1minj n cij p j ,i 1,m.

Для матрицы выигрышей (11.3) из примера 11.2 составим

Тогда показатели эффективности стратегий имеют следующий вид:

M1 min 14;6;15 6;

M 2 min 7; 25,5;10 7;

M3 min 16;3;16,5 3.

68

Отсюда вычисляем максимальный показатель эффективности

M max 6;7;3 7.

Следовательно, оптимальной будет стратегия A2.

Подводя итог всему вышесказанному в этом параграфе, следует отметить, что при недостаточной информированности о состояниях природы рекомендуется проведение экспериментов для уточнения вероятностей различных состояний природы. Стоимость экспериментов также должна учитываться при будущих расчетах.

Проверь себя. Дана матрица выигрышей

1. Найти оптимальные стратегии игрока A, руководствуясь следующими критериями принятия решений в условиях неопределенности:

а) Вальда; б) максимакса;

в) Гурвица (при 0,6); г) Сэвиджа.

2. Найти оптимальные стратегии игрока A, применяя критерии принятия решений в условиях риска:

а) Байеса, если известны вероятности состояний природы p1 0,4; p2 0,1; p3 0,5;

б) Лапласа; в) Гермейера при тех же значениях вероятностей, что и в пунк-

те 2а).

Ответы: 1а) A3; 1б) A2; 1в) A2; 1г) A2; 2а) A3; 2б) A1 и A2; 2в) A2.

69

Вопросы для повторения

1.Предмет и цель теории игр.

2.История возникновения теории игр.

3.Основные понятия теории игр: игра, стратегия, оптимальная стратегия.

4.Классификация игр.

5.Матричная игра, чистая стратегия, платежная матрица.

6.Примеры матричных игр.

7.Нижняя и верхняя цены игры, максиминная и минимаксная стратегии.

8.Принцип минимакса.

9.Седловой элемент, цена игры.

10.Решение матричной игры в чистых стратегиях.

11.Многократно повторяемые игры, смешанные стратегии.

12.Оптимальные смешанные стратегии, средний выигрыш.

13.Теорема Неймана о решении матричной игры.

14.Доминирующие стратегии.

15.Теорема о доминирующих стратегиях.

16.Упрощение платежной матрицы.

17.Теорема об активных стратегиях в матричной игре.

18.Решение матричной игры аналитическими способами.

19.Решение матричной игры графическим способом.

20.Связь матричных игр с задачами линейного программирования.

21.Определение биматричной игры.

22.Точки равновесия по Нэшу.

23.Теорема Нэша для биматричных игр.

24.Примеры биматричных игр.

25.Решение биматричной игры.

26.Вычисление среднего выигрыша в биматричных играх.

27.Игры с «природой».

28.Матрица рисков.

29.Критерии принятия решений в условиях неопределённости:

а) Вальда; б) максимакса; в) Гурвица; г) Сэвиджа. 30. Критерии принятия решений в условиях риска:

а) Байеса; б) Лапласа; в) Гермейера.

70