Основы теории игр. Учебное пособие

Министерство образования и науки Российской Федерации

Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет

С. И. ПРОКОФЬЕВА, Э. Е. ПАК

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ИГР

Учебное пособие

Санкт-Петербург

2017

1

УДК 519.83

Рецензенты: канд. физ.-мат. наук, доцент В. Г. Пак (СПбГПУ); канд. физ.-мат. наук, доцент Л. Е. Морозова (СПбГАСУ)

Прокофьева, С. И.

Основы теории игр: учеб. пособие / С. И. Прокофьева, Э. Е. Пак. – 2-е изд., испр. и доп.; СПбГАСУ. – СПб., 2017. – 72 с.

ISBN 978-5-9227-0741-1

Представлены три раздела теории игр: матричные игры, биматричные игры, игры с природой. Теоретический материал подкреплен решением задач экономического содержания. Также предлагаются задачи для самостоятельного решения.

Предназначено для студентов экономических специальностей.

Ил. 12. Библиогр.: 9 назв.

Рекомендовано Учебно-методическим советом СПбГАСУ в качестве учебного пособия.

ISBN 978-5-9227-0741-1

©С. И. Прокофьева, Э. Е. Пак, 2017

©Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет, 2017

2

Введение

Теория игр – раздел математики, который сформировался

всередине XX века. Основоположником теории игр является американский математик Джон фон Нейман. Одной из первых работ по теории игр можно считать его статью «К теории стратегических игр», которая была напечатана в 1928 году [1] и в которой он,

вчастности, дал определение игры n лиц с нулевой суммой. Также

вэтой работе Нейман представил доказательство своей знаменитой

теоремы о существовании решения в смешанных стратегиях для так называемых матричных игр при n 2. Сегодня эта теорема общеизвестна под названием теоремы о минимаксе. Принято считать, что теория игр как самостоятельная математическая дисциплина сформировалась после публикации в 1944 году Дж. фон Нейманом и О. Моргенштерном книги «Теория игр и экономическое поведение» [2]. В настоящее время методы теории игр чаще всего используется в экономике, но также находят обширное применение в социологии, политологии, юриспруденции и других общественных науках.

Впоследние годы значение теории игр существенно возросло. В экономике она применима не только для решения общехозяйственных задач, но и для анализа стратегических проблем предприятий, разработок организационных структур и систем стимулирования.

Методы теории игр применяются, например, при организации промышленного производства, в процессах торговли, при организации торгов и аукционов. Аппарат теории игр послужил основой для создания современных теорий международной торговли, налогообложения и общественных благ, монетарной экономики, теории производственных организаций. В [3] показано, как аппарат теории игр применяется при анализе влияния законов на поведение людей, партий и т. д.

К настоящему времени по данной проблематике опубликовано множество статей и монографий, но они обычно рассчитаны на специалистов в этой области. В то же время базовый математический аппарат теории игр вполне доступен студенту, изучившему

3

стандартный курс высшей математики в объеме технического университета.

Вданном пособии основы теории игр изложены языком, наиболее понятным студентам младших курсов экономических специальностей. Как правило, в качестве примеров разбираются игры, описывающие конкретные (весьма разнообразные) экономические ситуации.

Введем определение игры.

Определение. Игройназывается модель конфликтной ситуации: 1) в которой участвует некоторое (конечное или бесконечное)

число игроков; 2) заранее заданы правила игры, то есть способ выбора реше-

ния (стратегии) игроком; 3) определены количественные величины выигрышей (проиг-

рышей) участников игры.

Игроками могут выступать люди, производственные предприятия, торговые фирмы, целые государства, военные армии и даже природные стихии.

Вданном пособии основное внимание уделено играм экономического характера, однако в качестве модельных примеров рассматриваются и некоторые абстрактные игры.

Игры можно разбить на группы следующим образом:

1) по количеству игроков: в парной игре число участников равно двум, а в множественной игре – более двух;

2) по количеству стратегий: если у всех игроков конечное число стратегий, то игра называется конечной; в противном случае игра называется бесконечной;

3) по информированности игроков: в играх с полной информацией игроки знают, и какие ходы были сделаны ранее, и возможные стратегии противника; в играх с неполной информацией игроки не знают достоверно о ранее сделанных шагах и намерениях противника;

4) по свойствам функции выигрыша: матричные, биматричные (об этих играх более подробно поговорим далее в пособии),

атакже выпуклые игры (функция выигрышей выпуклая) и сепарабельные игры (функция выигрышей может быть разделена на сумму произведений функций одного аргумента);

5) по характеру взаимоотношений между игроками: бескоалиционные (то есть игроки не вступают в коалиции, не заключают

4

между собой никаких соглашений), коалиционные (заключаются некоторые соглашения) и кооперативные игры (участники заранее образуют коалиции с целью увеличить свои выигрыши).

Анализ теоретического решения игры (конфликтной ситуации) помогает исследователю смоделировать процесс и возможные результаты будущего конфликта еще до его фактического начала. По результатам моделирования будущей игры можно принять решение о целесообразности участия и оптимальном поведении в реальном конфликте, также можно сэкономить не только денежные средства, но и другие ресурсы. Ценность теории игр состоит в том, что она позволяет прогнозировать развитие конфликтов.

В данном ознакомительном курсе будут рассмотрены только следующие наиболее простые игры:

а) конечные бескоалиционные матричные игры двух игроков; б) конечные бескоалиционные биматричные игры двух игроков; в) игры с природой.

5

§ 1. Понятие матричной игры

Перейдем непосредственно к изложению основных понятий теории игр.

Пусть игрок A имеет возможность сделать свой ход m различными способами. В этом случае говорят, что он имеет m различных стратегий: A1, A2,…, Am. Игрок B имеет возможность сделать свой ход n различными способами, то есть имеет n стратегий: B1, B2,…, Bn. Такая игра называется игрой m n.

Определение. Матричная игра – это игра со следующими правилами:

а) в игре участвуют два игрока (игрок A и игрок B);

б) каждый игрок обладает конечным набором стратегий; в) каждый игрок, не зная о действиях противника, выбирает

одну из своих возможных стратегий; г) выигрыш игроков зависит от выбранных ими стратегий,

причем эти выигрыши противоположны.

Замечание. Матричная игра еще называется игрой с нулевой суммой, или антагонистической игрой.

В дальнейшем предполагается, что в результате выбора игроками стратегий Ai и Bj, i 1,m, j 1,n , выигрыш игрока A составляет величину cij .

Определение. Матрица C размера m n, состоящая из чисел

Замечание. В случае матричной игры выигрыши игрока B равны cij .

Пример 1.1. Игра в «открывание пальцев». Игроки A и B одновременно из сжатого кулака открывают по несколько пальцев. Если сумма пальцев обоих игроков четная, то игрок A выигрывает столько очков, каково общее количество пальцев, а если нечетная, то столько же выигрывает игрок B. Составить платежную матрицу (игрока A).

Решение. Игрок А имеет пять стратегий: A1, A2, A3, A4, A5, где стратегия Ai состоит в открывании i пальцев, i 1,5. У игрока B также пять стратегий: B1, B2, B3, B4, B5. Это игра 5 5. Составим таблицу выигрышей игрока A

Тогда матрица выигрышей C игрока A (платежная матрица игры) имеет вид

где aij – это выигрыш игрока A, а bij – выигрыш игрока B, можно заменить условием aij bij const.

Пример 1.2. Каждая из фирм X и Y посылает свою автолавку в один из пунктов: A, B или C, – расположение которых указано на рис. 1. Там же указано количество покупателей в этих пунктах.

7

Проверь себя. Игрок A может записать одну из цифр 2, 4 либо 7; игрок B может записать 1, 3, 4 либо 8. Если обе цифры окажутся одинаковой четности, то игрок A получает столько очков, какова сумма записанных цифр; если разной четности, то сумма очков достается игроку B. Составить платежную матрицу игры.

9

§ 2. Нижняя и верхняя цены игры

Пусть игрок A выбирает стратегию игры Ai, i 1,m. В зависимости от выбора стратегии Bj, j 1,n , игроком B игрок A будет

иметь выигрыши ci1, ci2, ci3, , cin . Это элементы, стоящие в i-й строке платежной матрицы C:

При выборе стратегии Ai игрок A в наихудшем для себя случае вы-

игрывает: min cij . Следовательно, для получения в наихудшем слу-

1 j n

чае наибольшего выигрыша игроку A надо выбрать такую страте-

гию, для которой число min cij будет максимальным.

1 j n

Определение. Число

max min cij

1 i m 1 j n

называется нижней ценой игры, а стратегия игрока A, соответствующая этому числу, называется максиминной.

Какую бы стратегию ни выбрал игрок B, игрок A гарантированно будет иметь выигрыш не менее .

Рассмотрим теперь поведение игрока B. Если он выбирает стратегию Bj, j 1,n , то его проигрыш в зависимости от стратегии игрока A может принимать значения c1j , c2 j ,c3 j , ,cmj . Это эле-

менты платежной матрицы, стоящие в ее j-м столбце. Наихудший исход для игрока B будет в случае, когда игрок A выбирает страте-

гию, соответствующую max cij . Поэтому игроку B следует выбрать

1 i m

10